1．（2分）一元二次方程的根為
A．，B．C．D．
2．（2分）已知二次函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是
A．圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
B．圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
C．圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，
D．當(dāng)時(shí)，隨增大而減小
3．（2分）已知一組數(shù)據(jù)26，36，36，2■，41，42，其中一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字被墨水涂污，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)下列統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果與被涂污數(shù)字無關(guān)的是
A．平均數(shù)B．方差C．中位數(shù)D．眾數(shù)
4．（2分）如圖，在中，，，與相交于點(diǎn)．若，則
A．1B．1.5C．2D．3
5．（2分）如圖，在矩形中，，，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，，設(shè)，，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是
A B C D
6．（2分）如圖，與的邊相切于點(diǎn)．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)并以點(diǎn)為位似中心，按一定比例縮小得到△，且點(diǎn)，落在上．若，，則的半徑為
A．B．2.5C．D．3
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
7．（2分）如果，則的值是 ．
8．（2分）若兩個(gè)相似三角形面積之比為，則它們的對(duì)應(yīng)中線之比為 ．
9．（2分）設(shè)，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則 ．
10．（2分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，則線段的長為 ．
11．（2分）用一個(gè)半徑為4，圓心角度數(shù)為的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面圓的半徑為 ．
12．（2分）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度．如圖，點(diǎn)，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)．測(cè)得，，，則樹高 ．
13．（2分）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，連接，若，，則 ．
14．（2分）如圖，已知正五邊形，經(jīng)過，兩點(diǎn)的與，分別相切于點(diǎn)，，連接，，則 ．
15．（2分）如圖，是半圓的直徑，是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作半圓的切線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，與的延長線交于點(diǎn)，若，，則 ．
16．（2分）已知二次函數(shù)，的部分對(duì)應(yīng)值如表：
對(duì)于下列說法：①；②；③；④若的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，則．其中正確的是 （填所有正確的序號(hào)）
三、解答題（本大題共11小題，共88分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
18．（7分）有4個(gè)型號(hào)相同的杯子，其中，優(yōu)等品3個(gè)，合格品1個(gè)．
（1）隨機(jī)取出一個(gè)杯子，恰好是優(yōu)等品的概率為 ；
（2）隨機(jī)取出兩個(gè)杯子，求都是優(yōu)等品的概率．
19．（9分）某廠家打算從甲、乙兩家快遞公司中選擇一家進(jìn)行合作．廠家邀請(qǐng)了10位用戶對(duì)兩家快遞公司進(jìn)行滿意度打分，甲、乙兩家公司的得分折線統(tǒng)計(jì)圖如下：
（1）根據(jù)以上信息，填空：
（2）如果你是廠家經(jīng)理，你認(rèn)為選哪一家快遞公司更好？為什么？
20．（8分）如圖，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是 ；
（3）將該二次函數(shù)圖像向下平移 個(gè)單位長度恰好經(jīng)過點(diǎn)．
21．（7分）如圖，，，是的弦，分別交，于點(diǎn)，，，．
（1）若，則的度數(shù)為 ；
（2）求證．
22．（7分）如圖，在四邊形中，點(diǎn)，在邊上，連接，，，，．
（1）求證；
（2）若，，，則 ．
23．（7分）已知二次函數(shù)為常數(shù)）．
（1）求證：不論為何值，該函數(shù)的圖像與軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）若點(diǎn)，在二次函數(shù)的圖像上，且，則的取值范圍是 ．
24．（8分）如圖，在中，，以為直徑的與的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交，的延長線于點(diǎn)，．
（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為5，，求的長．
25．（7分）如圖，點(diǎn)，分別是，△的外心，連接，，，，求證：△．
26．（10分）某航模小組研制了一種航模飛機(jī)，為了測(cè)試飛機(jī)性能，飛機(jī)從水平放置的圓柱形發(fā)射臺(tái)的上底面中心處起飛，其飛行軌跡是一條拋物線．以發(fā)射臺(tái)的下底面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過原點(diǎn)的水平線為軸，所在直線為軸，建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系．若發(fā)射臺(tái)的高度為，測(cè)得當(dāng)飛行的水平距離為時(shí)，飛機(jī)的飛行高度為；當(dāng)飛行的水平距離為時(shí)，飛機(jī)的飛行高度為．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求飛機(jī)飛行的最大高度；
（3）如圖②，由于發(fā)射臺(tái)可以上下升降，保證其他起飛條件不變的前提下，拋物線隨著起飛點(diǎn)的上下平移而上下平移．在水平線軸上設(shè)置回收區(qū)域，，，要使飛機(jī)恰好降落到內(nèi)（包括端點(diǎn)，，則發(fā)射臺(tái)的高度的取值范圍是 ．
27．（10分）【概念認(rèn)識(shí)】
在中，，直線分別交邊，于點(diǎn)，．若，則稱直線為等腰三角形的“和諧分割線”．
【探索發(fā)現(xiàn)】
（1）在中，，直線為等腰三角形的“和諧分割線”．小美，小麗探索發(fā)現(xiàn)了下列結(jié)論．
小美的發(fā)現(xiàn)
如圖1，作的中位線交直線于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)．
小麗的發(fā)現(xiàn)
如圖2，點(diǎn)為的外心，過點(diǎn)作，垂足為，則是的中點(diǎn)．
如圖1，小美過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．證明途徑可以用下面的框圖表示請(qǐng)?zhí)顚懫渲械目崭瘢?br>請(qǐng)證明小麗所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
【解決問題】
（2）如圖3，在中，，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過點(diǎn)作一條直線，使直線是等腰的“和諧分割線”．（要求：①尺規(guī)作圖；②保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）
【拓展延伸】
（3）在中，，，點(diǎn)為的外心，為平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)可作出等腰三角形的“和諧分割線”，則的最小值為 ．
圖1 圖2 圖3
2023-2024學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
17．解：（1），
，
或，
，.
（2），
，
，
，
或，
，．
18.解：（1）
（2）將3個(gè)優(yōu)等品分別記為甲、乙、丙，將1個(gè)合格品記為丁，
畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中取出兩個(gè)杯子都是優(yōu)等品的結(jié)果有：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙，共6種，
隨機(jī)取出兩個(gè)杯子，都是優(yōu)等品的概率為．
19．解：（1）①8；②8；③3.4
（2）選擇甲快遞公司更好（答案不唯一），理由如下：
滿意度得分甲和乙的平均數(shù)、中位數(shù)均相同，但是甲的方差小于乙的方差，
甲更穩(wěn)定，選擇甲快遞公司更好．
20.解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
把代入得，解得，
所以拋物線的表達(dá)式為.
（2）
（3）18
21.（1）解：136
如圖，連接，，，，.，．
（2）證明：如圖，連接，，
，，.
由（1）知，
，，
，．
22.（1）證明：，.
又，.
（2）解：4
，，，，，，，，．
23.（1）證明：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
不論為何值，函數(shù)圖像與軸總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).
（2）解：
24.（1）證明：如圖，連接.
，.
平分，，
，.
，，
，.
是的半徑，是的切線.
（2）解：的半徑為5，直徑.
在中，，，
.
由（1）知，，
四邊形是矩形，
，，，，
，.
，是的中位線，
，，
，，
，，
，，解得．
25．證明：如圖，連接，，，.
點(diǎn)，分別是，△的外心，
，，
，，
△，.
，，
，
，△．
26.解：（1）設(shè)拋物線表達(dá)式為，
將，代入，得解得
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.
（2），
飛機(jī)飛行的最大高度為.
（3）
27.（1）證明：①；②
證明：如圖，連接，，，，
是的外心，，.
，，
在和中，
，.
又，是的中點(diǎn).
（2）解：作和的垂直平分線，找到外心以及中位線，連接，以為直徑作圓與交于點(diǎn)，連接即為直線，如圖，
（3）解：
由（2）可知，當(dāng)以為直徑的圓與中位線沒有交點(diǎn)時(shí)，無法作出“和諧分割線”，如圖，連接并延長，交與點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，.
，是的中位線，是的外心，，，，，，，是的中點(diǎn)，.
在中，，在中，，
解得.在中，，在中，，的最小值為．
3
4
3
0
0
公司
平均數(shù)分
中位數(shù)分
方差分
甲
8
①
1
乙
②
8
③
1
2
3
4
5
6
A
B
C
C
C
A
7. 8. 9. 10. 11. 12.6 13.60 14.36
15.或 16.①②④

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