1. 下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（ ）
A. ，則B. ，則
C. ，則D. ，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則，求導(dǎo)公式逐個(gè)選項(xiàng)計(jì)算即可.
【詳解】A選項(xiàng)，，則，A正確；
B選項(xiàng)，，，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，，C正確；
D選項(xiàng)，，，D正確.
故選：B
2. 已知數(shù)列，則由這兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)從小到大排列得到的數(shù)列為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩數(shù)列的項(xiàng)的特征，易推得由公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列項(xiàng)的特征，寫出通項(xiàng)公式化簡即得.
【詳解】因數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，而數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
則這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，
故.
故選：D.
3. 已知一批沙糖桔的果實(shí)橫徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，其中果實(shí)橫徑落在的沙糖桔為優(yōu)質(zhì)品，則這批沙糖桔的優(yōu)質(zhì)品率約為（ ）（若，則，）
A. 0.6827B. 0.8186C. 0.8413D. 0.9545
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布三段區(qū)間的概率值以及正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可．
【詳解】因?yàn)樗N植沙糖桔的果實(shí)橫徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，
其中，所以果實(shí)橫徑在的概率為
.
故選：B．
4. 函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求導(dǎo)后，令，解出即可.
【詳解】,
令，解得，
所以單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：A.
5. 如圖，左車道有2輛汽車，右車道有3輛汽車等待合流，則合流結(jié)束時(shí)汽車通過順序共有（ ）種.
A. 10B. 20C. 60D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】合流結(jié)束時(shí)5輛車需要5個(gè)位置，第一步從5個(gè)位置選2個(gè)位置安排左邊的2輛汽車，第二步剩下3個(gè)位置安排右邊的3輛汽車，從而由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)左車輛汽車依次為，右車輛汽車依次為，
則通過順序的種數(shù)等價(jià)于將安排在5個(gè)順序中的某兩個(gè)位置（保持前后順序不變），
安排在其余3個(gè)位置（保持前后順序不變），，
所以，合流結(jié)束時(shí)汽車通過順序共有.
故選：A.
6. 已知，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先將化成統(tǒng)一形式，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性進(jìn)而比較大小即可.
【詳解】由題意得，，；
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，
所以，即，所以.
故選：A.
7. 已知是圓O：的直徑，M，N是圓O上兩點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A. 0B. -2C. -4D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)C，結(jié)合垂徑定理與數(shù)量積的運(yùn)算表示出后，借助三角函數(shù)值域即可得解.
【詳解】設(shè)中點(diǎn)為C，∵，，
則，
∵C為的中點(diǎn)，∴，
設(shè)向量與的夾角為，
∴，
又，∴的最小值為.
故選：C.
8. 當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)最大值為（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，根據(jù)題意易于分離參數(shù)得，再利用切線放縮化簡求出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，由，?令
令，則在上恒成立，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以即，
由，得，所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，
此時(shí)，由與圖象可知使，此時(shí).
所以，即有最大值為4.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題
9. 已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用題設(shè)等式進(jìn)行等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，求得，代入公式即可一一判斷.
【詳解】依題，，解得故A錯(cuò)誤，B正確；
則，，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：BD.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 有兩個(gè)極值點(diǎn)
B. 有一個(gè)零點(diǎn)
C. 點(diǎn)是曲線的對稱中心
D. 直線是曲線的切線
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念、零點(diǎn)的存在性定理即可判斷AB；根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱和函數(shù)圖象的平移變換即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷D.
【詳解】A：，
令得或，令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以時(shí)取得極值，故A正確；
B：因?yàn)?，，?br>所以函數(shù)只在上有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；
C：令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個(gè)單位得到的圖象，
所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；
D：令，可得，又，
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移變換，其中選項(xiàng)C，構(gòu)造函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱推出的對稱性是解決本題的關(guān)鍵.
11. 如圖，在棱長為2的正方體中，為正方體的中心，為的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足平面，則（ ）
A. 三棱錐的外接球表面積為
B. 動點(diǎn)的軌跡的線段為
C. 三棱錐的體積為定值
D. 若過，，三點(diǎn)作正方體的截面，為截面上一點(diǎn)，則線段長度的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，結(jié)合正方體的外接球分析；選項(xiàng)B：分別取，的中點(diǎn)H，G，連接，，，；證明平面平面，從而得到點(diǎn)F的軌跡；選項(xiàng)C：根據(jù)選項(xiàng)B可得出平面，從而得到點(diǎn)F到平面的距離為定值，即可判斷；選項(xiàng)D：設(shè)為的中點(diǎn)，從而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得到截面即為面，從而線段長度的最大值為線段的長，最小值為四棱錐以為頂點(diǎn)的高.
【詳解】對于A：由題意可知：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，
可知正方體的外接球的半徑，
所以三棱錐的外接球表面積為，故A正確；
對于B：如圖分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，
由正方體的性質(zhì)可得，
且平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，
且，，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，
所以點(diǎn)的軌跡為線段，長度為，故B不正確；
對于C：由選項(xiàng)B可知，點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)槠矫妫?br>則點(diǎn)到平面的距離為定值，
同時(shí)的面積也為定值，則三棱錐的體積為定值，故C正確；
對于D：如圖，設(shè)平面與平面交于，在上，
因?yàn)榻孛嫫矫妫矫嫫矫?，所以?br>同理可證，所以截面為平行四邊形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，
在四棱錐中，側(cè)棱最長，且，
設(shè)棱錐的高為，
因?yàn)?，所以四邊形為菱形?br>所以的邊上的高為面對角線的一半，即為，又，
則，，
所以，解得，
綜上，可知長度的取值范圍是，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由面面平行的性質(zhì)得到動點(diǎn)的軌跡，再由錐體的體積公式即可判斷C，D選項(xiàng)關(guān)鍵是找到臨界點(diǎn)，求出臨界值.
三、填空題
12. 在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算可得.
【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，，
令，解得，
所以，所以展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
13. 已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為原點(diǎn)，若以為直徑的圓與的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為，且 ，則的離心率為_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到，且，在中，利用余弦定理求得，得到，結(jié)合，利用離心率的定義，即可求解.
【詳解】由以為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，可得，又，
在中，由余弦定理，得，所以，
根據(jù)直線OP為漸近線可得，所以，離心率.
故答案為：2.
14. 某班組織開展知識競賽，抽取四名同學(xué)，分成甲、乙兩組：每組兩人，進(jìn)行對戰(zhàn)答題．規(guī)則如下：每次每名同學(xué)回答6道題目，其中有1道是送分題（即每名同學(xué)至少答對1題）．若每次每組對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，則原答題組的人再繼續(xù)答題；若對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方組接著答題，假設(shè)每名同學(xué)每次答題之間相互獨(dú)立，且每次答題順序不作考慮，第一次由甲組開始答題，則第7次由甲組答題的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】先用古典概型計(jì)算公式求每次每組對的題數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率，設(shè)第次由甲組答題的概率為，由全概率公式得到與的遞推公式，根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，令，可得問題答案.
【詳解】記答題的兩位同學(xué)答對的題數(shù)分別為，，則，
當(dāng)時(shí)，是3的倍數(shù)，
故兩位同學(xué)答對的題數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為，兩位同學(xué)答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)的概率為．
記第n次由甲組答題的概率為，則由乙組答題的概率為，，即，
進(jìn)一步有，
又，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
所以.
令，則．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)表示第n次由甲組答題的概率，由全概率公式得，得到數(shù)列的遞推公式是解決該題的關(guān)鍵.
四、解答題
15. 設(shè)公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程，求出，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，即，從而得到，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
，，成等比數(shù)列，
則，即，
將代入上式，解得或（舍去）．
；
【小問2詳解】
由（1）得，又，
所以，
所以，
則
．
16. 如圖，在底面是矩形的四棱錐中，，點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)與在直線的兩側(cè)，且.
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，得到線線垂直，結(jié)合為等腰直角三角形，進(jìn)而得到平面，得到答案；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，得到兩個(gè)平面的法向量，由法向量夾角的余弦公式求出答案.
【小問1詳解】
證明：連接，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以.
又，所以.
又，故，所以為等腰直角三角形.
而，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
【小問2詳解】
由（1）知，兩兩垂直，
以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，
由，得，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，
同理得.
所以，
設(shè)為平面的法向量，
則，即
令，則，得平面的一個(gè)法向量.
設(shè)為平面的法向量，
則，即，
令，則，得平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面與平面的夾角為，則
，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
17. 某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：）介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.
（1）求的值；
（2）若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）分布列見詳解，
（3）0.3
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率和為1列式求解即可；
（2）根據(jù)分層抽樣可知高度在和株數(shù)分別為2和3，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；
（3）根據(jù)題意分析可知，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
由題意可知：每組的頻率依次為，
因?yàn)?，解?
【小問2詳解】
由（1）可得高度在和的頻率分別為0.1和0.15，
所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，
可知可取0，1，2，則有：
，，，
所以的分布列為：
的期望為.
【小問3詳解】
因?yàn)楦叨仍诘念l率為0.1，
用頻率估計(jì)概率，可知高度在的概率為0.1，
由題意可知：，所以.
18. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率，直線FB過點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)（M、N都不在坐標(biāo)軸上），若，求直線的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）根據(jù)給定條件，借助傾斜角的關(guān)系可得，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式求解即得.
【小問1詳解】
令，由，得，則直線的斜率，
由直線過點(diǎn)，得直線的方程為，因此，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，直線的傾斜角為，
直線的傾斜角為，由直線的斜率知直線的傾斜角為，
于是，即有，顯然均不等于，
則，即直線的斜率滿足，
由題設(shè)知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
由，消去x并整理得，，顯然，
設(shè)，則，
由，得，即，
則，整理得，
即，于是，而，解得，，
所以直線的方程為，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2問，由，結(jié)合直線傾斜角及斜率的意義求得是解題之關(guān)鍵.
19. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且不等式恒成立，其中，試求整數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）見解析 （3）或，且.
【解析】
【分析】（1）求當(dāng)時(shí)，函數(shù)導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出的導(dǎo)數(shù)，令，得，對判別根式討論，令導(dǎo)數(shù)大于零得到增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零，得到減區(qū)間；
（3）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，由（2）可知，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的范圍，分或或的整數(shù)，對不等式分離參數(shù)，分別求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，故
故，又，
故函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
的定義域?yàn)椋?br>所以，
令，得，
（i）當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（ii）當(dāng)，即時(shí)，由，得，
①若，由，得或,
的單調(diào)遞增區(qū)間是，；
由，得,
的單調(diào)遞減區(qū)間是；
②若，則，函數(shù)在上遞減，在上遞增；
③若，由，得，則函數(shù)在上遞減；
由，得，則函數(shù)在上遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
【小問3詳解】
由（2）可知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，
由，得，則，，，
由，可得，，
，
令，
則，
因?yàn)?，，，?br>又，所以，即時(shí)，單調(diào)遞減，
又，所以，
不等式，恒成立，
若且，則，即，
設(shè)，在上單調(diào)遞增，
且，所以由可得，且，
若且，則，即，
設(shè)，在上單調(diào)遞增，
而，，，
所以且，
若，則不等式，不成立，
綜上：或，且.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.
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