滬教版數(shù)學(xué)教材主要有以下特點(diǎn)：
1. 立足實(shí)際，貼近生活。教材中的案例和題目都來源于學(xué)生生活實(shí)際。
2. 突出思維訓(xùn)練，注重創(chuàng)新能力。提高學(xué)生的解題、思維能力，夠激發(fā)創(chuàng)新力和發(fā)散思維。
3. 知識與技能并重，注重應(yīng)用。教材中既注重知識點(diǎn)的講解和掌握，同時(shí)也重視技能的訓(xùn)練和應(yīng)用，使學(xué)生能夠在實(shí)際生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。
4. 多元化評價(jià)，注重全面發(fā)展。教材中的評價(jià)方式不僅包括傳統(tǒng)的考試、作業(yè)和口頭表現(xiàn)，更加注重學(xué)生的多方面發(fā)展。
第05講 平方差公式（核心考點(diǎn)講與練）
【知識梳理】
1.平方差公式：
【核心考點(diǎn)精講】
一．平方差公式（共8小題）
1．（2021秋?黃浦區(qū)期中）計(jì)算（x+5）（x﹣5）+（x﹣3）（3﹣x）．
【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式以及合并同類項(xiàng)法則計(jì)算．
【解答】解：原式＝（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣3）（x﹣3）
＝x2﹣25﹣x2+6x﹣9
＝6x﹣34．
【點(diǎn)評】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）1001×999﹣9992
【分析】根據(jù)平方差公式解答即可．
【解答】解：原式＝（1000+1）（1000﹣1）﹣9992
＝10002﹣1﹣9992
＝（1000+999）（1000﹣999）﹣1
＝1999﹣1
＝1998．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平方差公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
3．（2019秋?長寧區(qū)校級月考）簡便計(jì)算：．
【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．
【解答】解：
＝
＝﹣
＝﹣（10000﹣）
＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平方差公式，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
4．（x+y）（x﹣y）（x2+y2）（x4+y4）
【分析】根據(jù)平方差公式從左到右依次計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣y2））（x2+y2）（x4+y4）
＝（x4﹣y4）（x4+y4）
＝x8﹣y8．
【點(diǎn)評】本題考查了平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
5．（2020秋?肇源縣期末）利用乘法公式計(jì)算：20202﹣2019×2021．
【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算2019×2021即可求解．
【解答】解：20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝1．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
6．（2020秋?普陀區(qū)期中）利用公式計(jì)算：101×99﹣972
【分析】根據(jù)平方差公式以及完全平方公式計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝（100+1）（100﹣1）﹣（100﹣3）2
＝1002﹣1﹣1002+600﹣9
＝590．
【點(diǎn)評】本題主要考查了乘法公式的應(yīng)用，熟記完全平方公式以及平方差公式是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2019秋?嘉定區(qū)校級月考）（2x﹣y﹣1）（2x+y﹣1）
【分析】先變形，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．
【解答】解：原式＝[（2x﹣1）﹣y][（2x﹣1）+y]
＝（2x﹣1）2﹣y2
＝4x2﹣4x+1﹣y2．
【點(diǎn)評】本題考查了平方差公式，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵，注意：平方差公式為（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
8．（2021秋?青浦區(qū)月考）請閱讀以下材料：
[材料]若x＝12349×12346，y＝12348×12347，試比較x，y的大?。?br>解：設(shè)12348＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．
因?yàn)閤﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，
所以x＜y．
我們把這種方法叫做換元法．
請仿照例題比較下列兩數(shù)大小：x＝997657×997655，y＝997653×997659．
【分析】令a＝997653，b＝997655，分別根據(jù)x、y的式子列出關(guān)于a、b的整式，根據(jù)整式的減法即可得解．
【解答】解：令a＝997653，b＝997655，
則x＝（a+4）b＝ab+4b，y＝a（b+4）＝ab+4a，
∵x﹣y＝（ab+4b）﹣（ab+4a）＝4（b﹣a）＝4×2＝8＞0，
∴x＞y．
【點(diǎn)評】此題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，熟記單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．
二．平方差公式的幾何背景（共3小題）
9．（2017秋?黃浦區(qū)校級期中）將正方形的四周剪去四個(gè)面積相等的小正方形，制作成一塊“十字型”紙板（如圖所示）．
（1）寫出紙板的面積；
（2）請畫出一個(gè)和這塊紙板面積相等的長方形；
（3）此長方形的長為 m+2n ，寬為 m﹣2n ．
【分析】（1）根據(jù)題意，紙板的面積就是大正方形的面積減去4個(gè)小正方形的面積；
（2）根據(jù)平方差公式的幾何背景畫出一個(gè)和這塊紙板面積相等的長方形即可；
（3）根據(jù)圖象可得長方形的長為：m+2n，寬為：m﹣2n．
【解答】解：
（1）紙板的面積為：m2﹣4n2；
（2）
（3）此時(shí)長方形的長為：m+2n，寬為：m﹣2n；
故答案為：m+2n，m﹣2n．
【點(diǎn)評】本題考查了平方差公式的幾何背景，難度不大．
10．（2020秋?黃浦區(qū)期末）如圖，從邊長為（2a+3）的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為2a的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線剪開拼成一個(gè)長方形（不重疊無縫隙），那么長方形的面積為（ ）
A．4a2+6aB．6a+9C．12a+9D．12a+15
【分析】根據(jù)裁剪拼圖可知，所拼成的長方形的長為（2a+3）+2a＝4a+3，寬為（2a+3）﹣2a＝3，由長方形面積的計(jì)算方法即可得出答案．
【解答】解：由題意可得，
所拼成的長方形的長為（2a+3）+2a＝4a+3，寬為（2a+3）﹣2a＝3，
所以長方形的面積為（4a+3）×3＝12a+9，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式表示拼成長方形的長、寬是解決問題的關(guān)鍵．
11．（2020秋?普陀區(qū)期中）如圖，邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，剩下部分正好拼成一個(gè)等腰梯形，利用這兩幅圖形面積，能驗(yàn)證怎樣的數(shù)學(xué)公式？（ ）
A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】根據(jù)左圖中陰影部分的面積是a2﹣b2，右圖中梯形的面積是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面積相等即可解答．
【解答】解：左邊陰影面積為a2﹣b2
右邊梯形面積為
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查的是平方差公式的幾何背景，運(yùn)用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共3小題）
1．（2021春?市中區(qū)期末）下列多項(xiàng)式乘法，能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是（ ）
A．（x+y）（﹣x﹣y）B．（2x+3y）（2x﹣3z）
C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（m﹣n）（n﹣m）
【分析】平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，看看每個(gè)選項(xiàng)是否符合公式即可．
【解答】解：A、不能用平方差公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不能用平方差公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、能用平方差公式，故本選項(xiàng)正確；
D、不能用平方差公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了對平方差公式的應(yīng)用，注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
2．（2021秋?楊浦區(qū)期中）下列整式的乘法中，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y）B．（﹣x﹣y）（﹣x+y）
C．（﹣x﹣y）（x+y）D．（﹣x+y）（x+y）
【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．
【解答】解：A、原式＝x2﹣y2，不符合題意；
B、原式＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，不符合題意；
C、原式＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，符合題意；
D、原式＝y(tǒng)2﹣x2，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
3．（2014秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖①，在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖②），通過計(jì)算兩個(gè)圖形的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】根據(jù)圖①中陰影部分的面積和圖②的面積，可以列出等式，從而可以解答本題．
【解答】解：由題意可得，
圖①中陰影部分的面積是：a2﹣b2，
圖②中矩形的面積是：（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出其中的等量關(guān)系．
二．填空題（共7小題）
4．（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）已知（x﹣ay）（x+ay）＝x2﹣16y2，那么a＝ ±4 ．
【分析】根據(jù)平方差公式把左邊展開進(jìn)行解答．
【解答】解：∵x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y），
∴a＝±4，
故答案為：±4．
【點(diǎn)評】本題考查了平方差公式，關(guān)鍵是利用公式展開求出a的值．
5．（2021秋?金山區(qū)期中）計(jì)算：（2a﹣b）（2a+b）＝ 4a2﹣b2 ．
【分析】根據(jù)平方差公式解決此題．
【解答】解：（2a﹣b）（2a+b）＝4a2﹣b2．
故答案為：4a2﹣b2．
【點(diǎn)評】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2021?奉賢區(qū)三模）計(jì)算：（2a+b）（2a﹣b）＝ 4a2﹣b2 ．
【分析】根據(jù)平方差公式，即可解答．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，
故答案為：4a2﹣b2．
【點(diǎn)評】本題考查了平方差公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方差公式．
7．（2020秋?浦東新區(qū)期末）在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)恼剑海?a+b）（ b﹣2a ）＝b2﹣4a2．
【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．
【解答】解：（2a+b）（b﹣2a）＝b2﹣4a2．
故答案為：b﹣2a．
【點(diǎn)評】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
8．（2021秋?金山區(qū)期中）計(jì)算：99.82﹣0.22＝ 9960 ．
【分析】根據(jù)平方差公式得到原式＝（99.8+0.2）（99.8﹣0.2），然后先計(jì)算括號得到原式＝100×99.6，這樣易得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝（99.8+0.2）（99.8﹣0.2）
＝100×99.6
＝9960．
故答案為9960．
【點(diǎn)評】本題考查了平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
9．（2020春?馬鞍山期末）如圖，正方形ABCD與正方形CEFG的面積之差是6，那么S陰＝ 3 ．
【分析】設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長分別為a和b，由題意得b2﹣a2＝6．再根據(jù)圖形寫出S陰的表達(dá)式，將b2﹣a2＝6整體代入計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長分別為a和b，由題意得：
b2﹣a2＝6．
由圖形可得：
S陰＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）
＝ab﹣a2+b2﹣ab
＝（b2﹣a2）
＝×6
＝3．
故答案為：3
【點(diǎn)評】本題考查了整式的乘法在幾何圖形面積計(jì)算中的應(yīng)用，根據(jù)圖形正確列出算式是解題的關(guān)鍵．
10．（2017?孝感）如圖所示，圖1是一個(gè)邊長為a的正方形剪去一個(gè)邊長為1的小正方形，圖2是一個(gè)邊長為（a﹣1）的正方形，記圖1，圖2中陰影部分的面積分別為S1，S2，則可化簡為 ．
【分析】首先表示S1＝a2﹣1，S2＝（a﹣1）2，再約分化簡即可．
【解答】解：＝＝＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題主要考查了平方公式的幾何背景和分式的化簡，關(guān)鍵是正確表示出陰影部分面積．
三．解答題（共9小題）
11．（2021秋?寶山區(qū)期末）計(jì)算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．
【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化簡即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2
＝x2﹣（4y2﹣12y+9）
＝x2﹣4y2+12y﹣9．
【點(diǎn)評】此題考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
12．（2021秋?普陀區(qū)期中）用乘法公式計(jì)算：100×99．
【分析】首先把100×99化為（100+）（100﹣）這個(gè)形式，再用平方差公式計(jì)算．
【解答】解：100×99
＝（100+）（100﹣）
＝10000﹣
＝9999．
【點(diǎn)評】本題考查平方差公式，熟練掌握平方差公式，把兩數(shù)積的形式化為（a+b）（a﹣b）的形式是解題的關(guān)鍵．
13．（2021秋?普陀區(qū)期中）計(jì)算：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）．
【分析】根據(jù)（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，這個(gè)公式計(jì)算．
【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）
＝（9x2﹣4）（9x2+4）
＝81x4﹣16．
【點(diǎn)評】本題考查平方差公式，熟練掌握平方差公式的應(yīng)用，用平方差公式的條件，兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵．
14．（2021秋?楊浦區(qū)期中）計(jì)算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2．
【分析】根據(jù)平方差公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
【解答】解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2
＝x2﹣4﹣6x2+18x+5x2
＝18x﹣4．
【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)公式與運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
15．（2021秋?浦東新區(qū)期中）用乘法公式計(jì)算：100×99．
【分析】先變形，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算．
【解答】解：100×99
＝
＝
＝10000﹣
＝9999．
【點(diǎn)評】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．
16．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）計(jì)算：（﹣x2y﹣x2y2）?（﹣xy）2﹣（﹣2x2y2﹣3）?（﹣3+2x2y2）．
【分析】利用平方差公式及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則求解即可．
【解答】解：原式＝（﹣x2y﹣x2y2）?x2y2﹣[（﹣3）2﹣（2x2y2）2]
＝﹣x4y3﹣x4y4﹣9+4x4y4
＝﹣x4y3+x4y4﹣9．
【點(diǎn)評】此題考查了平方差公式及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟記平方差公式及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．
17．（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）．
【分析】根據(jù)平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算，最后合并同類項(xiàng)即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣5x2﹣4x
＝﹣x2﹣4x﹣9．
【點(diǎn)評】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
18．（2021秋?青浦區(qū)月考）計(jì)算：（1﹣2a）（1+2a）（a﹣3）．
【分析】先根據(jù)平方差公式展開，再根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝[12﹣（2a）2]（a﹣3）
＝（1﹣4a2）（a﹣3）
＝a﹣3﹣4a3+12a2．
【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，能熟練地運(yùn)用公式和法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
19．（2013?義烏市）如圖1所示，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙拼成如圖2的等腰梯形（其面積＝（上底+下底）×高）．
（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式．
【分析】（1）利用正方形的面積公式和梯形的面積公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）所得的兩個(gè)式子相等即可得到．
【解答】解：（1）∵大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，
∴S1＝a2﹣b2．
S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）根據(jù)題意得：
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【點(diǎn)評】此題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)正方形的面積公式和梯形的面積公式得出它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．

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