?樹德中學(xué)高2022級高一下期期末考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．復(fù)數(shù)（，）為實(shí)數(shù)是“”成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．若將一個(gè)棱長為的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，且向量與是平行向量，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．1 C．1或 D．或
4．函數(shù)取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A． B．0 C． D．
5．《九章算術(shù)商功》中提及的“鱉臑”現(xiàn)意為四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐，則“鱉臑”中相互垂直的平面有（ ）對
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知點(diǎn)，，在所在平面內(nèi)，且，，，則點(diǎn)，，依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心
7．已知鈍角的角，，所對的邊分別為，，，，，則最大邊的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)．已知平面內(nèi)點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知的角，，所對的邊分別為，，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．為等腰非等邊三角形 D．為等邊三角形
10．已知三條不同的直線，，和三個(gè)不同的平面，，，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，為異面直線，且，，，，則
C．若，，則
D．若，，，，，兩兩垂直，則，，也兩兩垂直
11．正弦最初的定義（稱為古典正弦定義）為；在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時(shí)，其所對的“古典正弦”為（為的中點(diǎn)）．根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角時(shí)，的“古典正弦”除以的可能取值為（ ）

A．1 B． C． D．0
12．在棱長為4的正方體中，，，，，分別是，，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，且面，則（ ）
A．
B．三棱錐的外接球的球心到面的距離為
C．多面體為三棱臺
D．在底面上的軌跡的長度是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．
13．在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的為__________．
14．已知兩個(gè)粒子，從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，，則在上的投影向量為__________．
15．如圖，在四棱錐中，底面為矩形；為的中點(diǎn)．若，，，當(dāng)三棱錐的體積取到最大值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為__________．

16．在中，若，，的內(nèi)角平分線交邊于點(diǎn)，若，，則外接圓的直徑為__________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
已知，，，．
（Ⅰ）為何值時(shí)，點(diǎn)在軸上？
（Ⅱ）若與的夾角是鈍角，求的取值范圍．
18．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)的最小值為．
（Ⅰ）求函數(shù)的遞減區(qū)間；
（Ⅱ）英國數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylor，1685-1731）發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，該公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的準(zhǔn)確性．運(yùn)用上述思想，計(jì)算的值：（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后4位，參考數(shù)據(jù)：，）
19．（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，平面平面．

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若到平面的距離為1，求與平面所成角的最小值．
20．（本小題滿分12分）
已知的角，，所對的邊分別為，，，且，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求函數(shù)的值域．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
21．（本小題滿分12分）
已知的角，，所對的邊分別為，，，點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)是的重心，且，求的最小值；
（Ⅱ）若點(diǎn)是的外心，（，），且，，有最小值，求的取值范圍．
22．（本小題滿分12分）
如圖，在五邊形中，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，．沿，將，折起，使得，重合于點(diǎn)，得到四棱錐，為側(cè)棱靠近的三等分點(diǎn)．

（Ⅰ）求與所成的角；
（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的正切值．


樹德中學(xué)高2022級高一下期期末考試數(shù)學(xué)試題參考答案及評分意見
一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．
1．C 2．D 3．C 4．B 5．B
6．A 7．C 8．D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
9．ABD 10．BD 11．BC 12．ACD
三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
四、解答題：本題共6小題，共70分．
17．（本小題滿分10分）
解：由題可知，，
所以，．
點(diǎn)在軸上，則，即．
（2）因?yàn)?，所以，與不共線．（沒寫扣1分）
又與的夾角是鈍角，所以只需，即，
所以．
18．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）

由題意知，，所以，函數(shù)的遞減區(qū)間，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以
由泰勒公式得：
．
所以．
19．（本小品滿分12分）
（Ⅰ）證：因?yàn)椋矫?，平面，所以平面?br /> 又平面，平面平面，所以．
（Ⅱ）因?yàn)?，，所以，所以平面?br /> 又到平面的距離為1，所以點(diǎn)到平面的距離為2．
因?yàn)榈酌?，所以平面底面?br /> 又平面底面，
所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到的距離，都為2．
又，所以．
又因?yàn)椋?，所以平面．所以?br /> 又，為線段的中點(diǎn)，所以．
又，平面，平面，所以平面．
所以即為所求．又，．
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
所以與平面所成角的最小值為．
20．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由及正弦定理得．
因?yàn)椋?br /> 所以．
由于，，所以．
又，故．
（Ⅱ）
．
選擇條件①：
因?yàn)?，所以，即?br /> 所以，即．
所以，即，
故．
選擇條件②：
因?yàn)椋裕?br /> 所以，即．
故．
21．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）延長，，分別交邊，，于點(diǎn)，，，
依題意有，．
在和中，由余弦定理有，
即，化簡有，．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以的最小值為．（其它方法同樣給分）

（Ⅱ）由題意可知：，解得，
則
．
今，
原式有最小值，所以．
解得．
22．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題可知，，，，
且，．
又，面，面，所以面．
又面，所以．
在中，由余弦定理可得，．
在中，，由余弦定理可得，，
所以，即．
又，面，面，所以面．
又面，所以．故與所成的角為．
（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以，?br /> 又，所以延長，必較于一點(diǎn)．
所以平面平面．
又面，過點(diǎn)作，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為所求．
又，所以．
又，所以．
在中，由余弦定理可得，．
設(shè)點(diǎn)到的距離為，在中，運(yùn)用等面積法則有．
所以，
在中，．
所以平面與平面所成銳二面角的正切值為．

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