數(shù)學(xué)
本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.在數(shù)學(xué)實踐課堂上小明將手中的非等腰直角三角形板繞著該直角板的斜邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為（ ）
A.圓柱 B.兩個大小相同的圓錐組成的組合體
C.兩個大小不同的圓錐組成的組合體 D.八面體
2.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
3.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知平面向量與共線，則（ ）
A.2 B.4 C. D.
5.用斜二測畫法得到一個水平放置的四邊形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，已知，四邊形的面積為，則（ ）
A.1 B. C. D.
6.定義在上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)都有，若時，，則（ ）
A.先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞增
C.在上單調(diào)遞減 D.單調(diào)性不確定
7.已知，則（ ）
A. B. C. D.2
8.記的內(nèi)角的對邊分別為為上一點，且，，則的面積為（ ）
A.8 B.9 C.12 D.14
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.
9.已知某扇形的周長和面積均為18，則扇形圓心角的弧度數(shù)可能為（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
10.已知平面向量，則（ ）
A.
B.與可作為一組基底向量
C.與夾角的余弦值為
D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為
11.當(dāng)一束光通過一個吸光物質(zhì)（通常為溶液）時，溶質(zhì)吸收了光能，光的強度減弱；吸光度就是用來衡量光被吸收程度的一個物理量，其影響因素有溶劑?濃度?溫度.分析物濃度越高，穿過材料的光子被吸收的機會就越大.吸光度的測量簡便高效，因此被廣泛應(yīng)用于液體和氣體的光譜測量技術(shù)，集成至工業(yè)測試系統(tǒng)，還可以用于科研分析.其中透光率是指光子通過物體的能量占發(fā)出光能量的比例.在實際生產(chǎn)和生活中，通常用吸光度和透光率來衡量物體材料的透光性能，著名的朗伯—比爾定律表明了兩者之間的等量關(guān)系為，其中，是吸光度，為透光率，為入射光強度，為透射光強度，某化學(xué)有機高分子材料研究所測得了如下表不同有機高分子材料的透光率：
設(shè)塑料?纖維?薄膜的吸光度分別為，則（ ）
A. B.
C. D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知正數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時，__________，__________.
13.由數(shù)學(xué)王子高斯證明出的代數(shù)基本定理的內(nèi)容可知一元次多項式方程有個復(fù)數(shù)根，且對于一元二次方程，其兩個復(fù)數(shù)根互為共軌復(fù)數(shù).若復(fù)數(shù)是一元二次方程的一個根，則__________.
14.已知，函數(shù)的值域為，則的取值范圍是__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）在中，為上靠近點的三等分點，設(shè).
（1）用分別表示；
（2）證明：三點共線.
16.（15分）已知復(fù)數(shù).
（1）若，求的值；
（2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點能否位于直線上？若能，求；若不能，說明理由.
17.（15分）已知函數(shù)的最大值為2.
（1）求的解析式；
（2）求曲線的對稱軸方程和的單調(diào)遞增區(qū)間.
18.（17分）在中，角的對邊分別為，且.
（1）求的值；
（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.
19.（17分）現(xiàn)定義“維形態(tài)復(fù)數(shù)”，其中為虛數(shù)單位，.
（1）當(dāng)時，證明：“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系；
（2）若“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“3維形態(tài)復(fù)數(shù)”相等，求的值；
（3）若正整數(shù)滿足，證明：存在有理數(shù)，使得.
三湘名校教育聯(lián)盟·2024年上學(xué)期高一期中大聯(lián)考·數(shù)學(xué)
參考答案?提示及評分細(xì)則
1.【答案】C
【解析】由題干所給的情景可知旋轉(zhuǎn)后得到的是兩個大小不同的圓錐組成的組合體，故選C.
2.【答案】A
【解析】由題意可得，所以，故選A.
3.【答案】D
【解析】由題意知，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限，故選D.
4.【答案】D
【解析】因為與共線，所以，解得，故，故選D.
5.【答案】D
【解析】如圖所示，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，得到原四邊形
，設(shè)，則，則，
，且為原圖形中梯形的高，
故，解得，故，故選D.
6.【答案】B
【解析】任取，令，則，因為，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.故選B.
7.【答案】C
【解析】由，可知：，故選C.
8.【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可知：，由題干條件可得，聯(lián)立可得，由余弦定理可得，解得，且，故面積為，故選C.
9.【答案】AD
【解析】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，圓心角為，則
，解得或，則或1.故選.
10.【答案】BC
【解析】因為，所以，所以，故錯誤；易得與為一組不共線的非零向量，根據(jù)基底向量的定義可得正確；因為，所以，故C正確；因為，所以在方向上的投影向量的坐標(biāo)為，故D錯誤，故選BC.
11.【答案】AC
【解析】由，得，，即，選項正確；，B選項錯誤；
，C選項正確；
，
，
，
所以，所以，
又，所以，選項錯誤.故選AC.
12.【答案】，（填對一個得3分，填對2個得5分）
【解析】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，故答案為.
13.【答案】64
【解析】由題意可得是一元二次方程的另一個根，故由一元二次方程的韋達(dá)定理可得，故，故答案為64.
14.【答案】
【解析】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以時，；當(dāng)時，，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
所以時，，即時，，
因為函數(shù)的值域為，
所以時，且.
由不等式，解得
不等式.價于時，，
設(shè)，
因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以時，等價于，即，
由不等式解得，
所以時，的解集為，
綜上，的取值范圍是，故答案為.
15.（13分）
【解析】（1）由題意可得，
因為，所以，
又因為是的中點，所以.
（2）由（1）知，，所以，即，
而有公共點，所以三點共線.
16.（15分）
【解析】（1）因為，所以，解得（舍去）或，
此時，故.
（2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，若該點位于直線上，則，
解得，
故能在直線上，此時.
17.（15分）
【解析】（1）因為，
其中，所以，解得，
又因為，所以.
故，
（2）由，解得，
所以曲線的對稱軸方程為；
由得，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為.
18.（17分）
【解析】（1）由及正弦定理得，
又因為，所以，所以，所以，故.
（2）由得，在中，因為，
所以.
因為為銳角三角形，所以，所以，
所以，所以.
19.（17分）
【解析】（1）證明：當(dāng)時，，則.
因為，所以，故“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系.
（2）因為“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“3維形態(tài)復(fù)數(shù)”相等，所以，
因此解第一個方程得或，解第二個方程得
或，由于兩個方程同時成立，故只能有，即，所以.
（3）證明：由得，由（2）同理可得，即，因為，所以.
因為，由（1）知，所以，由（2）同理可得，即），因為，所以.
所以，
又因為，所以，所以，即，所以存在有理數(shù)，使得.有機高分子材料
塑料
纖維
薄膜
0.6
0.7
0.8

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