1.空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
(2)旋轉體的結構特征
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法.
(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?
3.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
考點1 基本立體圖形
[名師點睛]
空間幾何體結構特征的判斷技巧
(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定.
(2)通過反例對結構特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.
直觀圖
(1)在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”
(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形.
[典例]
1.(多選)(2023·濰坊調研)下面關于空間幾何體的敘述正確的是( )
A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
C.長方體是直平行六面體
D.存在每個面都是直角三角形的四面體
2.一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于( )
A.eq \f(\r(2),4)a2 B.2eq \r(2)a2 C.eq \f(\r(2),2)a2 D.eq \f(2\r(2),3)a2
3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為eq \r(2)，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為( )
A．2B．2eq \r(2)
C．4D．4eq \r(2)
[舉一反三]
1.下列說法正確的是( )
A．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的多面體是棱錐
B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐
D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體
2.(2023·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）如圖，梯形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
3.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處.若該小蟲爬行的最短路程為4eq \r(3) m，則圓錐底面圓的半徑等于______ m.
考點2 表面積與體積
[名師點睛]
1.空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側面展開圖中邊的關系.
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.
2.求空間幾何體的體積的常用方法
(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解；
(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體；
(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.
[典例]
1.(多選)已知正四棱錐的側面與底面所成的銳二面角為θ，若θ＝30°，側棱長為eq \r(21)，則( )
A.正四棱錐的底面邊長為6
B.正四棱錐的底面邊長為3
C.正四棱錐的側面積為24eq \r(3)
D.正四棱錐的側面積為12eq \r(3)
2.(2023·全國甲卷)已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側面積為________.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為( )
A.20＋12eq \r(3) B.28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
4.(2023·新高考全國Ⅱ卷)棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點，則三棱錐A1－D1MN的體積為________.
5.如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________.
[舉一反三]
1．(2023·重慶八中模擬預測）以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
2．(2023·河北保定·一模）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側面積的比值為（ ）
A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3
3．(2023·江蘇·沭陽如東中學模擬預測）若圓錐的母線長為，側面展開圖的面積為，則該圓錐的體積是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·廣東佛山·二模）如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個底面和圓錐的頂點均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側面積為（ ）
A．2πB．4πC．16πD．
5．(2023·河北衡水中學一模）已如A，B，C是表面積為的球O的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·福建福州·模擬預測）如圖，一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為，高為，則這個茶葉盒的表面積約為______．（精確到0.1，）
7．(2023·廣東·華南師大附中模擬預測）在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為______.
考點3 與球有關的切接問題
[名師點睛]
(1)求解多面體的外接球時，經常用到截面圖.如圖所示，設球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(2)求解球的內接正方體、長方體等問題的關鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對角線.
[典例]
1.(2023·湖南·長郡中學模擬預測）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的側面積為（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·天津·南開中學模擬預測）棱長為的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些球的最大半徑為（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖北十堰·三模）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，則四棱錐外接球與內切球的表面積之比為（ ）
A．B．10C．D．11
[舉一反三]
1.(2023·天津和平·一模）中國古代數(shù)學經典《九章算術》系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臍．如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉牖的體積為l，則陽馬的外接球的表面積等于（ ）．
A．B．C．D．
2．(2023·天津·二模）已知在中，角所對的邊分別為，且又點都在球的球面上，且點到平面的距離為，則球的體積為（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·廣東·大埔縣虎山中學模擬預測）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為
A．B．C．D．
4．(2023·湖北·宜昌市夷陵中學模擬預測）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為______．
5．(2023·遼寧·鞍山一中模擬預測）已知對棱相等的四面體被稱為“等腰四面體”，它的四個面是全等的銳角三角形.在等腰四面體中，，，則該四面體的內切球表面積為___________.
6．(2023·山東省實驗中學模擬預測）在四面體ABCD中，是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面平面BC，則四面體ABCD的外接球的表面積為__________．
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側棱
平行且相等
相交于一點，但不一定相等
延長線交于一點
側面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點
延長線交于一點
軸截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圓面
側面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側面展開
圖
側面積公
式
S圓柱側＝2πrl
S圓錐側＝πrl
S圓臺側＝π(r1＋r2)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
第39講 空間幾何體及其表面積、體積
1.空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
(2)旋轉體的結構特征
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法.
(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?
3.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
考點1 基本立體圖形
[名師點睛]
空間幾何體結構特征的判斷技巧
(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定.
(2)通過反例對結構特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.
直觀圖
(1)在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”
(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形.
[典例]
1.(多選)(2023·濰坊調研)下面關于空間幾何體的敘述正確的是( )
A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
C.長方體是直平行六面體
D.存在每個面都是直角三角形的四面體
答案 CD
解析 A中，當頂點在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐，不正確；
B中，當平面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；
C正確；
D正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形.
2.一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于( )
A.eq \f(\r(2),4)a2 B.2eq \r(2)a2 C.eq \f(\r(2),2)a2 D.eq \f(2\r(2),3)a2
答案 B
解析 根據斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若設原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(2),2)·S＝eq \f(\r(2),4)S.可以提出一個平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關系是S′＝eq \f(\r(2),4)S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積S＝eq \f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq \r(2)a2.
3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為eq \r(2)，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為( )
A．2B．2eq \r(2)
C．4D．4eq \r(2)
[解析] 設圓錐的母線長為l，因為該圓錐的底面半徑為eq \r(2)，所以2π×eq \r(2)＝πl(wèi)，解得l＝2eq \r(2)，故選B．
[答案] B
[舉一反三]
1.下列說法正確的是( )
A．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的多面體是棱錐
B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐
D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體
[解析] 選項A，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，即其余各面的三角形必須有公共的頂點，錯誤；選項B，棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，而有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺，因為它的側棱延長后不一定交于一點，錯誤；選項C，當棱錐的各個側面的共頂點的角之和是360°時，各側面構成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，錯誤；選項D，若每個側面都是長方形，則說明側棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，正確．故選D．
[答案] D
2.(2023·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）如圖，梯形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【詳解】解：由題得,
所以.
故選：B．
3.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處.若該小蟲爬行的最短路程為4eq \r(3) m，則圓錐底面圓的半徑等于______ m.
答案 eq \f(4,3)
解析 圓錐頂點記為O，把圓錐側面沿母線OP展開成如圖所示的扇形，
由題意OP＝4，PP′＝4eq \r(3)，
則cs ∠POP′＝eq \f(42＋42－（4\r(3)）2,2×4×4)＝－eq \f(1,2)，
又∠POP′為△POP′一內角，
所以∠POP′＝eq \f(2π,3).
設底面圓的半徑為r，則2πr＝eq \f(2π,3)×4，
所以r＝eq \f(4,3).
考點2 表面積與體積
[名師點睛]
1.空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側面展開圖中邊的關系.
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.
2.求空間幾何體的體積的常用方法
(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解；
(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體；
(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.
[典例]
1.(多選)已知正四棱錐的側面與底面所成的銳二面角為θ，若θ＝30°，側棱長為eq \r(21)，則( )
A.正四棱錐的底面邊長為6
B.正四棱錐的底面邊長為3
C.正四棱錐的側面積為24eq \r(3)
D.正四棱錐的側面積為12eq \r(3)
答案 AC
解析 如圖，在正四棱錐S－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，SH⊥AB，設底面邊長為2a(a＞0)，因為∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝eq \f(\r(3),3)a，SH＝eq \f(2\r(3),3)a，在Rt△SAH中，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)a))eq \s\up12(2)＝21，所以a＝3，底面邊長為6，側面積為S＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)×4＝24eq \r(3).故選AC.
2.(2023·全國甲卷)已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側面積為________.
答案 39π
解析 設該圓錐的高為h，則由已知條件可得eq \f(1,3)×π×62·h＝30π，解得h＝eq \f(5,2)，則圓錐的母線長為eq \r(h2＋62)＝eq \r(\f(25,4)＋36)＝eq \f(13,2)，故該圓錐的側面積為π×6×eq \f(13,2)＝39π.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為( )
A.20＋12eq \r(3) B.28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
答案 D
解析 連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高h＝eq \r(22－（2\r(2)－\r(2)）2)＝eq \r(2)，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，所以該棱臺的體積V＝eq \f(1,3)h(S1＋S2＋eq \r(S1S2))＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(16＋4＋eq \r(64))＝eq \f(28\r(2),3).
4.(2023·新高考全國Ⅱ卷)棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點，則三棱錐A1－D1MN的體積為________.
答案 1
解析 如圖，由正方體棱長為2及M，N分別為BB1，AB的中點，得
S△A1MN＝2×2－2×eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(3,2)，又易知D1A1為三棱錐D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝eq \f(1,3)·S△A1MN·D1A1＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×2＝1.
5.如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________.
答案 eq \f(\r(2),3)
解析 如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH.
則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.
依題意，三棱錐E－ADG的高EG＝eq \f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.
則AG＝eq \r(AE2－EG2)＝eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2).
取AD的中點M，則MG＝eq \f(\r(2),2)，
所以S△AGD＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),4)，
∴V多面體＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).
[舉一反三]
1．(2023·重慶八中模擬預測）以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
答案：A
【詳解】以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周得到的旋轉體為圓柱，
其底面半徑r=2，高h=2，
故其側面積為.
故選：A
2．(2023·河北保定·一模）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側面積的比值為（ ）
A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3
答案：A
【詳解】設球的半徑的r，依題意圓柱的底面半徑也是r，高是2r，
圓柱的側面積= ，球的表面積為 ，
其比例為1:1，
故選：A.
3．(2023·江蘇·沭陽如東中學模擬預測）若圓錐的母線長為，側面展開圖的面積為，則該圓錐的體積是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【詳解】設圓錐的高為，底面半徑為，
則，解得.
所以.
則圓錐的體積.
故選：B
4．(2023·廣東佛山·二模）如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個底面和圓錐的頂點均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側面積為（ ）
A．2πB．4πC．16πD．
答案：B
分析：分析圖中的幾何關系，分別求出圓錐的底面半徑和母線長即可.
【詳解】依題意，做球的剖面圖如下：
其中，O是球心，E是圓錐的頂點，EC是圓錐的母線，
由題意可知球的半徑計算公式： ，由于圓柱的高為2，
OD=1，DE=3-1=2， ，母線 ，
∴圓錐的側面積為 ，
故選：B.
5．(2023·河北衡水中學一模）已如A，B，C是表面積為的球O的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【詳解】解：設球的半徑為，外接圓的半徑為，
在中，由，，則
得，所以，
因為球O的表面積為，
則，解得，
所以球心到的距離，
即三棱錐的高為，
，
所以三棱錐的體積.
故選：C.
6．(2023·福建福州·模擬預測）如圖，一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為，高為，則這個茶葉盒的表面積約為______．（精確到0.1，）
答案：
【詳解】邊長為10的正六邊形的面積為
所以表面積為
故答案為：
7．(2023·廣東·華南師大附中模擬預測）在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為______.
答案：
【詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，
，，，
，，
分別取、的中點、，連結、、，
則，，，
且，，，
，，
，平面，平面，平面，
四面體的體積為：
．
故答案為：．
考點3 與球有關的切接問題
[名師點睛]
(1)求解多面體的外接球時，經常用到截面圖.如圖所示，設球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(2)求解球的內接正方體、長方體等問題的關鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對角線.
[典例]
1.(2023·湖南·長郡中學模擬預測）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的側面積為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根據題意作出軸截面圖，求出圓臺母線長，利用側面積公式求解.
【詳解】因為圓臺下底面半徑為5，球的直徑為，
所以圓臺下底面圓心與球心重合，底面圓的半徑為，畫出軸截面如圖，

設圓臺上底面圓的半徑，則
所以球心到上底面的距離，即圓臺的高為3，
所以母線長，
所以，
故選：C.
2.(2023·天津·南開中學模擬預測）棱長為的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些球的最大半徑為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先求出正四面體的體積及表面積，利用求出內切球的半徑，再通過求出空隙處球的最大半徑即可.
【詳解】
如圖，由題意知球和正四面體的三個側面以及內切球都相切時半徑最大，設內切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，
為的中心，易知面，為中點，球和球分別與面相切于和.
易得，，，由，
可得，又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，即球的最大半徑為.
故選：C.
3．(2023·湖北十堰·三模）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，則四棱錐外接球與內切球的表面積之比為（ ）
A．B．10C．D．11
答案：C
分析：判斷出為外接球直徑即可求出外接球半徑，由得即可求出內切球半徑，即可求出表面積之比.
【詳解】
設四棱錐外接球與內切球的半徑分別為R，r，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
則即為外接球直徑，則.
設內切球球心為，因為，
又，，
四棱錐的表面積，所以，
故四棱錐外接球與內切球的表面積之比為.
故選：C.
[舉一反三]
1.(2023·天津和平·一模）中國古代數(shù)學經典《九章算術》系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臍．如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉牖的體積為l，則陽馬的外接球的表面積等于（ ）．
A．B．C．D．
答案：A
分析：先根據鱉牖的體積為l，求得，再根據陽馬的外接球的直徑是以為寬，長，高的長方體的體對角線可求得求得直徑，從而求得表面積．
【詳解】由題意，因為平面，四邊形為正方形，，，
又由鱉牖的體積為，所以，
解得，
而陽馬的外接球的直徑是以為寬，長，高的長方體的體對角線，
所以，即，
球的表面積為．
故選A．
2．(2023·天津·二模）已知在中，角所對的邊分別為，且又點都在球的球面上，且點到平面的距離為，則球的體積為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：設三角形ABC的外接圓的圓心為O',根據球的截面性質可知OO'⊥平面ABC,利用正弦定理求得AO',計算球的半徑，進而求得體積.
【詳解】設三角形ABC的外接圓的圓心為O',根據球的截面性質可知OO'⊥平面ABC,
如圖所示，∵,∴AO'=,
∴OA=
∴球的體積為,
故選：C.
3．(2023·廣東·大埔縣虎山中學模擬預測）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為
A．B．C．D．
答案：B
【詳解】試題分析：根據題意條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點就是球心，
如圖：
則其外接球的半徑為
球的表面積為；
故選B．
4．(2023·湖北·宜昌市夷陵中學模擬預測）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為______．
答案：
分析：設正四面體的棱長為a，根據正四面體的結構特征求出它的表面積，結合正四面體和正方體的聯(lián)系求出正方體的棱長，利用正方體的外接球的體積公式計算即可.
【詳解】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設正四面體的棱長為a，
所以該正四面體的表面積為，所以，
又正方體的面對角線可構成正四面體，
若正四面體棱長為，可得正方體的棱長為1，
所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，
所以球O的體積為．
故答案為：
5．(2023·遼寧·鞍山一中模擬預測）已知對棱相等的四面體被稱為“等腰四面體”，它的四個面是全等的銳角三角形.在等腰四面體中，，，則該四面體的內切球表面積為___________.
答案：
分析：首先將四面體補成一個長方體，求得長方體棱長，從而求得四面體的體積，再根據等體積的方法，運算割補法，求得內切球的半徑，求得答案
【詳解】如圖示，將等腰四面體補成一個長方體，
設 ，則 ，解得 ，
故四面體的體積為 ,
設該四面體的內切球的半徑為 ，則 ，
而 ，
故 ，則該四面體的內切球表面積為 ，
故答案為：
6．(2023·山東省實驗中學模擬預測）在四面體ABCD中，是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面平面BC，則四面體ABCD的外接球的表面積為__________．
答案：
分析：由面面垂直得線面垂直，從而可證得兩兩垂直，以為棱構造正方體，正方體的外接球就是四面體的外接球，由此得球半徑，得球表面積．
【詳解】因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，，所以，
所以，于是，即兩兩垂直，
以為棱構造正方體，正方體的外接球就是四面體的外接球，
可得四面體的外接球半徑，
所以表面積為
故答案為：．
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側棱
平行且相等
相交于一點，但不一定相等
延長線交于一點
側面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點
延長線交于一點
軸截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圓面
側面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側面展開
圖
側面積公
式
S圓柱側＝2πrl
S圓錐側＝πrl
S圓臺側＝π(r1＋r2)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3

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