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1. 立足實際，貼近生活。教材中的案例和題目都來源于學生生活實際。
2. 突出思維訓練，注重創(chuàng)新能力。提高學生的解題、思維能力，夠激發(fā)創(chuàng)新力和發(fā)散思維。
3. 知識與技能并重，注重應用。教材中既注重知識點的講解和掌握，同時也重視技能的訓練和應用，使學生能夠在實際生活中運用數(shù)學知識。
4. 多元化評價，注重全面發(fā)展。教材中的評價方式不僅包括傳統(tǒng)的考試、作業(yè)和口頭表現(xiàn)，更加注重學生的多方面發(fā)展。
第16講 因式分解綜合
【學習目標】
本部分內容包括因式分解的有關概念，因式分解的常用基本方法．因式分解在代數(shù)學習中具有基礎作用，它在代數(shù)的恒等變換，分式的通分，約分以及解方程方面都起著重要作用．通過學習，可以培養(yǎng)學生的觀察、分析、運算能力．
【基礎知識】
一、因式分解基本概念
1、因式分解：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也
可稱為將這個多項式分解因式．
2、因式分解與整式乘法互為逆變形：
式中可以代表單項式，也可以代表多項式，它是多項式中各項都含有的因式，稱為公因式．
二、四種基本方法：
1、提取公因式法：多項式各項都含有公因式，可把公因式提到外面，
將多項式寫成與的乘積形式，此法叫做提取公因式法．
提取公因式的步驟：
（1）找出多項式各項的公因式．
（2）提出公因式．
（3）寫成與的乘積形式．
提取公因式法的幾個技巧和注意點：
（1）一次提凈．
（2）視“多”為“一”．
（3）切勿漏1．
（4）注意符號：在提出的公因式為負的時候，注意各項符號的改變．
（5）化“分”為整：在分解過程中如出現(xiàn)分數(shù)，可先提出分數(shù)單位后再進行分解 ．
（6）仔細觀察：當各項看似無關的時候，仔細觀察其中微妙的聯(lián)系，轉化后再分解．
2、逆用乘法公式將一個多項式分解因式的方法叫做公式法．
（1）平方差公式：
由平方差公式反過來可得：，這個公式叫做因式分解的平方差公式；
（2）完全平方公式：
由完全平方公式反過來可得：和，這兩個公式叫做因式分解的完全平方公式．
3、十字相乘法：如果二次三項式中的常數(shù)項能分解成兩個因式、的積，而且一次項系數(shù)又恰好是，那么就可以進行如下的分解因式，即：要將二次三項式分解因式，就需要找到兩個數(shù)、，使它們的積等于常數(shù)項，和等于一次項系數(shù), 滿足這兩個條件便可以進行如下分解因式，即：．
這種利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法．
4、分組分解法：
將一個多項式分成二或三組，各組分別分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，這就是分組分解法．
【考點剖析】
考點一：選擇題
例1．下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（）
A、B、
C、D、
【難度】★
【答案】B
【解析】把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解，因此判斷B正確．
【總結】本題主要考查因式分解的概念．
例2．下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（）
A、B、
C、D、
【難度】★
【答案】C
【解析】把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解，因此判斷C正確．
【總結】本題主要考查因式分解的概念．
例3．下列各式的分解因式：
；②；
③；④其中正確的個數(shù)有（）
A、0B、1C、2D、3
【難度】★
【答案】B
【解析】其中①應該為；②應該為；③不能因式分解．
【總結】本題主要考查因式分解的概念．
例4．多項式各項的公因式是（）
A、B、C、D、
【難度】★
【答案】D
【解析】根據公因式的定義．
【總結】本題主要考查公因式的概念．
例5．已知多項式分解因式為，則、的值為（）
A、B、C、D、
【難度】★
【答案】D
【解析】．
【總結】考查整式的乘法以及待定系數(shù)法．
例6．下列多項式中不能用平方差公式分解的是（）
A、B、C、D、
【難度】★
【答案】B
【解析】B選項變形可得．
【總結】考查平方差公式的定義．
例7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）
A、B、
C、D、
【難度】★
【答案】D
【解析】D選項變形為．
【總結】本題主要考查對完全平方公式的理解及運用．
例8．已知正方形的面積是（），則正方形的邊長是（）
A、B、C、D、
【難度】★★
【答案】B
【解析】．
【總結】考查二次根式的非負性以及完全平方公式．
例9．分解因式得（）
A、B、
C、D、
【難度】★★
【答案】C
【解析】．
【總結】本題主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解徹底．
例10．一個多項式分解因式的結果是，那么這個多項式是（）
A、B、C、D、
【難度】★★
【答案】B
【解析】．
【總結】本題主要考查整式的乘法與因式分解之間的關系．
考點二：填空題
例1．直接寫出因式分解的結果：
（1）_____________；（2）_____________．
【難度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【總結】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進行因式分解．
例2．填上適當?shù)氖阶?，使等式成立：?br>【難度】★
【答案】．
【解析】．
【總結】本題主要考查通過提取公因式進行因式分解，注意不要遺漏提取因式后的1．
例3．的公因式是_____________．
【難度】★
【答案】
【解析】．
【總結】考查如何提取公因式．
例4．利用分解因式計算：
（1）=_____________；
（2）=_____________；
（3）=_____________．
【難度】★★
【答案】（1）7；（2）6.32；（3）5000．
【解析】（1）原式
（2）原式
；
（3）原式．
【總結】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進行因式分解，注意進行巧算．
例5．利用因式分解簡便計算：___________．
【難度】★★
【答案】45.8．
【解析】原式．
【總結】本題主要考查利用乘法公式進行簡便運算．
例6．若，則=________，=________．
【難度】★
【答案】．
【解析】．
【總結】本題主要考查整式的乘法以及待定系數(shù)法．
例7．分解因式：=________________．
【難度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【總結】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進行因式分解，注意分解要徹底．
例8．已知：若，則的值為________．
【難度】★★
【答案】4或-1．
【解析】∵，∴．
∴a = 4b或a = -b，∴的值為4或-1．
【總結】本題主要考查利用因式分解解二次方程．
例9．如果已知，，則的值為________．
【難度】★★
【答案】24．
【解析】．
【總結】利用因式分解求解代數(shù)式的值．
例10．若，則=________，=________．
【難度】★★
【答案】30；74．
【解析】；．
【總結】本題主要考查利用因式分解求解代數(shù)式的值以及整體代入思想的運用．
例11．若時，=________．
【難度】★★
【答案】4．
【解析】∵，又，∴．
【總結】本題主要考查利用因式分解求解代數(shù)式的值以及整體代入思想的運用．
例12．已知兩個正方形的周長差是96cm，面積差是960，則這兩個正方形的邊長分別是________________cm．
【難度】★★
【答案】32和8．
【解析】設較大的邊長為，較小的邊長為，由兩個正方形的周長差是96cm，面積差是960，可得；由此變形可得，∴．
【總結】本題主要考查因式分解在有關正方形周長和面積求解中的運用．
例13．已知正方形的面積是（），利用分解因式，寫出表示該正方形的邊長的代數(shù)式________________．
【難度】★★
【答案】．
【解析】．
【總結】本題主要考查因式分解在有關正方形面積求解中的運用．
例14．甲、乙兩個同學分解因式時，甲看錯了，分解結果為．乙看錯了，分解結果為，則=________，=________．
【難度】★★
【答案】6，9．
【解析】由可得：，再由可得：．
【總結】考查整式的乘法以及待定系數(shù)法，要認真理解題意．
考點三：解答題
例1．在下列各式中，從左到右的變形是不是因式分解？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★
【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是．
【解析】（1）乘法公式；（3）沒有表示成乘積的形式；（4）因式不是整式．
【總結】本題主要考查因式分解的概念．
例2．把下列各式因式分解：
（1）； （2）；（3）；
（4）； （5）；（6）．
【難度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【解析】（1）原式；（2）原式；
（3）原式；（4）原式；
（5）原式；（6）原式．
【總結】本題主要考查如何選取適當?shù)姆椒ㄟM行因式分解，注意分解時不要漏項．
例3．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式；（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【總結】本題主要考查利用乘法公式進行因式分解，注意對公式的準確運用．
例4．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【總結】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進行因式分解，注意分解一定要徹底．
例5．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【總結】考查利用不同的方法進行因式分解，注意分解要徹底，分到不能再分解為止．
例6．把下列各式分解因式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【總結】考查利用不同的方法進行因式分解，注意分解要徹底，分到不能再分解為止．
例7．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【總結】考查利用不同的方法進行因式分解以及整體思想的運用．
例8．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【總結】考查利用不同的方法進行因式分解，注意代數(shù)式系數(shù)的化簡．
例9．運有簡便的方法計算：．
【難度】★★
【答案】360．
【解析】原式
．
【總結】本題主要考查利用數(shù)的質因數(shù)分解以及平方差公式和提取公因式進行簡便運算．
例10．利用簡便方法計算下列各題：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）999919；（2）1．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【總結】本題主要考查利用因式分解的思想進行簡便運算．
例11．利用分解因式進行計算：．
【難度】★★
【答案】29.4．
【解析】原式．
【總結】本題主要考查利用因式分解的思想進行簡便運算．
例11．已知：，求的值．
【難度】★★
【答案】2．
【解析】原式，把代入，得：．
【總結】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運用．
例12．已知：，，求的值．
【難度】★★
【答案】2．
【解析】．
【總結】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運用．
【過關檢測】
一、單選題
1．（2020·上海七年級期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．2x（x－1）＝2x2－2xB．x2－2x＋3＝x（x－2）＋3
C．（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2D．－x2＋2x＝－x（x－2）
【答案】D
【分析】根據因式分解的定義逐項判斷即可得．
【詳解】A、等式的右邊不是乘積的形式，不是因式分解，此項不符題意；
B、等式的右邊不是乘積的形式，不是因式分解，此項不符題意；
C、等式的右邊不是乘積的形式，不是因式分解，此項不符題意；
D、等式的右邊是乘積的形式，且左右兩邊相等，是因式分解，此項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了因式分解，熟記定義是解題關鍵．
2．（2020·上海市盧灣中學七年級期末）將下列多項式分解因式，結果中不含因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據因式分解的定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫做分解因式，又叫做因式分解,解答即可.
【詳解】,A項正確；
，B項錯誤；
，C項錯誤；
，D項錯誤.
故答案選A
【點睛】本題考查因式分解的定義，熟練理解因式分解的定義是解決本題的關鍵.
3．（2020·上海七年級期末）下列多項式中，完全平方式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據完全平方公式：，逐一判斷即可．
【詳解】解：A、不符合完全平方式的特征，故不符合題意；
B、不符合完全平方式的特征，故不符合題意；
C、=，故本選項符合題意；
D、不符合完全平方式的特征，故不符合題意．
故選C．
【點睛】此題考查的是完全平方式的判斷，掌握完全平方公式的特征是解題關鍵．
4．（2020·上海市梅隴中學七年級期中）下列各式可以用完全平方公式因式分解的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由完全平方公式：的特點逐一判斷各選項即可得到答案．
【詳解】解：由不符合公式特點，故錯誤；
也不符合公式特點，故錯誤；
不符合公式特點，故錯誤；
符合公式特點，故正確；
故選．
【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解題的關鍵．
二、填空題
5．（2019·上海七年級期末）分解因式：2a3﹣8a=________．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【詳解】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，
．
6．（2019·上海外國語大學尚陽外國語學校七年級月考）計算：0.6a2b?a2b2﹣（﹣10a）?a3b3＝_____．
【答案】a4b3；
【分析】根據單項式相乘的法則計算后合并同類項可得答案.
【詳解】解：原式=
=.
【點睛】本題主要考查單項式的乘法及合并同類項.
7．（2019·上海市培佳雙語學校）分解因式 ________．
【答案】
【分析】首先把式子進行變形，變?yōu)椋簒（2?x）＋6（2?x），在提取公因式（2?x）即可.
【詳解】x（2?x）?6（x?2），
＝x（2?x）＋6（2?x），
＝（2?x）（x＋6），
故答案為：（2?x）（x＋6）
【點睛】此題主要考查了提公因式法分解因式，解題時一定要首先注意觀察，注意分解要徹底．
8．（2019·上海市實驗學校西校）因式分解：2-32=_______
【答案】
【分析】先提公因數(shù)2，再用平方差公式分解因式，即可得出答案.
【詳解】，故答案為：.
【點睛】本題考查的是因式分解，因式分解的方法有：①提公因式；②公式法；③分組分解；④十字相乘.
9．（2019·上海市民辦尚德實驗學校七年級月考）分解因式4x2﹣4x+1＝_____．
【答案】（2x﹣1）2．
【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2分解即可．
【詳解】解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．
【點睛】本題考查用公式法進行因式分解的能力，要會熟練運用完全平方公式分解因式．
10．（2019·上海外國語大學尚陽外國語學校）分解因式：_________________.
【答案】
【分析】觀察等式的右邊，提取公因式即可求得答案．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】此題考查了提取公因式法分解因式．解題的關鍵是注意找準公因式．
11．（2019·上海七年級期中）因式分解：=____．
【答案】
【分析】根據平方差公式：因式分解即可．
【詳解】解：==
故答案為：．
【點睛】此題考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解決此題的關鍵．
12．（2019·上海市長寧中學）分解因式：__________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式分解因式的知識求解即可求得答案．
【詳解】＝．
故答案為：．
【點睛】此題考查了完全平方公式分解因式．此題比較簡單，注意完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
13．（2019·上海七年級期中）因式分解：＝________________．
【答案】xy（y-x）
【分析】觀察發(fā)現(xiàn)有公因式xy，直接提取公因式可得．
【詳解】解：xy2-x2y=xy（y-x）．
故答案為：xy（y-x）．
【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，準確找出公因式是解題的關鍵．
14．（2019·上海七年級期末）分解因式：________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式即可直接分解．
【詳解】原式
．
故答案為．
【點睛】本題考查運用完全平方公式分解因式，熟記其公式是解題關鍵．
15．（2020·上海嘉爍教育培訓有限公司七年級期末）因式分解：____________.
【答案】
【分析】根據提公因式法分解因式即可.
【詳解】；故答案為.
【點睛】本題考查了提公因式法，解題的關鍵是公因式的確定.
16．（2020·上海市蒙山中學七年級期中）分解因式： ____________．
【答案】
【分析】直接提取公因式即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了提取公因式法分解因式，掌握知識點是解題關鍵．
17．（2020·上海市建平中學西校七年級期中）分解因式：______．
【答案】
【分析】首先提取公因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了提公因式和平方差公式進行因式分解，解題的關鍵是掌握因式分解的方法進行化簡．
三、解答題
18．（2020·上海第二工業(yè)大學附屬龔路中學七年級期中）因式分解：
【答案】
【分析】根據平方差公式得到，再由根據平方差公式得到，即可得到答案.
【詳解】==.
【點睛】本題考查用平方差公式進行因式分解，解題的關鍵是掌握用平方差公式進行因式分解.
19．（2019·上海市育鷹學校七年級期中）因式分解：a3b-2a2b+ab
【答案】ab(a-1)2
【分析】先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式得出即可.
【詳解】原式=ab(a2-2a+1)=ab(a-1)2
【點睛】本題考查提取公因式法以及完全平方公式分解因式，熟練掌握提取公因式法以及完全平方公式分解因式是解題關鍵．
20．（2020·上海市蒙山中學七年級期中）分解因式：
【答案】
【分析】首先提取公因式3，進而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【詳解】解：
=
．
【點睛】本題考查提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．
21．（2019·上海市實驗學校西校）閱讀材料:對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是
(1)按照這個規(guī)定請你計算 的值
(2)按照這個規(guī)定化簡 ，并將結果因式分解
【答案】（1）-2；（2）化簡：，因式分解：
【分析】（1）根據定義計算即可得出答案；
（2）先根據定義展開成代數(shù)式，再因式分解即可得出答案.
【詳解】解：（1）=5×8-6×7=40-42=-2
（2）
【點睛】本題考查的是新定義，運用到的知識點有整式的四則混合運算以及因式分解，需要熟練掌握整式的四則混合運算法則以及因式分解的方法.
22．（2019·上海市嘉定區(qū)華江中學七年級月考）已知正方形的面積是（，）,利用分解因式，寫出表示該正方形的邊長的代數(shù)式
【答案】3x＋y
【詳解】9x2+6xy+y2=（3x+y）2．
故該正方形的邊長為3x+y．
23．（2019·上海七年級期中）因式分解：
【答案】
【分析】直接提取公因式3ab，進而利用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】解：
=
=
【點睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用乘法公式是解題關鍵．
24．（2019·上海七年級期末）分解因式：．
【答案】．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式進行因式分解，即可得到答案．
【詳解】解：
=
=．
【點睛】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握因式分解的方法進行解題．

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