2024年中考真題—重慶市試題（A卷）數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2024年中考真題—重慶市試題（A卷）數(shù)學(xué)試題（解析版），共33頁。試卷主要包含了作圖請(qǐng)一律用黑色2B鉛筆完成；， 已知，則實(shí)數(shù)的范圍是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
（全卷共三個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；
2.作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)；
3.作圖（包括作輔助線）請(qǐng)一律用黑色2B鉛筆完成；
4.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．
參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．
一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．
1. 下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了有理數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是掌握比較大小的法則．根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴最小的數(shù)是；
故選：A．
2. 下列四種化學(xué)儀器的示意圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，根據(jù)概念逐一判斷即可，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸）對(duì)稱，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
3. 已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例解析式，把代入求解即可．
【詳解】解：把代入，得
．
故選C．
4. 如圖，，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，由鄰補(bǔ)角性質(zhì)得，然后求解即可，熟練掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：．
5. 若兩個(gè)相似三角形的相似比是，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可．
【詳解】解：兩個(gè)相似三角形的相似比是，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是，
故選：D．
6. 烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)圖形，可歸納出規(guī)律表達(dá)式的特點(diǎn)，再解答即可．
【詳解】解：由圖可得，
第1種如圖①有4個(gè)氫原子，即
第2種如圖②有6個(gè)氫原子，即
第3種如圖③有8個(gè)氫原子，即
，
第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：；
故選：B．
7. 已知，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查的是求無理數(shù)的取值范圍，二次根式的加減運(yùn)算，掌握求算術(shù)平方根的取值范圍的方法是解決此題的關(guān)鍵．先求出，即可求出m的范圍．
【詳解】解：∵，
∵，
∴，
故選：B．
8. 如圖，在矩形中，分別以點(diǎn)和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理等知識(shí)．根據(jù)題意可得，由勾股定理得出，用矩形的面積減去2個(gè)扇形的面積即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，
根據(jù)題意可得，
∵矩形，∴，，
在中，，
∴圖中陰影部分的面積．
故選：D．
9. 如圖，在正方形的邊上有一點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長與的延長線交于點(diǎn)．則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】過點(diǎn)F作延長線的垂線，垂足為點(diǎn)H，則，證明，則，設(shè)，得到，則，故，同理可求，則，因此．
【詳解】解：過點(diǎn)F作延長線的垂線，垂足為點(diǎn)H，則，
由旋轉(zhuǎn)得，
∵四邊形是正方形，
∴，，，設(shè)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，設(shè)，
則，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可求，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確添加輔助線，構(gòu)造“一線三等角全等”是解題的關(guān)鍵．
10. 已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：
①滿足條件的整式中有5個(gè)單項(xiàng)式；
②不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；
③滿足條件的整式共有16個(gè)．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得，再分類討論得到答案即可．
【詳解】解：∵為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，
∴，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，
滿足條件的整式有，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，，，
滿足條件的整式有：，，，，，；
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，；
當(dāng)時(shí)，，
滿足條件的整式有：；
∴滿足條件的單項(xiàng)式有：，，，，，故①符合題意；
不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；故②符合題意；
滿足條件的整式共有個(gè)．故③符合題意；
故選D
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．
11. 計(jì)算：＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的意義計(jì)算．
【詳解】解：，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，熟練掌握零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的意義是解題關(guān)鍵．
12. 如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為______．
【答案】9
【解析】
【分析】本題考查了多邊形的外角和定理，用外角和除以即可求解，掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，
故答案為：9．
13. 重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從、、三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)的概率為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了畫樹狀圖法或列表法求概率，根據(jù)畫樹狀圖法求概率即可，熟練掌握畫樹狀圖法或列表法求概率是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)的情況有種，
∴甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)的的概率為，
故答案為：．
14. 隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)平均增長率為x，然后根據(jù)題意可列方程進(jìn)行求解．
【詳解】解：設(shè)平均增長率為x，由題意得：
，
解得：，（不符合題意，舍去）；
故答案為：．
15. 如圖，在中，延長至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)．若，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例證，進(jìn)而得，，再證明，得，從而即可得解．
【詳解】解：∵，過點(diǎn)作，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16. 若關(guān)于的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為______．
【答案】16
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組．先解不等式組，根據(jù)關(guān)于的一元一次不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得，由分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，確定的取值范圍且，進(jìn)而得到且，根據(jù)范圍確定出的取值，相加即可得到答案．
【詳解】解：，
解①得：，
解②得：，
關(guān)于的一元一次不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，
，
解得，
解方程，得，
關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，
且，是偶數(shù)，
解得且，是偶數(shù)，
且，是偶數(shù)，
則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是，
故答案為：16．
17. 如圖，以為直徑的與相切于點(diǎn)，以為邊作平行四邊形，點(diǎn)D、E均在上，與交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接．若，則______．______．
【答案】 ①. 8 ②. ##
【解析】
【分析】連接并延長，交于點(diǎn)H，連接，設(shè)、交于點(diǎn)M，根據(jù)四邊形為平行四邊形，得出，，證明，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)勾股定理得出，求出；證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理得出，證明，得出，求出．
【詳解】解：連接并延長，交于點(diǎn)H，連接，設(shè)、交于點(diǎn)M，如圖所示：
∵以為直徑的與相切于點(diǎn)A，
∴，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
故答案為：8；．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．
18. 我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)椋c的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字與的和為，所以是“方減數(shù)”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是______．把一個(gè)“方減數(shù)”進(jìn)行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)，若除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本題考查了新定義，設(shè)，則（，）根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得，代入，即可求解；根據(jù)除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），得出為整數(shù)，是完全平方數(shù)，在，，逐個(gè)檢驗(yàn)計(jì)算，即可求解．
【詳解】設(shè)，則（，）
由題意得：，
∵，“方減數(shù)”最小，
∴，
則，，
∴，
則當(dāng)時(shí)，最小，為，
故答案為：；
設(shè)，則（，）
∴
∵除以余數(shù)為，
∴能被整除
∴為整數(shù)，
又（為整數(shù)）
∴是完全平方數(shù)，
∵，
∴最小為，最大為
即
設(shè)，為正整數(shù)，
則
當(dāng)時(shí)，，則，則是完全平方數(shù)，又，，無整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，，則,則是完全平方數(shù)，又，，無整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，，則，則是完全平方數(shù)，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，，，
∴，
∴
故答案為：，．
三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和完全平方公式法則分別計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)即可；
（）先將括號(hào)里的異分母分式相減化為同分母分式相減，再算分式的除法運(yùn)算得以化簡；
本題考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式和分式的化簡，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：原式，
；
【小問2詳解】
解：原式，
，
．
20. 為了解學(xué)生的安全知識(shí)掌握情況，某校舉辦了安全知識(shí)競賽．現(xiàn)從七、八年級(jí)的學(xué)生中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的競賽成績（百分制）進(jìn)行收集、整理、描述、分析．所有學(xué)生的成績均高于分（成績得分用表示，共分成四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：
七年級(jí)名學(xué)生的競賽成績?yōu)椋?br>66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年級(jí)名學(xué)生的競賽成績?cè)诮M的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．
七、八年級(jí)所抽學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中______，______，______；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生的安全知識(shí)競賽成績較好？請(qǐng)說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七年級(jí)有名學(xué)生，八年級(jí)有名學(xué)生參加了此次安全知識(shí)競賽，估計(jì)該校七、八年級(jí)參加此次安全知識(shí)競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是多少？
【答案】（1），，；
（2）八年級(jí)學(xué)生競賽成績較好，理由見解析；
（3）該校七、八年級(jí)參加此次安全知識(shí)競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是人．
【解析】
【分析】（）根據(jù)表格及題意可直接進(jìn)行求解；
（）根據(jù)平均分、中位數(shù)及眾數(shù)分析即可得出結(jié)果；
（）由題意可得出參加此次競賽活動(dòng)成績優(yōu)秀的百分比，然后可進(jìn)行求解；
本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖及中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，熟練掌握扇形統(tǒng)計(jì)圖及中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
根據(jù)七年級(jí)學(xué)生競賽成績可知：出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為，
八年級(jí)競賽成績中組：（人），
組：（人），
組：人，所占百分比為
組：（人）所占百分比為，則，
∴八年級(jí)的中位數(shù)為第個(gè)同學(xué)競賽成績的平均數(shù)，
即組第個(gè)同學(xué)競賽成績的平均數(shù)，
故答案為：，，；
【小問2詳解】
八年級(jí)學(xué)生競賽成績較好，理由：
七、八年級(jí)的平均分均為分，八年級(jí)的中位數(shù)高于七年級(jí)的中位數(shù)，整體上看八年級(jí)學(xué)生競賽成績較好；
【小問3詳解】
（人），
答：該校七、八年級(jí)參加此次安全知識(shí)競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是人．
21. 在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：
（1）如圖，在矩形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)．用尺規(guī)過點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）已知：矩形，點(diǎn)，分別在，上，經(jīng)過對(duì)角線的中點(diǎn)，且．求證：四邊形是菱形．
證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∴①，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴②．
∴（AAS）．
∴③．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．
【答案】（1）見解析 （2）①；②；③；④四邊形是菱形
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，垂線的尺規(guī)作圖：
（1）根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；
（2）根據(jù)矩形或平行四邊形的對(duì)邊平行得到，，進(jìn)而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．再由，即可證明四邊形是菱形．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∴，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四邊形平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
猜想：過平行四邊形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形；
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
故答案為：①；②；③；④四邊形是菱形．
22. 為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對(duì)現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代．
（1）為鼓勵(lì)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺(tái)了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？
（2）經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？
【答案】（1）該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；
（2）需要更新設(shè)備費(fèi)用為萬元
【解析】
【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有條，則乙類生產(chǎn)線各有條，再利用更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼，再建立方程求解即可；
（2）設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，利用用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，再建立分式方程，進(jìn)一步求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有條，則乙類生產(chǎn)線各有條，則
，
解得：，
則；
答：該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；
【小問2詳解】
解：設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，則
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意；
則，
則還需要更新設(shè)備費(fèi)用為（萬元）；
23. 如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．設(shè)的長度為，點(diǎn)，的距離為，的周長與的周長之比為．
（1）請(qǐng)直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；請(qǐng)分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時(shí)的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）
【答案】（1）
（2）函數(shù)圖象見解析，隨x增大而增大，隨x增大而減小
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定：
（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得答案；
（2）根據(jù)（1）所求利用描點(diǎn)法畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象并根據(jù)函數(shù)圖象寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象的性質(zhì)即可；
（3）找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
小問2詳解】
解：如圖所示，即為所求；
由函數(shù)圖象可知，隨x增大而增大，隨x增大而減??；
小問3詳解】
解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)取值范圍．
24. 如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從港出發(fā)，分別向，兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)港正東方向的港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達(dá)港，再沿北偏東方向航行一定距離到達(dá)港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達(dá)港，再沿南偏東方向航行一定距離到達(dá)港．（參考數(shù)據(jù)：，，）
（1）求，兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)港？請(qǐng)通過計(jì)算說明．
【答案】（1），兩港之間的距離海里；
（2）甲貨輪先到達(dá)港．
【解析】
【分析】（）過作于點(diǎn)，由題意可知：，，求出，即可求解；
（）通過三角函數(shù)求出甲行駛路程為：，乙行駛路程為：，然后比較即可；
本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
如圖，過作于點(diǎn)，
∴，
由題意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，兩港之間的距離海里；
【小問2詳解】
由（）得：，，，
∴，
∴，
由題意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲貨輪先到達(dá)港．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），連接．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是射線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸，垂足為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接．當(dāng)線段長度取得最大值時(shí)，求的最小值；
（3）將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時(shí)的點(diǎn)，且與直線相交于另一點(diǎn)．點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）；
（2）的最小值為；
（3）符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【解析】
【分析】（1）利用正切函數(shù)求得，得到，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)，求得最大，點(diǎn)，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，據(jù)此求解即可；
（3）求得，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計(jì)算即可求解．
【小問1詳解】
解：令，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
將和代入得，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為；
【小問2詳解】
解：令，則，
解得或，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)（），則，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
∴，，，
∴，，
連接，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即取最小值，
∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴的最小值為；
【小問3詳解】
解：由（2）得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，得，
∴，
∴新拋物線由向左平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到，
∴，
過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，
∴，
同理求得直線的解析式為，
∵，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
作關(guān)于直線的對(duì)稱線得交拋物線于點(diǎn)，
∴，
設(shè)交軸于點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，
過點(diǎn)作軸，作軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
綜上，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合問題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
26. 在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合）．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接．在直線上取一點(diǎn)，使，直線與直線交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，若，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若，點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的過程中，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理及外角定理結(jié)合即可求解；
（2）在上截取，連接，交于點(diǎn)H，連接，先證明，再證明四邊形是平行四邊形，可得，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，則由軸對(duì)稱可知：，，再解即可；
（3）連接，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，由軸對(duì)稱知，，，，當(dāng)點(diǎn)G在邊上時(shí)，由于，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；當(dāng)點(diǎn)G在延長線上時(shí)，只能是， 設(shè)，在中，，解得，設(shè)，解直角三角形求出，即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖，

∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：，
在上截取，連接，交于點(diǎn)H，

∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，
則由軸對(duì)稱可知：，，
∴中，，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：連接，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，

∵，
∴，
由軸對(duì)稱知，
當(dāng)點(diǎn)G在邊上時(shí)，由于，
∴當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只能是，
同（1）方法得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴中，，解得，
∴，而，
∴為等邊三角形，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)點(diǎn)G在延長線上時(shí)，只能是，如圖：

設(shè)，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴在中，，
解得，
∴，
設(shè)，則，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
綜上所述：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，外角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的分類討論，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．年級(jí)
七年級(jí)
八年級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)