滬教版數(shù)學(xué)教材主要有以下特點(diǎn)：
1. 立足實(shí)際，貼近生活。教材中的案例和題目都來源于學(xué)生生活實(shí)際。
2. 突出思維訓(xùn)練，注重創(chuàng)新能力。提高學(xué)生的解題、思維能力，夠激發(fā)創(chuàng)新力和發(fā)散思維。
3. 知識與技能并重，注重應(yīng)用。教材中既注重知識點(diǎn)的講解和掌握，同時(shí)也重視技能的訓(xùn)練和應(yīng)用，使學(xué)生能夠在實(shí)際生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。
4. 多元化評價(jià)，注重全面發(fā)展。教材中的評價(jià)方式不僅包括傳統(tǒng)的考試、作業(yè)和口頭表現(xiàn)，更加注重學(xué)生的多方面發(fā)展。
第14講 可化為一元一次方程的分式方程（核心考點(diǎn)講與練）
【知識梳理】
一、分式方程、根與增根
1.分式方程
分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.
要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未
知數(shù).
（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.
2.分式方程的根、增根及檢驗(yàn)
分式方程的解也叫作分式方程的根．
在檢驗(yàn)時(shí)只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個(gè)根；如果它使最簡公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根．
要點(diǎn)詮釋：（1）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．
（2）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．
二、分式方程的解法
1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.
2.分式方程的一般步驟：
（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母）；
（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；
（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.
三、分式方程的應(yīng)用
分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.
列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：
（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）設(shè)未知數(shù)；
（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；
（4）解這個(gè)分式方程；
（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；
（6）寫出答案.
要點(diǎn)詮釋：1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這五5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．
2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時(shí)間；工作量問題：工作效率=工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會分析題意，提高理解能力．
【核心考點(diǎn)精講】
一．分式方程的定義（共2小題）
1．（2019秋?黃浦區(qū)校級期末）x＝﹣1是下列哪個(gè)分式方程的解（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)方程解的意義，使方程左右兩邊相等的式子值叫方程的解，分別代入判斷即可．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，
A.中，的分母等于0，分式無意義，A不合題意；
B.中，x2﹣1＝0，分母等于0，分式無意義，B不合題意；
C.中，的分母等于0，分式無意義，C不合題意；
D.中，，D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解，解決本題的關(guān)鍵是正確理解分式方程解的意義，做題時(shí)要考慮分母是否為0的情況．
2．（2019秋?嘉定區(qū)期末）下列關(guān)于x的方程：+x＝1，＝，＝，＝2中，分式方程的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】由分式方程的定義可知：＝不是分式方程．
【解答】解：＝不是分式方程，是整式方程，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查分式方程的定義；熟練掌握分式方程的定義，能夠準(zhǔn)確判斷分式方程是解題的關(guān)鍵．
二．分式方程的解（共2小題）
3．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）如果關(guān)于x的方程﹣＝0無解，則m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【分析】分式方程無解，即化成整式方程時(shí)無解，或者求得的x能令最簡公分母為0，據(jù)此進(jìn)行解答．
【解答】解：方程的兩邊都乘以（x﹣2），得
﹣m﹣（1﹣x）＝0
解得x＝m+1
當(dāng)x＝2時(shí)，原分式方程無解，
所以m+1＝2
解得m＝1．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解法．注意分式方程的增根．分式方程無解分兩種情況：整式方程本身無解；分式方程產(chǎn)生增根．
4．（2021秋?寶山區(qū)期末）如果關(guān)于x的方程無解，那么k＝ 2 ．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解確定出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出k的值．
【解答】解：去分母得：x+2x﹣4＝k，
由分式方程無解，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：k＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個(gè)條件．
三．解分式方程（共6小題）
5．（2022春?寶山區(qū)校級月考）＝1．
【分析】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：＝1，
﹣＝1，
3﹣x＝x（x﹣3），
解得：x＝3或x＝﹣1，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3是，x（x﹣3）＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根．
【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．
6．（2021秋?寶山區(qū)期末）解方程：＝﹣1．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程變形得：＝﹣﹣1，
去分母得：3＝﹣4﹣（x﹣2），
去括號得：3＝﹣4﹣x+2，
解得：x＝﹣5，
檢驗(yàn)：把x＝﹣5代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解為x＝﹣5．
【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．
7．（2021秋?北海期末）解方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4+x（x+3）＝x2﹣9，
去括號得：4+x2+3x＝x2﹣9，
解得：x＝﹣，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣是分式方程的解．
【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．
8．（2021秋?浦東新區(qū)期末）解方程：．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣1﹣x2﹣x＝2x﹣2，
解得：x＝，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝是分式方程的解．
【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．
9．（2020秋?虹口區(qū)期末）解方程：．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4﹣2（x﹣3）＝﹣8，
去括號得：4﹣2x+6＝﹣8，
移項(xiàng)合并得：﹣2x＝﹣18，
解得：x＝9，
檢驗(yàn)：把x＝9代入得：x﹣3≠0，
∴x＝9是原方程的解．
【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．
10．（2021秋?普陀區(qū)期末）解方程：1+＝．
【分析】按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：1+＝，
1﹣x2+1＝x（1﹣x），
解得：x＝2，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，1﹣x2≠0，
∴x＝2是原方程的根．
【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．
四．分式方程的增根
11．（2018秋?浦東新區(qū)期末）關(guān)于y的方程：＝+1有增根，求m的值．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出m的值即可．
【解答】解：分式方程變形得：＝+1，
兩邊同時(shí)乘以（y﹣2）得：﹣3＝4+m+y﹣2，
整理得：m+y＝﹣5，
∵方程有增根，∴y＝2，
∴m+2＝﹣5，
∴m＝﹣7．
【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
12.（川中南2020期末16）若關(guān)于的分式方程有增根，則__________．
【答案】-2;
【解析】解：∵分式方程有增根，∴x-1=0，∴x=1．把兩邊都乘以x-1，得a+1=x-2，∴a+1=1-2，∴a=-2．故答案為：-2．
13.若解關(guān)于x的分式方程會產(chǎn)生增根，求m的值．
【思路點(diǎn)撥】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．
【答案與解析】解：方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2）
∵最簡公分母為（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根為x=±2，
∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．
把x=﹣2代入整式方程，得m=6．
綜上，可知m=﹣4或6．
【總結(jié)升華】增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
14.如果方程有增根，那么增根是________．
【答案】；
提示：因?yàn)樵龈鞘狗质降姆帜笧榱愕母?，由分母或可得．所以增根是?br>15.（1）若分式方程有增根，求值；
（2）若分式方程有增根，求的值．
【答案與解析】解：（1）方程兩邊同乘，得．
∴ ．∴ ．
由題意知增根為或，
∴ 或．
∴ 或．
（2）方程兩邊同乘，得．
∴ ．
∴ ．
∵ 增根為，
∴ ．
∴ ．
【總結(jié)升華】(1)在方程變形中，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根．在分式方程中，使最簡公分母為零的根是原方程的增根；(2)這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值．
16.是否存在實(shí)數(shù)x，使得代數(shù)式﹣與代數(shù)式1+的值相等．
【答案】解：根據(jù)題意得：﹣=1+，
去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4+4x+8，
移項(xiàng)合并得：8x=﹣16，
解得：x=﹣2，
經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣2是增根，分式方程無解，
所以不存在這樣的實(shí)數(shù)x，使得代數(shù)式﹣與代數(shù)式1+的值相等．
五、分式方程的應(yīng)用
17.（浦東四署2020期末26）書店老板去圖書批發(fā)市場購買某種圖書. 第一次用1200元購書若干本，并按該書定價(jià)7元出售，很快售完. 由于該書暢銷，第二次購書時(shí)，每本書的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%，他用1500元所購該書數(shù)量比第一次多10本. 當(dāng)按定價(jià)售出200本時(shí)，出現(xiàn)滯銷，便以定價(jià)的4折售完剩余的書. 試問該老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了（不考慮其它因素）？若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多少？
【答案】賺了；共賺了520元;
【解析】解：設(shè)第一次購書的單價(jià)為x元，第二次購書的單價(jià)為1.2x元. 根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解. 所以第一次購書為：（本），第二次購書為240+10=250（本），第一次賺錢為元，第二次賺錢：
=40元，故兩次一共賺錢：480+40=520元. 答：該老板兩次售書總體上是賺錢了，共賺了520元.
18、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹，甲班種
60棵樹所用的時(shí)間與乙班種66棵樹所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹?
【思路點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系為：甲班種60棵樹所用的時(shí)間與乙班種66棵樹所用的時(shí)間相等．
【答案與解析】解：設(shè)甲班每小時(shí)種棵樹，則乙班每小時(shí)種棵樹．由題意可，得
，
解這個(gè)方程，得．
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根且符合題意．
所以(棵)．
答：甲班每小時(shí)種20棵樹，乙班每小時(shí)種22棵樹．
【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后，用含的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時(shí)間．
19.在我市開展“五城聯(lián)創(chuàng)”活動中，某工程隊(duì)承擔(dān)了某小區(qū)900米長的污水管道改造任務(wù)．工程隊(duì)在改造完360米管道后，引進(jìn)了新設(shè)備，每天的工作效率比原來提高了20%，結(jié)果共用27天完成了任務(wù)，問引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道多少米？
【答案】解：設(shè)原來每天改造管道x米，由題意得：
+=27，
解得：x=30，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=30是原分式方程的解，
（1+20%）x=1.2×30=36．
答：引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道36米．
20、某市在道路改造過程中，需要鋪設(shè)一條長為1000米的管道，決定由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)
來完成這一工程．已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天能多鋪設(shè)20米，且甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的
天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同．
(1)甲、乙工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米?
(2)如果要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊(duì)分配工程量(以百米為單位)
的方案有幾種?請你幫助設(shè)計(jì)出來．
【答案與解析】解：(1)設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米．
根據(jù)題意，得．解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解且符合題意．
故甲、乙兩工程隊(duì)每天分別能鋪設(shè)70米和50米．
(2)設(shè)分配給甲工程隊(duì)米，則分配給乙工程隊(duì)米．
由題意，得 解得500≤≤700．
方案一：分配給甲工程隊(duì)500米，分配給乙工程隊(duì)500米．
方案二：分配給甲工程隊(duì)600米，分配給乙工程隊(duì)400米．
方案三：分配給甲工程隊(duì)700米，分配給乙工程隊(duì)300米．
所以分配方案有3種．
【總結(jié)升華】本題主要考查列分式方程解應(yīng)用題，考查學(xué)生分析和解決問題的能力.
21．一慢車和一快車沿相同路線從A地到B地，慢車比快車早出發(fā)2小時(shí)，在離A地276公里處快車追上了慢車，慢車的速度是快車的，求慢車、快車的速度．
【答案】解：設(shè)快車速度為 ，則慢車速度為
依題意，得，
去分母，得276×2＝276×3－4，所以，
經(jīng)檢驗(yàn)知是原方程的解，所以，
答：慢車、快車的速度分別為46 、69．
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（2020·上海市澧溪中學(xué)七年級月考）下列等式是四位同學(xué)解方程過程中去分母的一步，其中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】去分母根據(jù)的是等式的性質(zhì)2，方程的兩邊乘以最簡公分母，即可將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．
【詳解】方程的兩邊同乘，得：，即，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)和解分式方程，注意：去分母時(shí)，不要漏乘不含分母的項(xiàng)．
2．（2019·上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級月考）若方程有一個(gè)根是x=1，則m的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將x=1代入方程得到關(guān)于m的方程，即可求出m的值.
【詳解】將x=1代入方程得: ,
解得.
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，由分式的解得到關(guān)于m的分式方程是解題的關(guān)鍵.
3．（2020·上海寶山·七年級期末）去分母解關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，則m的值為（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】先把分式方程化為整式方程，由于原分式方程有增根，則有x?2＝0，得到x＝2，即增根只能為2，然后把x＝2代入整式方程即可得到m的值．
【詳解】解：方程兩邊乘（x?2）得，x?3＝m，
∵分式方程有增根，
∴x?2＝0，即x＝2，
∴2?3＝m，
∴m＝?1．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程有增根，求方程中的參數(shù)，掌握增根的定義是解題關(guān)鍵．
4.（2019浦東四署12月考5）如果關(guān)于x的方程無解，則m的值是（ ）
A. - 1； B.1； C.0； D.2.
【答案】B；
【解析】解：去分母得，得，依題可知為方程的增根，故即.
5.（盧灣中學(xué)2020期末4）是下列哪個(gè)分式方程的解（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
【解析】解:當(dāng)時(shí)，A.中，的分母等于0，分式無意義，A錯(cuò)誤；B.中，，分母等于0，分式無意義，B錯(cuò)誤；C.中，的分母等于0，分式無意義，C錯(cuò)誤；D.中，，D正確.故答案是：D.
二、填空題
6．（2021·上海浦東新·七年級期末）A、B兩地相距121千米，甲車和乙車的平均速度之比為4：5，兩車同時(shí)從A地出發(fā)到B地，乙車比甲車早到20分鐘，求甲車的平均速度．若設(shè)甲車平均速度為4x千米/小時(shí)，則所列方程是__________．
【答案】
【分析】設(shè)甲車平均速度為4x千米/小時(shí)，則乙車平均速度為5x千米/小時(shí)，根據(jù)甲車比乙車多用了20分鐘的等量關(guān)系列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)甲車平均速度為4x千米/小時(shí)，則乙車平均速度為5x千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是設(shè)出速度，以時(shí)間差作為等量關(guān)系列方程．
7．（2019·上海市控江初級中學(xué)七年級月考）已知，則x應(yīng)滿足__________.
【答案】
【分析】解方程即可得解
【詳解】解：去分母得，
解得
經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，故x應(yīng)滿足，
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵，注意解分式方程一定要檢驗(yàn).
8．（2019·上海市毓秀學(xué)校七年級期中）若關(guān)于x的方程有增根，則a=______________
【答案】-3
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)方程有增根得到x的值，將x的值代入方程求出a的值即可.
【詳解】把方程整理為，
根據(jù)方程有增根，得到3-x=0，即x=3，
將x=3代入得，-a=3,
∴a=-3.
故答案為：-3.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的增根，熟記分式方程有增根即最簡公分母等于0是解決此類問題的關(guān)鍵．
9.（西南模2019期中12）若關(guān)于x的方程有增根，則m＝ ．
【答案】；
【解析】解：＝，∴m＝2x2﹣25，
∵方程有增根，∴x＝3或x＝4，∴m＝﹣7或m＝7，故答案為±7．
三、解答題
10．（2020·上海市中國中學(xué)七年級月考）解方程：
【答案】x=-5.
【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟求出x的值即可.
【詳解】解：去分母得，10+5x=2x-5
移項(xiàng)，得：5x-2x=-5-10
合并同類項(xiàng)得：3x=-15
系數(shù)化為1，得：x=-5.
經(jīng)檢驗(yàn)x=-5是原分式方程的解.
∴原分式方程的解為x=-5.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，解分式方程時(shí)注意要檢驗(yàn).
11．（2019·上海市毓秀學(xué)校七年級期中）解方程：
【答案】x=
【分析】觀察可得方程的最簡公分母為(x-1)(x+2)，去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，結(jié)果要檢驗(yàn).
【詳解】
去分母得，，
解得，x=,
經(jīng)檢驗(yàn)，x=是原方程的解，
∴原方程的解為：x=.
【點(diǎn)睛】解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；解分式方程一定要驗(yàn)根.
12．（2019·上海奉賢·七年級期末）解方程：．
【答案】
【分析】按照解分式方程的步驟，先去分母，再解整式方程，最后檢驗(yàn)即可.
【詳解】解： ，
方程兩邊同時(shí)乘得，
，
解得，，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以，原分式方程的解為.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，要注意分式方程需要檢驗(yàn).
13．（2019·上海市控江初級中學(xué)七年級月考）當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程，無解。
【答案】或
【分析】先將分式方程化為整式方程，然后分未知數(shù)的系數(shù)為0和不為0兩種情況討論
【詳解】解:去分母，
整理得，
當(dāng)即時(shí)，此方程無解；
當(dāng)時(shí)，，
由題意知方程有增根，且增根為，
解得，
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，原方程無解.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的問題，解題時(shí)要注意原方程無解既可能是有增根，也可能是整式方程無解.
14.（浦東四署2020期末22）解分式方程：.
【答案】x=2；
【解析】解：去分母得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)x=2是分式方程的解，所以，原方程的解是x=2.
15.（延安初中2020期末27）解方程:
【答案】x=0；
【解析】解:去分母得:3-x(x+3)=-(x2+2x-3)，去括號,得:3- x2-3x=-x2-2x+3，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得:x=0.
經(jīng)檢驗(yàn)x=0是原分式方程的解,∴原分式方程的解為x=0.
16．（2019·上海市控江初級中學(xué)七年級月考）解分式方程：
【答案】.
【分析】將方程兩邊變形，先消去分子中的未知數(shù)然后進(jìn)一步求解.
【詳解】解：
由于
解得
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解.
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，對于較復(fù)雜的分式方程，要想辦法進(jìn)行化簡，一般不要直接去分母把方程化成高次數(shù)方程求解.
17.（浦東南片2020期末25）已知，求的值.
【答案】；
【解析】解：∵， 左邊=，
右邊=，所以，解得：. 把，代入，．
18．（2020·上海市中國中學(xué)七年級月考）為了防止霧霾，某口罩生產(chǎn)企業(yè)需要在若干天內(nèi)加工2400個(gè)口罩，在實(shí)際生產(chǎn)中，由于提高了生產(chǎn)技術(shù)水平，每天加工的個(gè)數(shù)為原來的1.5倍，從而提前2天完成任務(wù)，問該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少個(gè)口罩？
【答案】400.
【分析】根據(jù)題意找出等量關(guān)系為：原計(jì)劃所用天數(shù)-實(shí)際所用天數(shù)=2，把相關(guān)數(shù)值代入整理即可.
【詳解】解：設(shè)該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x個(gè)口罩，依題意得：

解之得：x=400.
答：該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)400個(gè)口罩.
【點(diǎn)睛】考查列分式方程；得到原計(jì)劃所用天數(shù)與實(shí)際所用天數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
19．（2020·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中）學(xué)生小李為使跳繩200次所用的時(shí)間減少10秒，必須把每秒鐘的跳繩次數(shù)增加10%，問小李原來跳繩200次所用的時(shí)間是多少秒？
【答案】小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為110秒．
【分析】由題意設(shè)小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為x秒，根據(jù)單位跳繩次數(shù)×?xí)r間＝總次數(shù)列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為x秒．
根據(jù)題意得 ．
解得： x＝110．
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝110是原方程的根．
答：小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為110秒．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題并從中找到等量關(guān)系．
20．（2020·上海寶山·七年級期末）小麗乘出租車去體育場，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵；路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一的平均車速能提高50%，因此能比路線一節(jié)省10分鐘到達(dá)．那么選走路線二去體育場需要多少時(shí)間?
【答案】小麗選走路線二去體育場需要小時(shí)
【分析】設(shè)小麗走路線一的平均速度是x千米/小時(shí)，則小麗走路線二的平均速度是x（1+50%）千米/小時(shí)，根據(jù)走路線二比走路線一少用10分鐘建立方程求出x，即可求出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)小麗走路線一的平均速度是x千米/小時(shí)，則走路線二的平均速度是x（1+50%）千米/小時(shí)，
由題意，得，
解得：x=30，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解且符合題意．
故選走路線二去體育場需要=(小時(shí))．
答：小麗選走路線二去體育場需要小時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，根據(jù)條件找到等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵，解分式方程要驗(yàn)根是必不可少的步驟．
21．（2019·上海市控江初級中學(xué)七年級月考）A、B兩地相距20千米，甲騎自行車自A地出發(fā)向B地方向行進(jìn)30分鐘后，乙騎自行車自B地出發(fā)向A地駛?cè)?，甲乙二人在B地12千米的C地相遇，若乙的速度是甲的速度的3倍，求甲乙兩人各自的速度。（要求列分式方程求解）
【答案】甲的速度為8千米/時(shí)，乙的速度為24千米/時(shí).
【分析】設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，則乙的速度為3x千米/時(shí)，根據(jù)題中等量關(guān)系列出分式方程即可求解.
【詳解】解：設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，乙的速度為3x千米/時(shí)，則有
解得：x=8
經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的解，
則3x=24．
答：甲的速度為8千米/時(shí)，乙的速度為24千米/時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查用分式方程解決行程問題；關(guān)鍵是根據(jù)時(shí)間得到相應(yīng)的等量關(guān)系．
22．（2019·上海奉賢·七年級期末）甲安裝隊(duì)為A小區(qū)安裝66臺空調(diào)，乙安裝隊(duì)為B小區(qū)安裝60臺空調(diào)，兩隊(duì)同時(shí)開工且恰好同時(shí)完工，甲隊(duì)比乙隊(duì)每天多安裝2臺，兩隊(duì)分別每天安裝幾臺空調(diào)？
【答案】甲隊(duì)每天安裝22臺空調(diào)，乙隊(duì)每天安裝20臺空調(diào)．
【分析】設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺空調(diào)，則甲隊(duì)每天安裝（x+2）臺空調(diào)，然后根據(jù)等量關(guān)系“兩隊(duì)同時(shí)開工且恰好同時(shí)完工”列出分式方程并解答即可．
【詳解】解：設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺空調(diào)，則甲隊(duì)每天安裝（x+2）臺空調(diào)，
根據(jù)題意得：，解得x=20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的根
∴甲隊(duì)每天安裝x+2=20+2=22（臺），乙隊(duì)每天安裝20臺空調(diào)．
答：甲隊(duì)每天安裝22臺空調(diào)，乙隊(duì)每天安裝20臺空調(diào)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出分式方程并正確求解成為解答本題的關(guān)鍵．
23.（川中南2020期末28）多多果品店在批發(fā)市場購買某種水果銷售，第一次用1200元購進(jìn)若干千克，由于水果暢銷，很快售完，第二次用1430元購買了一批水果，每千克的進(jìn)價(jià)比第一次提高了，所購買的水果的數(shù)量比第一次多20千克，求第一次購買水果的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？
【答案】5元;
【解析】解：設(shè)第一次購買水果的進(jìn)價(jià)是每千克x元，依題意得：，解之得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解并符合題意，所以，原方程的解是．答：第一次購買水果的進(jìn)價(jià)是每千克5元．
24.（延安初中2020期末29）甲、乙兩車同時(shí)從相距千米的地到地，甲比乙晚出發(fā)分鐘，結(jié)果乙比甲晚到分鐘，已知甲車平均速度是乙車平均速度的倍，求甲車的平均速度.
【答案】45千米/時(shí);
【解析】解: 設(shè)乙車的平均速度為x千米/時(shí),則甲車的平均速度為1.5x千米/時(shí),依題意得:
解得,x=30.經(jīng)檢驗(yàn)x=30是原方程的解,∴甲車的平均速度是1.5x=1.530=45(千米/時(shí))，答: 甲車的平均速度是45千米/時(shí).
25．（2019·上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)七年級期中）一水果店主分兩批購進(jìn)某一種水果，第一批所用資金為2400元，因天氣原因，水果漲價(jià)，第二批所用資金是2700元，但由于第二批單價(jià)比第一批單價(jià)每箱多10元，以致購買的數(shù)量比第一批少25%．
（1）該水果店主購進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是多少元？
（2）該水果店主計(jì)兩批水果的售價(jià)均定為每箱40元，實(shí)際銷售時(shí)按計(jì)劃無損耗售完第一批后，發(fā)現(xiàn)第二批水果品質(zhì)不如第一批，于是該店主將售價(jià)下降a%銷售，結(jié)果還是出現(xiàn)了20%的損耗，但這兩批水果銷售完后仍賺了不低于1716元，求a的最大值．
【答案】（1）水果店主購進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是20元；（2）a的最大值是30．
【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題，注意分式方程要檢驗(yàn)；
（2）根據(jù)題意可以得到關(guān)于a的不等式，從而可以求得a的最大值．
【詳解】（1）設(shè)第一批水果的單價(jià)是x元，
，
解得，x＝20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原分式方程的解，
答：水果店主購進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是20元；
（2）由題意可得，
，
解得，a≤30，
答：a的最大值是30．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程和不等式，利用分式方程和不等式的性質(zhì)解答．
26．（2018·上海松江·七年級期末）分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．例如，分式是，是真分式．如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個(gè)假分式可以化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和．例如，．
（1）將假分式化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和；
（2）如果分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．
【答案】（1）2-；（2）x=2或0
【分析】（1）根據(jù)題意，把分式，分子化為“”，再進(jìn)行化簡，寫成整式與真分式的和的形式即可；
（2）根據(jù)題中所給出的例子，把原式化為整式與真分式的和形式，再根據(jù)分式的值為整數(shù)即可得出x的值．
【詳解】（1）由題可得，==2-；
（2）==x+1+，
∵分式的值為整數(shù)，且x為整數(shù)，
∴x-1=±1，
∴x=2或0．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．
27.（莘松中學(xué)2019期中26）一水果店主分兩批購進(jìn)某一種水果，第一批所用資金為2400元，因天氣原因，水果漲價(jià)，第二批所用資金是2700元，但由于第二批單價(jià)比第一批單價(jià)每箱多10元，以致購買的數(shù)量比第一批少25%．
（1）該水果店主購進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是多少元？
（2）該水果店主計(jì)兩批水果的售價(jià)均定為每箱40元，實(shí)際銷售時(shí)按計(jì)劃無損耗售完第一批后，發(fā)現(xiàn)第二批水果品質(zhì)不如第一批，于是該店主將售價(jià)下降a%銷售，結(jié)果還是出現(xiàn)了20%的損耗，但這兩批水果銷售完后仍賺了不低于1716元，求a的最大值．
【答案】（1）水果店主購進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是20元；（2）a的最大值是30；
【解析】解：（1）設(shè)第一批水果的單價(jià)是x元，，解得，x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原分式方程的解，答：水果店主購進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是20元；（2）由題意可得，
，解得，a≤30，答：a的最大值是30．
28.（嘉定區(qū)2020期末27）A、B兩地相距80千米，甲與乙開車都從A地前往B地，甲開車從A地出發(fā)小時(shí)后，乙出從A地出發(fā)，已知乙開車速度是甲開車速度的1.5倍，結(jié)果乙比甲提前10分鐘到達(dá)B地，求甲開的速度.
【答案】80千米/小時(shí)；
【解析】解:設(shè)甲的速度為x千米/小時(shí)，則乙的速度為千米/小時(shí), 由題意得：
整理得：, 方程兩邊同乘以，得：, 解得：,經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意. 答：甲的速度為80千米/小時(shí).
29.（浦東四署2020期末27）在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題.
閱讀材料：在解決某些分式問題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一. 所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡，以達(dá)到計(jì)算目的.
例：已知：，求代數(shù)式的值.
解：因?yàn)椋约矗?
根據(jù)材料回答問題（直接寫出答案）：
（1），則= .
（2）解分式方程組，解得方程組的解為 .
【答案】（1）3；（2）；
【解析】（1）由得，所以即；
（2）原方程組可化為，即，令，則得，解之得，故.

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