【命題學(xué)校：豐都中學(xué) 命題人：唐模斌、付陳璐 審題人：孫小棟】
（本試卷共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)及科類名稱.
2．請(qǐng)將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在右側(cè)的[考生條形碼粘貼處]的方框內(nèi).
3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫，字體工整、筆跡清楚.
4．請(qǐng)按題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.
5．保持答題卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若向量與向量平行，則的值為（ ）
A. B. 0C. D.
3. 用斜二測(cè)畫法作一個(gè)邊長為6的正方形，則其直觀圖的面積為（ ）
A. 36B. C. D.
4. 若，，且，則向量的夾角為（ ）
A. B. C. D.
5. 在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，則csB=（ ）
A. B. C. D.
6. 中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺(tái)，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺(tái)的體積為（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，在中，，若，則的值為（ ）.
A. B. 3C. 2D.
8. 已知中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 27B. 0C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法不正確的是（ ）
A. 若直線面，直線面，則直線，直線b無公共點(diǎn)
B. 若直線面，則直線l與面內(nèi)直線平行或異面
C. 有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形幾何體是棱柱
D. 有兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形幾何體是棱臺(tái)
10. 在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列敘述正確的是（ ）
A. ，，，有兩解
B. 若，則為等腰三角形
C. 若銳角三角形，則
D. 若，則為鈍角三角形
11. “奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A. 若，則M為的重心
B. 若M為的內(nèi)心，則
C. 若，，M為的外心，則
D. 若M為的垂心，，則
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)是_____________．
13. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．若，，則△ABC的面積為_____________．
14. 在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為______．
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在棱長為的正方體中，截去三棱錐，求
（1）截去的三棱錐的表面積；
（2）剩余的幾何體的體積.
16. 已知向量，．
（1）求的坐標(biāo)以及與之間的夾角；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
17. 某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點(diǎn)，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域（陰影部分）上兩點(diǎn)之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內(nèi)距離點(diǎn)米的點(diǎn)處建一涼亭，距離點(diǎn)米的點(diǎn)處再建一涼亭，測(cè)得，．

（1）求的值；
（2）測(cè)得，觀光通道每米的造價(jià)為2000元，若景區(qū)準(zhǔn)備預(yù)算資金8萬元建觀光通道，問：預(yù)算資金夠用嗎？
18. 定義在封閉的平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域D的“直徑”．如圖，已知銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在半徑為1的圓上，角的對(duì)邊分別為a，b，c，若．
（1）求角A的大??；
（2）分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域D，求平面區(qū)域D的“直徑”的取值范圍．
19. 如圖，在中，為鈍角，，，．過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，連接，若．
（1）求邊的長；
（2）證明：；
（3）設(shè)，，是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．重慶市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年度第二期期中聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題（高2026屆）
【命題學(xué)校：豐都中學(xué) 命題人：唐模斌、付陳璐 審題人：孫小棟】
（本試卷共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)及科類名稱.
2．請(qǐng)將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在右側(cè)的[考生條形碼粘貼處]的方框內(nèi).
3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫，字體工整、筆跡清楚.
4．請(qǐng)按題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.
5．保持答題卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡即可.
【詳解】.
故選：C
2. 已知向量，若向量與向量平行，則值為（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題可得,由與向量平行,可得,進(jìn)而求解即可.
【詳解】∵向量,
∴,，又向量與向量平行,
∴,，解得.
故選：A.
3. 用斜二測(cè)畫法作一個(gè)邊長為6的正方形，則其直觀圖的面積為（ ）
A. 36B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用斜二測(cè)畫法所得直觀圖與原圖形面積關(guān)系求得答案.
【詳解】在斜二測(cè)畫法中，直觀圖面積是原圖形面積的，而邊長為6的正方形面積為，
所以所求的直觀圖的面積為.
故選：C
4. 若，，且，則向量的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直則數(shù)量積為零，求得，再根據(jù)夾角公式求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，由于向量，，且，
，，
故，又向量夾角范圍為，
故可知向量的夾角為.
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的轉(zhuǎn)化，以及由數(shù)量積求向量的夾角，屬綜合基礎(chǔ)題.
5. 在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，則csB=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.
【詳解】在中，，，
根據(jù)余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
6. 中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺(tái)，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺(tái)的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)性質(zhì)求出側(cè)棱長，繼而求得高，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)槭钦睦馀_(tái)，，，
側(cè)面以及對(duì)角面為等腰梯形，故，，
，所以，
所以該四棱臺(tái)的體積為，
故選：B.
7. 如圖，在中，，若，則的值為（ ）.
A. B. 3C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】把作為基底，利用向量的加減法和平面向量基本定理結(jié)合已知把用表示出來，即可得答案
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以
,
因?yàn)?，所以?br>所以，
故選：B
8. 已知中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 27B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖形特點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，由題設(shè)數(shù)量關(guān)系得出A，B，C的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值即可.
【詳解】解：以 所在直線為 軸，線段 的中垂線為 軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示 ，

由題意可知， ， ， ，
設(shè) ，其中 ，則 ， ，
故 ，
所以當(dāng) 時(shí)， 有最小值 .
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法不正確的是（ ）
A. 若直線面，直線面，則直線，直線b無公共點(diǎn)
B. 若直線面，則直線l與面內(nèi)的直線平行或異面
C. 有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱
D. 有兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出圖形可判斷A；與平面沒有公共點(diǎn)，可判斷B；作出圖形可判斷C；由棱臺(tái)的側(cè)棱交于一點(diǎn)的幾何特征，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：如圖，，，與可能相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：直線，所以與平面沒有公共點(diǎn)，所以與平面內(nèi)的直線平行或異面，故B正確；
對(duì)于C：有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱，
如圖所示，符合題意，但幾何體不是棱柱，故C錯(cuò)誤；

一個(gè)平行于棱錐的底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)，
所以棱臺(tái)各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，其余各面都是梯形的幾何體側(cè)棱可能不交于一點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.
故選：ACD.
10. 在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列敘述正確的是（ ）
A. ，，，有兩解
B. 若，則為等腰三角形
C. 若為銳角三角形，則
D. 若，則為鈍角三角形
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角，結(jié)合角A即可判斷A；利用正弦定理邊化角，在由二倍角公式化簡可得或，可判斷B；由為銳角三角形可得，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式可判斷C；由正弦定理可得三邊比值，然后由余弦定理求解即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋裕?br>又，所以，不滿足內(nèi)角和定理，
所以滿足條件的三角形不存在，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因，所以，
所以，即，
因?yàn)榍?，所以或?br>即或，
所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若為銳角三角形，則，
所以，所以，即，C正確；
對(duì)于D，若，則，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，即為鈍角，D正確.
故選：CD
11. “奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A. 若，則M為的重心
B. 若M為的內(nèi)心，則
C. 若，，M為的外心，則
D. 若M為的垂心，，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，，作出輔助線，得到，，三點(diǎn)共線，同理可得為的重心；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項(xiàng)，設(shè)外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個(gè)三角形的面積，得到比值；D選項(xiàng)，得到，作出輔助線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)，，，表示出，，，結(jié)合三角函數(shù)得到，，進(jìn)而求出余弦值；
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>取的中點(diǎn)，則，所以，
故，，三點(diǎn)共線，且，
同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，
所以為的重心，A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
對(duì)C選項(xiàng)，若，，為的外心，則，
設(shè)的外接圓半徑為，故，，
，
故，，，
所以，C錯(cuò)誤；

對(duì)D選項(xiàng)，若為的垂心，，
則，
如圖，，，，相交于點(diǎn)，
又，
，即，
，即，
，即，
設(shè)，，，則，，，
因?yàn)?，?br>所以，即，
，則，D正確；
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量與四心關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系及向量數(shù)量積及向量線性表示逐項(xiàng)判斷.
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得出向量與的坐標(biāo)，再由向量的運(yùn)算得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出其復(fù)數(shù).
【詳解】∵復(fù)數(shù)與分別表示向量與，
∴，，
又，
∴向量表示的復(fù)數(shù)是.
故答案為：.
13. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．若，，則△ABC的面積為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理可得，由平方關(guān)系求出，然后由三角形面積公式可得.
【詳解】由正弦定理角化邊得，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，所?
故答案：.
14. 在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理可求得，可判斷和均為直角三角形，取中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可判斷為三棱錐外接球的球心，其半徑為，從而求得三棱錐外接球的表面積.
【詳解】由，，，
中，由余弦定理可得,
所以，則，
在中，由余弦定理可得，
所以，則，
取中點(diǎn)，則在和中，，則三棱錐外接球的球心為，其半徑為，
所以三棱錐外接球的表面積為，
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在棱長為的正方體中，截去三棱錐，求
（1）截去的三棱錐的表面積；
（2）剩余的幾何體的體積.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）三棱錐中是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，計(jì)算四個(gè)三角形面積之和即可求解.
（2）正方體的體積減去三棱錐的體積即得剩余的幾何體的體積.
【詳解】（1）由正方體的特點(diǎn)可知三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，
所以截去的三棱錐的表面積

（2）正方體的體積為，
三棱錐的體積為，
所以剩余的幾何體的體積為.
16. 已知向量，．
（1）求的坐標(biāo)以及與之間的夾角；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）本題首先可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，然后根據(jù)即可得出結(jié)果；
（2）本題可通過對(duì)進(jìn)行平方即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?br>設(shè)與之間的夾角為，
則，
因?yàn)?，所以與之間的夾角為.
（2），
因?yàn)?，所以?br>故的取值范圍是.
17. 某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點(diǎn)，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域（陰影部分）上兩點(diǎn)之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內(nèi)距離點(diǎn)米的點(diǎn)處建一涼亭，距離點(diǎn)米的點(diǎn)處再建一涼亭，測(cè)得，．

（1）求的值；
（2）測(cè)得，觀光通道每米的造價(jià)為2000元，若景區(qū)準(zhǔn)備預(yù)算資金8萬元建觀光通道，問：預(yù)算資金夠用嗎？
【答案】（1）
（2）預(yù)算資金夠用
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；
（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.
【小問1詳解】
解：由，
得，
則，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
【小問2詳解】
在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于觀光通道每米的造價(jià)為2000元，所以總造價(jià)低于元，故預(yù)算資金夠用．
18. 定義在封閉的平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域D的“直徑”．如圖，已知銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在半徑為1的圓上，角的對(duì)邊分別為a，b，c，若．
（1）求角A的大??；
（2）分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域D，求平面區(qū)域D的“直徑”的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦公式求出.
（2）利用向量線性運(yùn)算，結(jié)合向量的三角不等式求出區(qū)域D的“直徑”關(guān)系式，再利用三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出范圍即得.
【小問1詳解】
在銳角中，由，得，
由正弦定理得，，即，
又，
從而，而，則，又，
所以．
【小問2詳解】
如圖，F(xiàn)，G是AC，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共線，
設(shè)P，Q分別為、上任意一點(diǎn)，，
，
即PQ的長小于等于周長的一半，當(dāng)PQ與HE重合時(shí)取等，
同理，三個(gè)半圓上任意兩點(diǎn)的距離最大值等于周長的一半，因此區(qū)域D的“直徑”為的周長l的一半，
由正弦定理得：，，，
則，
由為銳角三角形，得，即，
則，，于是，
所以平面區(qū)域D的“直徑”的取值范圍是.
19. 如圖，在中，為鈍角，，，．過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，連接，若．
（1）求邊的長；
（2）證明：；
（3）設(shè)，，是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理可得，求解即可；
（2）由正弦定理得,兩式相除結(jié)合，可得；
（3）由正弦定理得，結(jié)合（2）可得，由，可求值.
【小問1詳解】
由題意，為銳角，．
在中，設(shè)角的對(duì)邊分別為，
由余弦定理可得，
即，
解得或．
因?yàn)闉殁g角，?。吹拈L為4．
【小問2詳解】
由題意，
根據(jù)勾股定理：，
所以，，，
從而．
在和中，
由正弦定理得,
兩式相除得，
因?yàn)椋?br>所以
又，
所以，即
【小問3詳解】
在和中，
由正弦定理得，
兩式相除得，
由（2）可知，
所以，
若，
則
故存在實(shí)數(shù)，
使得．

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