滬教版數(shù)學(xué)教材主要有以下特點(diǎn)：
1. 立足實(shí)際，貼近生活。教材中的案例和題目都來源于學(xué)生生活實(shí)際。
2. 突出思維訓(xùn)練，注重創(chuàng)新能力。提高學(xué)生的解題、思維能力，夠激發(fā)創(chuàng)新力和發(fā)散思維。
3. 知識(shí)與技能并重，注重應(yīng)用。教材中既注重知識(shí)點(diǎn)的講解和掌握，同時(shí)也重視技能的訓(xùn)練和應(yīng)用，使學(xué)生能夠在實(shí)際生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。
4. 多元化評價(jià)，注重全面發(fā)展。教材中的評價(jià)方式不僅包括傳統(tǒng)的考試、作業(yè)和口頭表現(xiàn)，更加注重學(xué)生的多方面發(fā)展。
第14講 十字相乘法
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
十字相乘法是在學(xué)生學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法、整式乘法、分解質(zhì)因數(shù)、整式加減法、提取公因式和運(yùn)用乘法公式對多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式等知識(shí)的基礎(chǔ)上，在學(xué)生已經(jīng)掌握了運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解因式之后，自然過渡到具有一般形式的二次三項(xiàng)式的分解因式，是從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律的典型范例．首先，這種分解因式的方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有較強(qiáng)的實(shí)用性，一是對它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了一般的二次三項(xiàng)式的分解因式方法，能直接運(yùn)用于某些形如這類二次三項(xiàng)式的分解因式，其次，還間接運(yùn)用于解一元二次方程和確定二次函數(shù)解析式上，為以后的求解一元二次方程、確定二次函數(shù)解析式等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，十字相乘法在初中階段的教學(xué)中具有十分重要的地位．
【基礎(chǔ)知識(shí)】
十字相乘法：如果二次三項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)能分解成兩個(gè)因式、的積，而且一次項(xiàng)系數(shù)又恰好是，那么就可以進(jìn)行如下的分解因式，
即：要將二次三項(xiàng)式分解因式，就需要找到兩個(gè)數(shù)、，使它們的積等于常數(shù)項(xiàng)，和等于一次項(xiàng)系數(shù), 滿足這兩個(gè)條件便可以進(jìn)行如下分解因式，
即：．由于把中的分解成兩個(gè)因數(shù)有多種情況，怎樣才能找到兩個(gè)合適的數(shù)，通常要經(jīng)過多次的嘗試才能確定采用哪種情況來進(jìn)行分解因式．
【考點(diǎn)剖析】
例1．如果，那么p等于（）．
A．a(chǎn)bB．C．D．
【難度】★
【答案】D
【解析】．
【總結(jié)】利用十字相乘法以及待定系數(shù)．
例2．不能用十字相乘法分解的是（）
A．B．C．D．
【難度】★
【答案】D
【解析】根據(jù)系數(shù)非負(fù)，無法把二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分解之后其之和等于1，判斷出D．
【總結(jié)】直接利用十字相乘法以及待定系數(shù)．
例3．分解因式：（1）；（2）．
【難度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】直接十字相乘即可．
【總結(jié)】直接利用十字相乘，注意如何分解二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)去湊一次項(xiàng)系數(shù)．
例4．分解因式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【難度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】直接十字相乘即可．
【總結(jié)】直接利用十字相乘，注意如何分解二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)去湊一次項(xiàng)系數(shù)．
例5．為下列各數(shù)時(shí)，將關(guān)于的多項(xiàng)式分解因式．
（1）；（2）．
【難度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【總結(jié)】直接利用十字相乘，注意如何分解二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)去湊一次項(xiàng)系數(shù)．
例6．分解因式：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【總結(jié)】直接利用十字相乘，注意如何分解二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)去湊一次項(xiàng)系數(shù)．
例7．分解因式：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】直接十字相乘即可．
【總結(jié)】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)去湊一次項(xiàng)系數(shù)．
例8．分解因式：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【總結(jié)】本題需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式時(shí)要先提取公因式．
例9．分解因式：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式
．
【總結(jié)】本題需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式時(shí)要先提取公因式，另外注意因式分解一定要分解到不能分解為止．
例10．分解因式：．
【難度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【總結(jié)】本題主要是利用提取公因式法和公式法分解因式，注意因式分解一定要分解到不能分解為止．
例11．分解因式：．
【難度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【總結(jié)】直接利用十字相乘，注意帶字母系數(shù)之間的十字相乘方法仍舊要和數(shù)字相同．
例12．分解因式：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【總結(jié)】利用整體法進(jìn)行十字相乘，注意因式分解要徹底．
例13．分解因式：
（1）；
（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】直接利用十字相乘法，其中把括號(hào)內(nèi)與看作整體即可．
【總結(jié)】利用整體法進(jìn)行十字相乘，注意因式分解要徹底．
例14．分解因式：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式
．
【總結(jié)】先平方差公式的運(yùn)用，再進(jìn)行十字相乘，注意因式分解要徹底．
例15．分解因式：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【總結(jié)】利用整體法進(jìn)行十字相乘，注意因式分解要徹底．
例16．分解因式：
（1）；（2）．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【總結(jié)】利用整體法進(jìn)行十字相乘，注意因式分解要徹底．
師生總結(jié)
十字相乘法的基本步驟和方法是什么？
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（2019·上海市久隆模范中學(xué)七年級期中）下列因式分解中正確的是（ ）
A．4x2-9y2=（4x+9y）（4x-9y）B．a(chǎn)2-a-2=（a-2）（a-1）
C．a(chǎn)2（a2-b）+b（a2-b）=a4-b2D．a(chǎn)2-
【答案】D
【分析】根據(jù)提公因式法、公式法和十字相乘法，對各選項(xiàng)分析判斷即可．
【詳解】A. 利用平方差公式：，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 利用十字相乘法：，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. 利用提公因式法：，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. 利用完全平方公式：，本選項(xiàng)正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題關(guān)鍵在于熟練掌握提公因式法、公式法和十字相乘法.
2．（2019·上海市嘉定區(qū)華江中學(xué)七年級月考）下列各多項(xiàng)式中因式分解結(jié)果為（2-x）（3+x）的多項(xiàng)式為（ ）
A．6+x-x2B．6-x+x2C．6+x+x2D．6-x-x2
【答案】D
【分析】把（2?x）（3＋x）展開即可得到答案．
【詳解】解：（2?x）（3＋x）＝6+2x-3x-x2＝6?x?x2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解與整式乘法，注意因式分解的實(shí)質(zhì)是整式乘法的逆過程．
3．（2020·上海市川沙中學(xué)南校七年級期末）要使能在有理數(shù)的范圍內(nèi)因式分解，則整數(shù)的值有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)把-6分解成兩個(gè)因數(shù)的積，m等于這兩個(gè)因數(shù)的和，分別分析得出即可．
【詳解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6，
∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1，
∴整數(shù)m的值有4個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了十字相乘法分解因式，對常數(shù)16的正確分解是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·上海）已知甲、乙、丙均為x的一次多項(xiàng)式，且其一次項(xiàng)的系數(shù)皆為正整數(shù)．若甲與乙相乘，積為，乙與丙相乘，積為，則甲與丙相加的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先將兩個(gè)代數(shù)式進(jìn)行因式分解，從而得出甲、乙、丙三個(gè)代數(shù)式，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵
∴甲為：x+7，乙為：x－7，丙為：x-2，
∴甲+丙=（x+7）+（x-2）=2x+5，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的就是因式分解的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．
二、填空題
5．（2019·上海七年級期中）因式分解：=___________．
【答案】
【分析】直接利用十字相乘法分解即可．
【詳解】解：
=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘發(fā)分解因式，是基礎(chǔ)題．
6．（2019·上海市民辦尚德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級月考）因式分解：x2+x-6＝________________.
【答案】(x+3)(x-2)
【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍(如實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為實(shí)數(shù))化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。常見的方法有：提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、拆補(bǔ)項(xiàng)法、配方法、換元法、待定系數(shù)法、十字相乘法等.
【詳解】
解：
故答案是：.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解，能多項(xiàng)式的特點(diǎn)選擇合適的方法因式分解是解題關(guān)鍵．
7．（2020·上海七年級期末）分解因式：__________．
【答案】
【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可．
【詳解】解：
=
=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查用提公因式法和十字相乘法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．
8．（2019·上海市風(fēng)華中學(xué)七年級期中）因式分解：a2+7a-8=__________.
【答案】(a-1)(a+8)
【分析】運(yùn)用十字相乘法分解因式，這里-8=（-1）×8，7=（-1）+8
【詳解】解：a2+7a-8
=a2+(-1+8)a+8×(-1)
=(a-1)(a+8)
故答案為：(a-1)(a+8)
【點(diǎn)睛】本題考查用十字相乘法分解因式，解題時(shí)需要把常數(shù)項(xiàng)分解為兩個(gè)因數(shù)相乘的形式，并使它們的和等于一次項(xiàng)的系數(shù).
9．（2019·上海市吳涇中學(xué)七年級月考）分解因式：=____________________.
【答案】
【分析】根據(jù)所給多項(xiàng)式的系數(shù)特點(diǎn)，可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解．
【詳解】解：．
【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法分解因式，十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)．
10．（2019·上海市嘉定區(qū)華江中學(xué)七年級月考）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+kx+6能分解成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積，那么整數(shù)k的值為__（寫出一個(gè)即可）
【答案】7（答案不唯一）
【分析】根據(jù)十字相乘法進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：∵6＝1×6，
∴k的值可以是1+6＝7，即x2+7x+6=(x+1)(x+6)，
故答案為：7（答案不唯一）.
【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法的應(yīng)用，熟練掌握十字相乘法是解題關(guān)鍵.
11．（2019·上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)七年級月考）分解因式：=___________.
【答案】（x+9）（x-2）.
【分析】用十字相乘法分解即可得到答案.
【詳解】=（x+9）（x-2），
故填：（x+9）（x-2）.
【點(diǎn)睛】此題考察因式分解，根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆纸夥椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵，此題適合十字相乘法分解.
12．（2019·上海民辦張江集團(tuán)學(xué)校七年級期中）分解因式______________
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解即可得．
【詳解】5x2﹣28x+36=(5x﹣18)(x﹣2)．
故答案為：(5x﹣18)(x﹣2)．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解﹣十字相乘法，解答本題的關(guān)鍵是掌握十字相乘法．
13．（2019·上海市梅園中學(xué)七年級月考）分解因式________________．
【答案】
【分析】把-4寫成-4×1，又-4+1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【詳解】∵-4=-4×1，又-4+1=-3
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵．
14．（2020·上海七年級期末）分解因式：________.
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解因式即可.
【詳解】解：原式=.
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握各種因式分解方法是解題的關(guān)鍵.
15．（2021·上海）分解因式：_____．
【答案】
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【詳解】原式=（x-2）（x+5），
故答案為：（x-2）（x+5）
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題
16．（2020·上海市中國中學(xué)七年級月考）因式分解：
【答案】-x+2.
【分析】先提公因式，再根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解.
【詳解】解：原式=
=x(x+1)(x-6)
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.
17．（2019·上海市民辦新竹園中學(xué)）分解因式：
【答案】(a-1)2(a-4)(a+2)
【分析】先用十字相乘法分解，然后再用十字相乘法和完全平方公式二次分解.
【詳解】原式=(a2-2a+1)(a2-2a-8)
=(a-1)2(a-4)(a+2).
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法. 因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止.
18．（2019·上海市培佳雙語學(xué)校）3y-3xy-6y
【答案】
【分析】先提取公因式3y，然后利用十字相乘法因式分解即可
【詳解】原式=
=
【點(diǎn)睛】本題主要考查了提公因式與十字相乘法因式分解，熟練掌握二者方法的使用是關(guān)鍵
19．（2019·上海市培佳雙語學(xué)校）-7x-60
【答案】
【分析】利用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可
【詳解】
原式=
=
【點(diǎn)睛】本題主要考查了十字相乘法進(jìn)行因式分解，熟練掌握該方法是關(guān)鍵
20．（2020·上海市民辦立達(dá)中學(xué)七年級期末）因式分解：
【答案】
【分析】先將式子寫成兩個(gè)因式相乘的形式，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)因式符合平方差公式，繼續(xù)用平方差公式分解即可.
【詳解】原式=
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.
21．（2019·上海市延安初級中學(xué)七年級期末）
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解，然后再用平方差公式分解即可．
【詳解】原式=
=．
【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法和十字相乘法分解因式，注意分解要徹底．
22．（2019·上海）因式分解：
【答案】
【分析】根據(jù)十字相乘法因式分解即可.
【詳解】解：原式.
【點(diǎn)睛】本題是對因式分解的考查，熟練掌握因式分解的十字相乘法是解決本題的關(guān)鍵.
23．（2020·上海市延安初級中學(xué)七年級期末）
【答案】
【分析】利用十字相乘法和公式法分解因式得出答案即可．
【詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法、公式法分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．
24．（2020·上海市澧溪中學(xué)七年級月考）因式分解：
【答案】
【分析】根據(jù)十字相乘法和完全平方公式進(jìn)行分解即可
【詳解】解：原式
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解----十字相乘法和公式法，借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
25．（2020·上海七年級期末）分解因式：
【答案】
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【詳解】解：
=
=．
【點(diǎn)睛】此題考查的是因式分解，掌握利用十字相乘法因式分解是解題關(guān)鍵，需要注意的是因式分解要徹底．
26．（2021·上海）分解因式：．
【答案】
【分析】先利用十字相乘法分解，再利用平方差公式進(jìn)行分解即可．
【詳解】解：原式
故答案為：（x-1)(x+1)(x-3)(x+3)
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握十字相乘法和平方差公式是解題關(guān)鍵．

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