1．（3分）下列方程中是一元二次方程是
A．B．C．D．
2．（3分）已知，下列變形錯(cuò)誤的是
A．B．C．D．
3．（3分）若一元二次方程的兩個(gè)根是，，則的值是
A．3B．C．D．4
4．（3分）如圖，在中，，，，則的值是
A．B．C．D．
5．（3分）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)2020年的新注冊用戶數(shù)為100萬，2022年的新注冊用戶數(shù)為178萬，設(shè)新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為，根據(jù)題意所列方程正確的是
A．B．
C．D．
6．（3分）下列說法正確的是
A．等弧所對的圓心角相等
B．相等的弦所對的弧相等
C．過三點(diǎn)一定可以確定一個(gè)圓
D．垂直于半徑的直線是圓的切線
7．（3分）如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心，另一邊所在直線與半圓相交于點(diǎn)、，量出半徑，弦，則直尺的寬度為
A．B．C．D．
8．（3分）如圖，在中，，，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．若，則的長為
A．3B．4C．D．
9．（3分）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是
A．，B．，C．，D．，
二.填空題（共8小題，每小題3分共計(jì)24分）
11．（3分）在比例尺為像的地圖上，相距的兩地，的實(shí)際距離
為 ．
12．（3分）已知圓錐的底面半徑是，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
13．（3分）如圖，點(diǎn)把線段的黃金分割點(diǎn)，且．如果，那么 （結(jié)果保留小數(shù)）．
14．（3分）如圖，是的直徑，、在上，若，則的度數(shù)
為 ．
15．（3分）如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)和的圖象分別交于點(diǎn)，，若，則 ．
16．（3分）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個(gè)門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹下．則該城堡的外圍直徑為 里．
17．（3分）若實(shí)數(shù)，，滿足，，則代數(shù)式的最大值為 ．
18．（3分）如圖，平分等邊的面積，折疊得到，分別與，相交于，兩點(diǎn)．若，，用含，的式子表示的長是 ．
三.解答題（共10小題，共計(jì)96分）
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
20．（8分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
21．（8分）如圖，中，是邊上的高，且．
（1）求證：.
（2）求的大?。?br>22．（10分）已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
（2）若的兩邊，的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．第三邊的長為5，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．
23．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、．
（1）經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心的坐標(biāo)為 ；
（2）這個(gè)圓的半徑為 ；
（3）直接判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系．點(diǎn)在 （填內(nèi)、外、上）；
（4）在方格中，連接，，，將以原點(diǎn)為位似中心，縮小為原來的，請畫出縮小后的圖形△．
24．（10分）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，，點(diǎn)在線段的延長線上，且．
（1）求證：與相切.
（2）若，，求的長．
25．（10分）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：
（1）每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？
26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊落在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，邊與軸交于點(diǎn)．
（1）直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
（2）在軸上取點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
①當(dāng)時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式；
②當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
27．（12分）如圖，正方形中，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于，交于．
（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求證；
（2）若線段滿足．
①求證：；
②求的值．
28．（12分）【學(xué)習(xí)心得】
（1）小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在中，，，是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)為圓心，長為半徑作輔助圓，則，兩點(diǎn)必在上，是的圓心角，是的圓周角，則 ．
【初步運(yùn)用】
（2）如圖2，在四邊形中，，，求的度數(shù)；
【方法遷移】
（3）如圖3，已知線段和直線，用直尺和圓規(guī)在上作出所有的點(diǎn)，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）；
【問題拓展】
（4）①如圖4①，已知矩形，，，為邊上的點(diǎn)．若滿足的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則的取值范圍為 ．
②如圖4②，在中，，是邊上的高，且，，求的長．
2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市惠山區(qū)天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
19．解：（1），
，
或，
解得，.
（2），
，
，
，
，
，．
20．解：（1）
.
（2）
．
21．（1）證明：是邊上的高，
，
，.
（2）解：，.
在中，，
，
，即．
22．（1）證明：
，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
（2），解得，，
即，的長為，，
當(dāng)時(shí)，即，三角形三邊長分別為5、5、4；
當(dāng)時(shí)，三角形三邊長分別為5、5、6.
綜上所述，的值為4或5．
23.解：（1）
如圖，連接，，分別作線段，的垂直平分線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）
如圖，連接，由勾股定理，得，這個(gè)圓的半徑為．
（3）內(nèi)
如圖，連接，由勾股定理得，，，點(diǎn)在內(nèi)．
（4）如圖，△即所求．
24.（1）證明：如圖，連接，
，，
.
，.
又，
.
是的直徑，，
，
，即.
是半徑，是的切線.
（2）解：在中，設(shè)半徑為，即，則，
，
，.
在中，，，
，．
25．（1）解：設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)元．
根據(jù)題意，得．
化簡，得 解得，．
答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元．
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降價(jià)4元或6元．
因?yàn)橐M可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元．
此時(shí)，售價(jià)為：（元，
設(shè)按原售價(jià)的折出售，則，解得
答：該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售．
26．解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
矩形中，，
，，，．
，，.
（2）①點(diǎn)，．
，．
．
，或．
或．
，或，．
或
解得或
直線的函數(shù)表達(dá)式為或.
②設(shè)的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則，如圖，
由題意：以線段為直徑的圓與矩形的邊，所在直線相交．
以線段為直徑的圓與矩形的邊，所在直線可能相切．
Ⅰ、當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切相切時(shí)，
則．
設(shè)，則．
．
，，，
．
，
為梯形 的中位線．
．
，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，
，；
Ⅱ、當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切相切時(shí)，
則．
，，，
．
，
為梯形的中位線．
．
，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，
，．
綜上，當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．
27．（1）證明：四邊形為正方形，
，．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
，．
為中點(diǎn)，，
．
，，
，，
.
（2）①證明：，
．
，
，．
，.
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
垂直平分，
，，
．
在和中，
，.
②解：由①知：，
．
設(shè)正方形的邊長為，則，設(shè)，
，
，，
，
（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
，．
．
28.解：（1）45
（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．
，
，，
，
點(diǎn)，，，共圓，.
，.
（3）作圖如下：
由圖知，；同理．
（4）①
在上截取，連接，以為直徑，交于，交于，連接，過圓心作于且交圓．于，過作的切線交于交于，如圖所示：
，，的半徑為，即，，，，，，，即.
②方法一：如圖，作的外接圓，過圓心作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，，．
，．
在中，，
．
，為圓心，
，．
在中，，，
．
在中，，，
，．
方法二：如圖，延長至，使，延長至，使，易證是等腰直角三角形，
由可知，，
，．
方法三：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
為等腰直角三角形，
可證明，
，，
，，
，．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/4/7 10:13:00；用戶：15737896839；郵箱：15737896839；學(xué)號(hào)：222042211
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
A
D
B
A
C
D
D
D
11.750 12. 13.1.2 14.20 15. 16.9 17. 18.

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