1．（2分）已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，則OP的長(zhǎng)可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）關(guān)于一元二次方程4x（x﹣1）+1＝0根的情況，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
D．無(wú)法確定
4．（2分）已知一組數(shù)據(jù)3，5，9，10，12，x的中位數(shù)和眾數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．（2分）如圖，在⊙O中，AB，BC是弦，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接OA，OC，若OC∥AB，∠CBD﹣∠OAD＝6°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）
A．62°B．118°C．122°D．124°
6．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，弦EF∥AB，點(diǎn)C在OA上（不與點(diǎn)O，A重合），點(diǎn)D在AE上，連接CD，DE，CF，且∠ACD＝∠BCF，若AB＝a，CD＝b，CF＝c，則DE2的值為（ ）
A．a(chǎn)2﹣b2+c2B．a(chǎn)2+b2﹣c2C．（a+b）2﹣c2D．a(chǎn)2﹣（b+c）2
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
7．（2分）一元二次方程x2＝x的解是 ．
8．（2分）設(shè)x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的兩個(gè)根，且x1+x2﹣x1x2＝1．則m＝ ．
9．（2分）某款汽車(chē)價(jià)格由2024年8月份29萬(wàn)元/輛下降到10月份的23.49萬(wàn)元/輛，設(shè)月平均降價(jià)的百分率為x，則可列方程為 ．
10．（2分）圓錐的底面直徑是10cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為12cm，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為 ．
11．（2分）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，隨機(jī)向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設(shè)飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點(diǎn)是等可能的（若投中邊界或沒(méi)有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是 ．
12．（2分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在優(yōu)弧CAB上，連接EC，EB，若∠ADC＝115°，則∠BEC的度數(shù)為 °．
13．（2分）如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，AE與⊙O分別相切于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P在上，連接PM，PN，則∠MPN的度數(shù)為 °．
14．（2分）如圖，某銅鏡殘片呈圓弧型，測(cè)得圓弧的兩端A，B之間的距離為16cm，上的點(diǎn)到弦AB的最大距離為6cm，則該銅鏡所在圓的半徑為 cm．
15．（2分）如圖，扇形紙片OAB所在圓的圓心角∠AOB＝90°，半徑為4．將扇形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，折痕與AB，OB分別交于點(diǎn)M，N．若B′M與半徑OA相切于點(diǎn)C，且C是OA的中點(diǎn)，則BN的長(zhǎng)為 ．
16．（2分）在△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，M是AC的中點(diǎn)，則中線(xiàn)BM長(zhǎng)度的最大值為 ．
三、解答題（本大題共88分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8分）解方程：
（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣6＝0．
18．（8分）甲、乙兩名同學(xué)分別從某月1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)中隨機(jī)選擇一天外出游玩．
（1）甲選擇1號(hào)的概率為 ；
（2）求甲、乙恰好選擇相鄰兩天的概率．
19．（8分）小明在校級(jí)籃球聯(lián)賽中表現(xiàn)優(yōu)異，下面是他分別與A隊(duì)和B隊(duì)各四場(chǎng)比賽中的技術(shù)統(tǒng)計(jì)．
（1）分別求小明在與A隊(duì)、B隊(duì)的比賽中得分的方差，并判斷他在對(duì)陣哪一個(gè)隊(duì)時(shí)得分比較穩(wěn)定？
（2）如果規(guī)定：將平均每場(chǎng)得分、平均每場(chǎng)籃板、平均每場(chǎng)助攻按3：3：4的比例計(jì)算“綜合指標(biāo)”，且綜合指標(biāo)越高表現(xiàn)越好，那么請(qǐng)你利用這種評(píng)價(jià)方法，比較小明在對(duì)陣哪一個(gè)隊(duì)時(shí)表現(xiàn)更好？
20．（7分）某種服裝，平均每天可以銷(xiāo)售20件，每件盈利44元，在每件降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？
21．（7分）如圖，AB，AC是⊙O的弦，AB＝AC，OD，OE是⊙O的半徑，且AB∥OD，AC∥OE，求證：＝．
22．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣（3k﹣1）x+k2﹣2＝0（k為常數(shù)）．
（1）求證：無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若x1、x2為該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足2x1+2x2＝x1x2﹣8，求k的值．
23．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，連接OD，與⊙O交于點(diǎn)F，連接AE，且∠A＝∠D．
（1）求證：點(diǎn)F是的中點(diǎn)；
（2）若∠A＝∠C，⊙O的半徑為3，則陰影部分的面積為 ．
24．（8分）如圖，若準(zhǔn)備利用一處墻角EAF和長(zhǎng)度為28m的籬笆圍建一個(gè)矩形花圃ABCD，花圃的一邊AD由墻AF和籬笆DF構(gòu)成，另一邊AB由墻AE和籬笆BE構(gòu)成，其他兩邊BC，CD由剩下的籬笆圍成．若AF＝8m，AE＝4m，矩形花圃的面積為75m2，求花圃邊BC的長(zhǎng)度．
25．（6分）已知點(diǎn)A在⊙O上，用尺規(guī)按下列要求畫(huà)圖：
（1）在圖①中畫(huà)出點(diǎn)P，使AP是⊙O的直徑；
（2）在圖②中畫(huà)出點(diǎn)Q，使AQ是⊙O的切線(xiàn)．
（要求：保留作圖痕跡，并寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）
26．（10分）在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，CB＝CD，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C．
（1）如圖①，求證：CD是⊙O的切線(xiàn)．
（2）如圖②，連接BD，與⊙O，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE．
①求證AE⊥CD；
②若，BC＝8，則AE的長(zhǎng)為 ．
27．（10分）“等弦”的探究．
【嘗試發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖①，在⊙O中，AB，CD是弦，且AB＝CD．由此，你能發(fā)現(xiàn)什么？從小明、小紅兩位同學(xué)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論中，選擇一個(gè)完成證明．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖②，已知△ABC，⊙O與△ABC各邊都相交且所形成的弦的長(zhǎng)度均相等．
①在圖②中，用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)滿(mǎn)足條件的⊙O．（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）
②若AB＝15，BC＝14，AC＝13，⊙O的半徑為r，則r的取值范圍是 ．
【應(yīng)用設(shè)計(jì)】
（3）如圖③，某城市有一個(gè)圓形人工湖⊙O，已知直線(xiàn)型道路AB穿過(guò)人工湖，其中弦MN為湖中橋．現(xiàn)規(guī)劃利用AB段修建四邊形觀湖路ABCD，新修建的三條道路BC，CD，DA均穿過(guò)人工湖⊙O，被⊙O所截得的弦為湖中橋（三條弦互不相交），且湖中橋長(zhǎng)度均與MN相等．在圖③中，用直尺和圓規(guī)作出周長(zhǎng)最短的觀湖路ABCD．（要求：保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．（2分）已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，則OP的長(zhǎng)可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可以求得OP的取值范圍，從而可以解答本題．
【解答】解：∵O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，
∴OP＞5，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出OP的取值范圍．
2．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法．
【專(zhuān)題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】C
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
3．（2分）關(guān)于一元二次方程4x（x﹣1）+1＝0根的情況，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
D．無(wú)法確定
【考點(diǎn)】根的判別式．
【專(zhuān)題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】C
【分析】先化成一般式，再計(jì)算根的判別式的值，然后利用根的判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：方程化為4x2﹣4x+1＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
4．（2分）已知一組數(shù)據(jù)3，5，9，10，12，x的中位數(shù)和眾數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【考點(diǎn)】眾數(shù)；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)．
【專(zhuān)題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；推理能力．
【答案】B
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義找出最中間的兩個(gè)數(shù)，求出其平均數(shù)，根據(jù)眾數(shù)的定義即一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù)，找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即可．
【解答】解：∵一組數(shù)據(jù)3，5，9，10，12，x的中位數(shù)和眾數(shù)相等，
∴x＝9，
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)＝＝8，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，注意眾數(shù)不止一個(gè)．
5．（2分）如圖，在⊙O中，AB，BC是弦，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接OA，OC，若OC∥AB，∠CBD﹣∠OAD＝6°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）
A．62°B．118°C．122°D．124°
【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．
【專(zhuān)題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．
【答案】D
【分析】在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)P，連接PA，PC，根據(jù)圓周角定理及平行線(xiàn)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)P，連接PA，PC，
∵四邊形ABCP內(nèi)接于⊙O，
∴∠CPA＝∠CBD，
∴∠AOC＝2∠CPA＝2∠CBD，
∴∠CBD＝∠AOC，
∵OC∥AB，
∴∠AOC+∠OAD＝180°，
∵∠CBD﹣∠OAD＝6°，
∴∠AOC﹣∠OAD＝6°，
∴∠AOC＝124°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．
6．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，弦EF∥AB，點(diǎn)C在OA上（不與點(diǎn)O，A重合），點(diǎn)D在AE上，連接CD，DE，CF，且∠ACD＝∠BCF，若AB＝a，CD＝b，CF＝c，則DE2的值為（ ）
A．a(chǎn)2﹣b2+c2B．a(chǎn)2+b2﹣c2C．（a+b）2﹣c2D．a(chǎn)2﹣（b+c）2
【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．
【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】補(bǔ)全⊙O下部半圓，由弦EF∥AB，可得．由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，，從而，可推出EG為直徑，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠EDG＝90°，最后根據(jù)勾股定理可求答案．
【解答】解：補(bǔ)全⊙O下部半圓如圖所示，連接AD，BD，
∵弦EF∥AB，
∴．
延長(zhǎng)DC交⊙O于點(diǎn)G，
∴∠ACD＝∠BCG，
又∵∠ACD＝∠BCF，
∴∠BCG＝∠BCF．
由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，，CF＝CG＝c，
∴，
∴∠AOE＝∠BOG，
∵點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴點(diǎn)E、O、G三點(diǎn)必共線(xiàn)，
即EG為直徑，EG＝AB＝a，
由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠EDG＝90°，
由勾股定理可得：
DE2＝EG2﹣DG2＝a2﹣（b+c）2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧、圓心角、弦之間的關(guān)系，平行弦間所夾的弧相等，勾股定理，圓的對(duì)稱(chēng)性，圓周角定理的推論，作出正確的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
7．（2分）一元二次方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．
【專(zhuān)題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】x1＝0，x2＝1．
【分析】先移項(xiàng)得到x2﹣x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
故答案為：x1＝0，x2＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
8．（2分）設(shè)x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的兩個(gè)根，且x1+x2﹣x1x2＝1．則m＝ 3 ．
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．
【專(zhuān)題】常規(guī)題型．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，確定x1+x2、x1x2的值，然后代入方程中，解方程確定m的值．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的兩個(gè)根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝m，
∵x1+x2﹣x1x2＝1
∴4﹣m＝1，
∴m＝3
故答案為：3
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元一次方程的解法，將x1+x2＝4，x1x2＝m代入方程，并解方程是解決此類(lèi)題目經(jīng)常使用的方法．
9．（2分）某款汽車(chē)價(jià)格由2024年8月份29萬(wàn)元/輛下降到10月份的23.49萬(wàn)元/輛，設(shè)月平均降價(jià)的百分率為x，則可列方程為 29（1﹣x）2＝23.49 ．
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．
【專(zhuān)題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】29（1﹣x）2＝23.49．
【分析】利用該款汽車(chē)2024年10月份的價(jià)格＝該款汽車(chē)2024年8月份的價(jià)格×（1+月平均降價(jià)的百分率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：29（1﹣x）2＝23.49．
故答案為：29（1﹣x）2＝23.49．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2分）圓錐的底面直徑是10cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為12cm，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為 150° ．
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．
【專(zhuān)題】計(jì)算題．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為n°，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．則根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到得＝10π，然后解關(guān)于n的方程即可．
【解答】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為n°，
根據(jù)題意得＝10π，
解得n＝150，
所以它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為150°．
故答案為150°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．
11．（2分）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，隨機(jī)向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設(shè)飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點(diǎn)是等可能的（若投中邊界或沒(méi)有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是 ．
【考點(diǎn)】幾何概率；圓周角定理；正多邊形和圓．
【專(zhuān)題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】．
【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，由題意知，正方形的面積為4a2，圓的面積為2πa2，再根據(jù)概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則圓的半徑為a，
所以正方形的面積為4a2，圓的面積為2πa2，
所以飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是：＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．
12．（2分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在優(yōu)弧CAB上，連接EC，EB，若∠ADC＝115°，則∠BEC的度數(shù)為 25 °．
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．
【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．
【答案】25．
【分析】連接AC，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，再由圓周角定理得出∠ACB的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)得出∠CAB的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】解：連接AC，
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ADC＝115°，
∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BEC＝∠CAB＝25°．
故答案為：25．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出圓周角是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，AE與⊙O分別相切于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P在上，連接PM，PN，則∠MPN的度數(shù)為 144 °．
【考點(diǎn)】正多邊形和圓；垂徑定理；圓周角定理；切線(xiàn)的性質(zhì)．
【答案】144．
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OMA＝∠ONA＝90°，由四邊形的內(nèi)角和求出∠MON的度數(shù)后，由圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，連接OM，ON，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)Q，連接QM，QN，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠A＝＝108°
∵正五邊形ABCDE的邊AB，AE與⊙O分別相切于點(diǎn)M，N，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°，
∴∠MQN＝∠MON＝36°，
∴四邊形PMQN是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠MPN+∠MQN＝180°，
∴∠MPN＝180°﹣36°＝144°．
故答案為：144．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理以及切線(xiàn)的性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，圓周角定理以及切線(xiàn)的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．
14．（2分）如圖，某銅鏡殘片呈圓弧型，測(cè)得圓弧的兩端A，B之間的距離為16cm，上的點(diǎn)到弦AB的最大距離為6cm，則該銅鏡所在圓的半徑為 cm．
【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．
【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．
【答案】．
【分析】作⊙O，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)C、交于點(diǎn)D，連接OA．設(shè)OA＝OD＝r cm，根據(jù)垂徑定理求出AC，用含r的代數(shù)式將OC表示出來(lái)，在Rt△ACO中利用勾股定理列關(guān)于r的方程并求解即可．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)C、交于點(diǎn)D，連接OA．
設(shè)OA＝OD＝r cm，
∵OD⊥AB，AB＝16cm，
∴AC＝AB＝8cm，
∵CD＝6cm，
∴OC＝（r﹣6）cm，
在Rt△ACO中利用勾股定理，得AC2+OC2＝OA2，
∴82+（r﹣6）2＝r2，
∴r＝，
∴該銅鏡所在圓的半徑為cm．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，扇形紙片OAB所在圓的圓心角∠AOB＝90°，半徑為4．將扇形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，折痕與AB，OB分別交于點(diǎn)M，N．若B′M與半徑OA相切于點(diǎn)C，且C是OA的中點(diǎn)，則BN的長(zhǎng)為 ．
【考點(diǎn)】切線(xiàn)的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．
【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．
【答案】．
【分析】作O點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′，連接O′C、O′B、O′N(xiāo)，如圖，設(shè)BN＝x，則ON＝O′N(xiāo)＝4﹣x，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到O′C⊥AC，O′C＝OB＝4，再證明四邊形OBO′C為矩形得到∠OBO′＝90°，O′B＝OC＝2，接著在Rt△O′BN中利用勾股定理得到x2+22＝（4﹣x）2，然后解方程求出x即可．
【解答】解：作O點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′，連接O′C、O′B、O′N(xiāo)，如圖，則ON＝O′N(xiāo)，
設(shè)BN＝x，則ON＝O′N(xiāo)＝4﹣x，
∵弧B′M與半徑OA相切于點(diǎn)C，
∴O′C⊥AC，O′C＝OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴O′C∥OB，
∴四邊形OBO′C為矩形，
∴∠OBO′＝90°，O′B＝OC，
∵C是OA的中點(diǎn)，
∴O′B＝OC＝2，
在Rt△O′BN中，x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
即BN的長(zhǎng)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了折疊的性質(zhì)．
16．（2分）在△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，M是AC的中點(diǎn)，則中線(xiàn)BM長(zhǎng)度的最大值為 +1 ．
【考點(diǎn)】正弦定理與余弦定理．
【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；模型思想．
【答案】+1．
【分析】根據(jù)定弦定角作出△ABC的外接圓⊙O，然后通過(guò)應(yīng)用垂徑定理的推論得出∠OMC＝90°，進(jìn)而得出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在以O(shè)C為直徑的⊙O′的優(yōu)弧COD上，再根據(jù)圓的性質(zhì)得出BM′即為BM長(zhǎng)度的最大值，最后通過(guò)解三角形和線(xiàn)段的和差關(guān)系求出BM′的長(zhǎng)度即可．
【解答】解：如圖，⊙O為△ABC的外接圓，圓周角∠BAC所對(duì)應(yīng)的圓心角∠BOC．
∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，
∴OM⊥AC．
∴∠OMC＝90°
以直徑OC作⊙O′交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)M的軌跡在優(yōu)弧COD上．
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
∴△BOC是等邊三角形．
∴BO′⊥OC，BO′＝BC?sin60°＝．
延長(zhǎng)BO′交⊙O′于M′，連接MM′，O′M．
在△BMM′中，BM≤BO′+O′M＝BM′．
∴BM′為BM長(zhǎng)度的最大值．
∵BM′＝BO′+O′M′，O′M′＝＝1．
∴BM′＝+1．
故答案為：+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形中線(xiàn)的性質(zhì)，垂徑定理推論的應(yīng)用，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．
熟練掌握定弦定角輔助圓模型是解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共88分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8分）解方程：
（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣6＝0．
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法．
【專(zhuān)題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】（1）x1＝，x1＝﹣；
（2）x1＝1+，x2＝1﹣．
【分析】（1）利用直接開(kāi)方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0，
（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝，x1＝﹣；
（2）x2﹣2x﹣6＝0，
x2﹣2x＝6，
x2﹣2x+1＝6+1，
（x﹣1）2＝7，
x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程﹣直接開(kāi)方法，配方法，解題的關(guān)鍵是掌握公式法，配方法解方程的步驟．
18．（8分）甲、乙兩名同學(xué)分別從某月1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)中隨機(jī)選擇一天外出游玩．
（1）甲選擇1號(hào)的概率為 ；
（2）求甲、乙恰好選擇相鄰兩天的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；概率公式．
【專(zhuān)題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)概率公式即可得出答案；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）甲選擇1號(hào)的概率為．
故答案為：；
（2）根據(jù)題意畫(huà)圖如下：
共有9種等可能，甲、乙恰好選擇相鄰兩天的情況數(shù)是4，
甲、乙恰好選擇相鄰兩天的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19．（8分）小明在校級(jí)籃球聯(lián)賽中表現(xiàn)優(yōu)異，下面是他分別與A隊(duì)和B隊(duì)各四場(chǎng)比賽中的技術(shù)統(tǒng)計(jì)．
（1）分別求小明在與A隊(duì)、B隊(duì)的比賽中得分的方差，并判斷他在對(duì)陣哪一個(gè)隊(duì)時(shí)得分比較穩(wěn)定？
（2）如果規(guī)定：將平均每場(chǎng)得分、平均每場(chǎng)籃板、平均每場(chǎng)助攻按3：3：4的比例計(jì)算“綜合指標(biāo)”，且綜合指標(biāo)越高表現(xiàn)越好，那么請(qǐng)你利用這種評(píng)價(jià)方法，比較小明在對(duì)陣哪一個(gè)隊(duì)時(shí)表現(xiàn)更好？
【考點(diǎn)】方差；加權(quán)平均數(shù)．
【專(zhuān)題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】（1）對(duì)陣A隊(duì)的得分比較穩(wěn)定；
（2）對(duì)陣A隊(duì)的表現(xiàn)更好．
【分析】（1）根據(jù)方差定義直接解即可，然后根據(jù)方差越小越穩(wěn)定進(jìn)行判斷；
（2）利用加權(quán)平均數(shù)分別求出對(duì)陣A隊(duì)和B隊(duì)時(shí)的綜合指標(biāo)，在進(jìn)行比較即可．
【解答】解：（1）＝×[（21﹣25）2+（29﹣25）2+（24﹣25）2+（26﹣25）2]＝8.5（分2），
，
∵S2A＜S2B，
∴對(duì)陣A隊(duì)的得分比較穩(wěn)定；
（2）對(duì)陣A隊(duì)綜合指標(biāo)：，
對(duì)陣B隊(duì)綜合指標(biāo)：，
∵12.8＞12.4，
∴對(duì)陣A隊(duì)的表現(xiàn)更好．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方差和加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
20．（7分）某種服裝，平均每天可以銷(xiāo)售20件，每件盈利44元，在每件降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．
【專(zhuān)題】銷(xiāo)售問(wèn)題．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】關(guān)系式為：每件服裝的盈利×（原來(lái)的銷(xiāo)售量+增加的銷(xiāo)售量）＝1600，為了減少庫(kù)存，計(jì)算得到降價(jià)多的數(shù)量即可．
【解答】解：設(shè)每件服裝應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，得：
（44﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，
∴x＝36不合題意舍去，
答：每件服裝應(yīng)降價(jià)4元．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得到現(xiàn)在的銷(xiāo)售量是解決本題的難點(diǎn)；根據(jù)每天盈利得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
21．（7分）如圖，AB，AC是⊙O的弦，AB＝AC，OD，OE是⊙O的半徑，且AB∥OD，AC∥OE，求證：＝．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系．
【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．
【答案】證明見(jiàn)解析．
【分析】連接OB，OC，OA，先根據(jù)全等三角形的判定定理得出△AOB≌△AOC，故可得出∠ABO＝∠ACO，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠COE，故∠BOD＝∠COE，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】證明：連接OB，OC，OA，
在△AOB與△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ABO＝∠ACO，
∵AB∥OD，AC∥OE，
∴∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠COE，
∴∠BOD＝∠COE，
∴＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧、圓心角、弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)．構(gòu)造出全等三角形及圓心角是解題的關(guān)鍵．
22．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣（3k﹣1）x+k2﹣2＝0（k為常數(shù)）．
（1）求證：無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若x1、x2為該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足2x1+2x2＝x1x2﹣8，求k的值．
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．
【專(zhuān)題】判別式法；一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；
（2）﹣2或8．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k﹣3）2+8，由偶次方的非負(fù)性，可得出（k﹣3）2≥0，進(jìn)而可得出（k﹣3）2+8＞0，即Δ＞0，由此即可證出無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝，x1x2＝，結(jié)合2x1+2x2＝x1x2﹣8，可列出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k的值．
【解答】（1）證明：Δ＝[﹣（3k﹣1）]2﹣4×2×（k2﹣2）
＝9k2﹣6k+1﹣8k2+16
＝k2﹣6k+17
＝k2﹣6k+9+8
＝（k﹣3）2+8．
∵（k﹣3）2≥0，
∴（k﹣3）2+8＞0，
即Δ＞0，
∴無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵x1，x2為關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣（3k﹣1）x+k2﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵2x1+2x2＝x1x2﹣8，
∴2×＝﹣8，
整理得：k2﹣6k﹣16＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝8，
∴k的值為﹣2或8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系及2x1+2x2＝x1x2﹣8，找出關(guān)于k的一元二次方程．
23．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，連接OD，與⊙O交于點(diǎn)F，連接AE，且∠A＝∠D．
（1）求證：點(diǎn)F是的中點(diǎn)；
（2）若∠A＝∠C，⊙O的半徑為3，則陰影部分的面積為 ﹣ ．
【考點(diǎn)】切線(xiàn)的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；圓周角定理．
【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）﹣．
【分析】（1）連接OE，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OED＝90°，求得∠D＝∠AEO，根據(jù)垂直的定義得到AE⊥OD，根據(jù)垂徑定理得到＝，得到F是AE的中點(diǎn)；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠COE＝∠DOE，由（1）知，＝，求得∠AOF＝∠DOE，得到∠COE＝∠DOE＝∠AOD＝，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接OE，
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴∠OED＝90°，
∴∠D+∠DOE＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠A＝∠AEO，
∴∠D＝∠AEO，
∴AEO+∴DOE＝90°，
∴AE⊥OD，
∴＝，
∴F是AE的中點(diǎn)；
（2）解：∵∠A＝∠C，∠A＝∠D，
∴∠C＝∠D，
∴OC＝OD，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
由（1）知，＝，
∴∠AOF＝∠DOE，
∴∠COE＝∠DOE＝∠AOD＝，
∵OE＝3，
∴DE＝，
∴陰影部分的面積＝S△DOE﹣S△扇形FOE＝×3×3﹣＝﹣．
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，圓周角定理，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
24．（8分）如圖，若準(zhǔn)備利用一處墻角EAF和長(zhǎng)度為28m的籬笆圍建一個(gè)矩形花圃ABCD，花圃的一邊AD由墻AF和籬笆DF構(gòu)成，另一邊AB由墻AE和籬笆BE構(gòu)成，其他兩邊BC，CD由剩下的籬笆圍成．若AF＝8m，AE＝4m，矩形花圃的面積為75m2，求花圃邊BC的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．
【專(zhuān)題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】15m．
【分析】設(shè)BC＝x m，則CD＝（20﹣x）m，根據(jù)矩形花圃的面積為75m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結(jié)合AF＝8m，即可確定結(jié)論．
【解答】解：設(shè)BC＝x m，則CD＝＝（20﹣x）m，
根據(jù)題意得：x（20﹣x）＝75，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15，
又∵AF＝8m，
∴x＝15．
答：花圃邊BC的長(zhǎng)度為15m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
25．（6分）已知點(diǎn)A在⊙O上，用尺規(guī)按下列要求畫(huà)圖：
（1）在圖①中畫(huà)出點(diǎn)P，使AP是⊙O的直徑；
（2）在圖②中畫(huà)出點(diǎn)Q，使AQ是⊙O的切線(xiàn)．
（要求：保留作圖痕跡，并寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；切線(xiàn)的判定與性質(zhì)．
【專(zhuān)題】作圖題；幾何直觀．
【答案】見(jiàn)解析．
【分析】（1）連接AO，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)P，線(xiàn)段AP即為所求；
（2）連接AO，作AQ⊥OA即可．
【解答】解：（1）如圖①中，線(xiàn)段AP即為所求；
（2）如圖②中，直線(xiàn)AQ即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，切線(xiàn)的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
26．（10分）在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，CB＝CD，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C．
（1）如圖①，求證：CD是⊙O的切線(xiàn)．
（2）如圖②，連接BD，與⊙O，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE．
①求證AE⊥CD；
②若，BC＝8，則AE的長(zhǎng)為 6 ．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【專(zhuān)題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②6．
【分析】（1）連接CO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，利用圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)定理得到∠ECA+∠ABC＝90°，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到∠EAC+∠ACD＝90°，則OC⊥CD，再利用圓的切線(xiàn)的判定定理解答即可；
（2）①連接CE，利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠ACD﹣∠ACE＝∠ADC﹣∠ADB，則∠ECD＝∠EDC，
得到EC＝ED，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理得到AE為CD的垂直平分線(xiàn)，結(jié)論可得；
②連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)H，利用垂徑定理的推論得到AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝4，利用勾股定理求得AH，利用三角形的面積公式求得BF，利用勾股定理求得AF，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得AE．
【解答】（1）證明：連接CO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，如圖，
則CE為⊙O的直徑，
∴∠CBE＝90°，
∴∠EBA+∠ABC＝90°，
∵∠EBA＝∠ECA，
∴∠ECA+∠ABC＝90°．
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC＝∠ADC．
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ABC，
∴∠EAC+∠ACD＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC為⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）①證明：連接CE，如圖，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC．
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠ADB，
∴∠ACD﹣∠ACE＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴點(diǎn)E在CD的垂直平分線(xiàn)上，
∵AC＝AD，
∴點(diǎn)A在CD的垂直平分線(xiàn)上，
∴AE為CD的垂直平分線(xiàn)，
∴AE⊥CD；
②解：連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)H，如圖，
∵AB＝AC，
∴，
∴AO垂直平分BC，
∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝4，
∴AH＝＝＝8，
∵AB＝AC，
∴AC＝4．
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC為BD的垂直平分線(xiàn)，
∴AC⊥BD．
∵，
∴8×8＝4BF，
∴BF＝．
∴AF＝＝．
∵∠BFC＝∠AFE，∠CBF＝EAF，
∴△BFC∽△AFE，
∴，
∴，
∴AE＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的切線(xiàn)的判定定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線(xiàn)．
27．（10分）“等弦”的探究．
【嘗試發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖①，在⊙O中，AB，CD是弦，且AB＝CD．由此，你能發(fā)現(xiàn)什么？從小明、小紅兩位同學(xué)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論中，選擇一個(gè)完成證明．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖②，已知△ABC，⊙O與△ABC各邊都相交且所形成的弦的長(zhǎng)度均相等．
①在圖②中，用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)滿(mǎn)足條件的⊙O．（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）
②若AB＝15，BC＝14，AC＝13，⊙O的半徑為r，則r的取值范圍是 4＜r≤2 ．
【應(yīng)用設(shè)計(jì)】
（3）如圖③，某城市有一個(gè)圓形人工湖⊙O，已知直線(xiàn)型道路AB穿過(guò)人工湖，其中弦MN為湖中橋．現(xiàn)規(guī)劃利用AB段修建四邊形觀湖路ABCD，新修建的三條道路BC，CD，DA均穿過(guò)人工湖⊙O，被⊙O所截得的弦為湖中橋（三條弦互不相交），且湖中橋長(zhǎng)度均與MN相等．在圖③中，用直尺和圓規(guī)作出周長(zhǎng)最短的觀湖路ABCD．（要求：保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【專(zhuān)題】作圖題；幾何綜合題；推理能力．
【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；
（2）①作圖詳見(jiàn)解析；②4＜r≤2；
（3）作圖詳見(jiàn)解析．
【分析】（1）小明：根據(jù)勾股定理或者全等即可證明；小紅：利用等弧所對(duì)的圓周角相等，再利用等角對(duì)等邊即可得證；
（2）①利用（1）中小明的結(jié)論可知，圓心可到三邊距離相等，所以作△ABC角平分線(xiàn)的交點(diǎn)即可；
②因?yàn)榈脻M(mǎn)足⊙O與三邊相交，所以找臨界值相切時(shí)r值，再看OA、OB、OC最短的，就作為另一個(gè)臨界值，先通過(guò)勾股方程求出△ABC的面積，再利用等面積求出相切時(shí)r的值，然后利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理求出OC、OA、OB即可得解．
（3）過(guò)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，然后以O(shè)P為半徑作小圓O，再作AD、CD、BC與小圓O相切即可得解．
【解答】（1）①選擇小明．
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E、F，連接OA、OC，
∵OE⊥AB，且OE過(guò)圓心O，
∴AE＝，
在Rt△OAE中，OE＝，
同理CF＝，OF＝，
∵AB＝CD，
∴AE＝CF，
又∵OA＝OC，
∴OE＝OF，
即O到AB、CD的距離相等；
②選擇小紅．
證明：如圖，連接AC，
∵AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC．
（2）①如圖所示，
作法：Ⅰ，作∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，
Ⅱ，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作⊙O，與△ABC相交；
∴⊙O即為所求．
②如圖，過(guò)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，
設(shè)BP＝x，則CP＝14﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2﹣BP2＝152﹣x2，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2﹣CP2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得x＝9，
∴BP＝9，
∴AP＝12，
∴S△ABC＝BC?AH＝84，
如圖，過(guò)O分別作OH⊥AB，OG⊥BC，OK⊥AC，垂足分別為H、G、K，
S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝AB?OH+AC?OK+BC?OG
＝（AB+AC+BC）?OH
＝×（15+13+14）×OH＝84，
∴OH＝4，
設(shè)CK＝CG＝m，則AH＝AK＝13﹣m，BH＝BG＝14﹣m，
∵AB＝AH+BH，
∴15＝13﹣m+14﹣m，
解得m＝6，
∵6＜7＜8，
∴OC＜OA＜OB，
∴＝＝2，
又因?yàn)椤袿得滿(mǎn)足與三邊相交，
綜上，r的范圍是4＜r≤2．
故答案為：4＜r≤2．
（3）作法一：如圖四邊形ABCD即為所求；
作法：①過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，垂足為P，以點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑作小⊙O；
②以點(diǎn)A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作弧交小⊙O于點(diǎn)G，以點(diǎn)B為圓心，BP長(zhǎng)為半徑作弧交小⊙O于點(diǎn)H；
③連接AG、BH并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接OE，交小⊙O于點(diǎn)F；
④過(guò)點(diǎn)F作OE的垂線(xiàn)，分別交AE、BE于點(diǎn)D、C；
則四邊形ABCD即為所求．
作法二：如圖，四邊形ABCD即為所求；
作法：①以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)G，以點(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)H；
②連接AG，BH交于點(diǎn)E，連接OE；
③過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，垂足為點(diǎn)P，在線(xiàn)段OE上截取OF＝OP；
④過(guò)點(diǎn)F作OE的垂線(xiàn)，分別交AE、BE于點(diǎn)D、C；
則四邊形ABCD即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、尺規(guī)作圖等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)卡片
1．解一元二次方程-直接開(kāi)平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方．
2．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
3．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
4．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．
5．根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過(guò)來(lái)可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝，反過(guò)來(lái)也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：
①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿(mǎn)足的條件，確定字母的取值．這類(lèi)問(wèn)題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．
6．由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程
在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問(wèn)題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問(wèn)題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．
7．一元二次方程的應(yīng)用
1、列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．
2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見(jiàn)問(wèn)題：
（1）數(shù)字問(wèn)題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．
（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即 原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝后來(lái)數(shù)．
（3）形積問(wèn)題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．
（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線(xiàn)或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線(xiàn)與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．
【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．
2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．
3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．
5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問(wèn)題．
6．答：寫(xiě)出答案．
8．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形．
9．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
10．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．
推論2：弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．
推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?br>11．垂徑定理的應(yīng)用
垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．
這類(lèi)題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．
12．圓心角、弧、弦的關(guān)系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．
說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?br>（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．
13．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線(xiàn)，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．
14．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：
①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．
②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．
（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．
15．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點(diǎn)P在圓外?d＞r
②點(diǎn)P在圓上?d＝r
①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r
（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
16．切線(xiàn)的性質(zhì)
（1）切線(xiàn)的性質(zhì)
①圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．
③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心．
（2）切線(xiàn)的性質(zhì)可總結(jié)如下：
如果一條直線(xiàn)符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿(mǎn)足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線(xiàn)過(guò)圓心；②直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)；③直線(xiàn)與圓的切線(xiàn)垂直．
（3）切線(xiàn)性質(zhì)的運(yùn)用
運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線(xiàn)是連接圓心和切點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問(wèn)題．
17．切線(xiàn)的判定與性質(zhì)
（1）切線(xiàn)的性質(zhì)
①圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．
③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心．
（2）切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．
（3）常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的：
①判定切線(xiàn)時(shí)“連圓心和直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”；
②有切線(xiàn)時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．
18．正多邊形和圓
（1）正多邊形與圓的關(guān)系
把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．
（2）正多邊形的有關(guān)概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
19．扇形面積的計(jì)算
（1）圓面積公式：S＝πr2
（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．
（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）
（4）求陰影面積常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割補(bǔ)法．
（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．
20．圓錐的計(jì)算
（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段叫做圓錐的母線(xiàn)．連接頂點(diǎn)與底面圓心的線(xiàn)段叫圓錐的高．
（2）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．
（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝?2πr?l＝πrl．
（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl
（5）圓錐的體積＝×底面積×高
注意：①圓錐的母線(xiàn)與展開(kāi)后所得扇形的半徑相等．
②圓錐的底面周長(zhǎng)與展開(kāi)后所得扇形的弧長(zhǎng)相等．
21．圓的綜合題
考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，一般考查垂徑定理、圓周角定理、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、扇形的面積和弧長(zhǎng)，經(jīng)常與四邊形一起，難度比較大．
22．作圖—復(fù)雜作圖
復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．
解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
23．算術(shù)平均數(shù)
（1）平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)．
（2）算術(shù)平均數(shù)：對(duì)于n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，則＝（x1+x2+…+xn）就叫做這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．
（3）算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時(shí)，就是算術(shù)平均數(shù)．
24．加權(quán)平均數(shù)
（1）加權(quán)平均數(shù)：若n個(gè)數(shù)x1，x2，x3，…，xn的權(quán)分別是w1，w2，w3，…，wn，則x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做這n個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)．
（2）權(quán)的表現(xiàn)形式，一種是比的形式，如4：3：2，另一種是百分比的形式，如創(chuàng)新占50%，綜合知識(shí)占30%，語(yǔ)言占20%，權(quán)的大小直接影響結(jié)果．
（3）數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的相對(duì)“重要程度”，要突出某個(gè)數(shù)據(jù)，只需要給它較大的“權(quán)”，權(quán)的差異對(duì)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生直接的影響．
（4）對(duì)于一組不同權(quán)重的數(shù)據(jù)，加權(quán)平均數(shù)更能反映數(shù)據(jù)的真實(shí)信息．
25．中位數(shù)
（1）中位數(shù)：
將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（2）中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點(diǎn)”，不易受極端值影響，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息．
（3）中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的移動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其趨勢(shì)．
26．眾數(shù)
（1）一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
（2）求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，若幾個(gè)數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時(shí)眾數(shù)就是這多個(gè)數(shù)據(jù)．
（3）眾數(shù)不易受數(shù)據(jù)中極端值的影響．眾數(shù)也是數(shù)據(jù)的一種代表數(shù)，反映了一組數(shù)據(jù)的集中程度，眾數(shù)可作為描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量．．
27．方差
（1）方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個(gè)結(jié)果叫方差，通常用s2來(lái)表示，計(jì)算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可簡(jiǎn)單記憶為“方差等于差方的平均數(shù)”）
（3）方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．
28．概率公式
（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
29．幾何概率
所謂幾何概型的概率問(wèn)題，是指具有下列特征的一些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問(wèn)題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G，又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)M，假設(shè)點(diǎn)M必落在G中，且點(diǎn)M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無(wú)關(guān)．具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)（擲點(diǎn)），稱(chēng)為幾何概型．關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一個(gè)點(diǎn)M，點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即 P＝g的測(cè)度G的測(cè)度
簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)：求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長(zhǎng)度比，面積比，體積比等．
30．列表法與樹(shù)狀圖法
（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．
（3）列舉法（樹(shù)形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖．
（4）樹(shù)形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹(shù)的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．
（5）當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹(shù)形圖列舉，也可以列表列舉．
31．正弦定理與余弦定理
正弦定理與余弦定理．
正弦定理：三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，其分別對(duì)應(yīng)∠A、∠B、∠C；則有．
余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示為：
a2＝b2+c2﹣2bccs∠A
b2＝a2+c2﹣2accs∠B
c2＝a2+b2﹣2abcs∠C．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/22 7:02:29；用戶(hù)：18328501451；郵箱：18328501451；學(xué)號(hào)：43314264場(chǎng)次
對(duì)陣A隊(duì)
對(duì)陣B隊(duì)
得分/分
籃板/個(gè)
助攻/次
得分/分
籃板/個(gè)
助攻/次
第一場(chǎng)
21
10
5
25
16
2
第二場(chǎng)
29
10
5
28
15
5
第三場(chǎng)
24
14
4
17
12
4
第四場(chǎng)
26
10
6
22
9
5
平均數(shù)
25
11
5
23
13
4
場(chǎng)次
對(duì)陣A隊(duì)
對(duì)陣B隊(duì)
得分/分
籃板/個(gè)
助攻/次
得分/分
籃板/個(gè)
助攻/次
第一場(chǎng)
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第二場(chǎng)
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第四場(chǎng)
26
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平均數(shù)
25
11
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13
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