數(shù)學(xué)試題（B卷）
（全卷共三個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；
2．作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)；
3．作圖（包括作輔助線）請(qǐng)一律用黑色2B鉛筆完成；
4．考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．
參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．
一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．
1. 下列各數(shù)中最小的數(shù)是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，即可作出判斷．
【詳解】是負(fù)數(shù)，其他三個(gè)數(shù)均是非負(fù)數(shù)，故是最小的數(shù)；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)大小的比較：負(fù)數(shù)小于一切非負(fù)數(shù)，明確此性質(zhì)是關(guān)鍵．
2. 下列標(biāo)點(diǎn)符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別．解題的關(guān)鍵是理解軸對(duì)稱的概念（如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸），尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．據(jù)此對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．該標(biāo)點(diǎn)符號(hào)是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B．該標(biāo)點(diǎn)符號(hào)不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．該標(biāo)點(diǎn)符號(hào)不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．該標(biāo)點(diǎn)符號(hào)不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
3. 反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了求反比例函數(shù)值．熟練掌握求反比例函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別將各選項(xiàng)的點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)代入，求縱坐標(biāo)，然后判斷作答即可．
【詳解】解：解：當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過，故A不符合要求；
當(dāng)時(shí)，，圖象一定經(jīng)過，故B符合要求；
當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過，故C不符合要求；
當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過，故D不符合要求；
故選：B．
4. 如圖，，若，則的度數(shù)為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
5. 若兩個(gè)相似三角形的相似比為，則這兩個(gè)三角形面積的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為，
∴這兩個(gè)三角形面積的比是，
故選：D．
6. 估計(jì)的值應(yīng)在（ ）
A. 8和9之間B. 9和10之間C. 10和11之間D. 11和12之間
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即可．
【詳解】解：∵，
而，
∴，
故答案為：C
7. 用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有11個(gè)菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 20B. 21C. 23D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圖形類的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．利用規(guī)律求解．通過觀察圖形找到相應(yīng)的規(guī)律，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：第①個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第②個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第③個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第④個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
∴第個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
∴第⑧個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為，
故選：C．
8. 如圖，是的弦，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用圓周角定理求出，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出，等邊對(duì)等角然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故選：B．
9. 如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，連接，，平分．交于點(diǎn)．若，則的長度為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，再證明得到，進(jìn)一步證明得到，設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故選：D．
10. 已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：
①滿足條件的整式中有5個(gè)單項(xiàng)式；
②不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；
③滿足條件的整式共有16個(gè)．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得，再分類討論得到答案即可．
【詳解】解：∵為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，
∴，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，
滿足條件的整式有，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，，，
滿足條件的整式有：，，，，，；
當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，；
當(dāng)時(shí)，，
滿足條件的整式有：；
∴滿足條件的單項(xiàng)式有：，，，，，故①符合題意；
不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；故②符合題意；
滿足條件的整式共有個(gè)．故③符合題意；
故選D
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．
11. 計(jì)算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】原式第一項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：原式=2+1=3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
12. 甲、乙兩人分別從A、B、C三個(gè)景區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)景區(qū)前往游覽，則他們恰好選擇同一景區(qū)的概率為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出甲、乙恰好游玩同一景點(diǎn)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有9種等可能的情況，他們選擇同一個(gè)景點(diǎn)有3種，
故他們選擇同一個(gè)景點(diǎn)的概率是：，
故答案為：．
13. 若正多邊形一個(gè)外角是45°，則該正多邊形的邊數(shù)是_________.
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，各個(gè)外角也相等，直接用可求得邊數(shù)．
【詳解】解：多邊形外角和是360度，正多邊形的一個(gè)外角是，
即該正多邊形的邊數(shù)是8，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形外角和以及多邊形的邊數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，各個(gè)外角也相等．
14. 重慶在低空經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運(yùn)行了200架次，預(yù)計(jì)第三季度低空飛行航線安全運(yùn)行將達(dá)到401架次．設(shè)第二、第三兩個(gè)季度安全運(yùn)行架次的平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)第二、第三兩個(gè)季度安全運(yùn)行架次的平均增長率為，則第二季度低空飛行航線安全運(yùn)行了架次，第三季度低空飛行航線安全運(yùn)行了架次，據(jù)此列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)第二、第三兩個(gè)季度安全運(yùn)行架次的平均增長率為，
由題意得，，
故答案為：．
15. 如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)．若，則的長度為________．
【答案】2
【解析】
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再由角平分線的定義得到，進(jìn)而可證明，即可推出．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案為：2．
16. 若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的兩個(gè)不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出；解分式方程得到，再由關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，推出且且a是偶數(shù)，則且且a是偶數(shù)，據(jù)此確定符合題意的a的值，最后求和即可．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式組的解集為，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，
∴且是整數(shù)且，
∴且且a是偶數(shù)，
∴且且a是偶數(shù)，
∴滿足題意的a的值可以為4或8，
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．
故答案為：．
17. 如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．若，，，則的長度是________；的長度是________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，根據(jù)勾股定理求出，則，由切線的性質(zhì)得到，則可證明，解直角三角形即可求出；連接，由平行線的性質(zhì)得到，再由，，推出，得到，則．
【詳解】解：∵是的直徑，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
在中，；
如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明是解題的關(guān)鍵．
18. 一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)，若滿足，則稱這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵，∴1278是“友誼數(shù)”．若是一個(gè)“友誼數(shù)”，且，則這個(gè)數(shù)為________；若是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)，且是整數(shù)，則滿足條件的的最大值是________．
【答案】 ①. 3456 ②.
【解析】
【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得到，再由可求出a、b、c、d的值，進(jìn)而可得答案；先求出，進(jìn)而得到，根據(jù)是整數(shù)，得到是整數(shù)，即是整數(shù)，則是13的倍數(shù)，求出，再按照a從大到小的范圍討論求解即可．
【詳解】解：∵是一個(gè)“友誼數(shù)”，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴這個(gè)數(shù)為；
∵是一個(gè)“友誼數(shù)”，
∴
，
∴，
∴
，
∵是整數(shù)，
∴是整數(shù)，即是整數(shù)，
∴是13的倍數(shù)，
∵都是不為0的正整數(shù)，且，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可以滿足是13的倍數(shù)，即此時(shí)，則此時(shí)，
∵要使M最大，則一定要滿足a最大，
∴滿足題意的M的最大值即為；
故答案為：3456；．
三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了整式的混合計(jì)算，分式的混合計(jì)算∶
（1）先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可得到答案；
（2）先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)即可得到答案．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
20. 數(shù)學(xué)文化有利于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣．某校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)掌握的情況，從該校七、八年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，并對(duì)數(shù)據(jù)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績(jī)均不低于70分，用表示，共分三組：A．，B．，C．），下面給出了部分信息：
七年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贐組中的數(shù)據(jù)是：80，83，88，88．
七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：________，________，________；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好？請(qǐng)說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七年級(jí)學(xué)生有500人，八年級(jí)學(xué)生有400人．估計(jì)該校七、八年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識(shí)為“優(yōu)秀”的總共有多少人？
【答案】（1）88；87；40
（2）八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好，理由見解析
（3）310人
【解析】
【分析】本題主要考查了中位數(shù)，眾數(shù)，用樣本估計(jì)總體，扇形統(tǒng)計(jì)圖等等：
（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可求出a、b的值，先求出把年級(jí)A組的人數(shù)，進(jìn)而可求出m的值；
（2）根據(jù)八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)都比七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的高即可得到結(jié)論；
（3）用七年級(jí)的人數(shù)乘以七年級(jí)樣本中優(yōu)秀的人數(shù)占比求出七年級(jí)優(yōu)秀人數(shù)，用八年級(jí)的人數(shù)乘以八年級(jí)樣本中優(yōu)秀的人數(shù)占比求出八年級(jí)優(yōu)秀人數(shù)，再二者求和即可得到答案．
【小問1詳解】
解：八年級(jí)C組的人數(shù)為人，而八年級(jí)B組有4人，則把八年級(jí)10名學(xué)生的成績(jī)按照從低到高排列，處在第5名和第6名的成績(jī)分別為88分，88分，
∴八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；
∵七年級(jí)10名學(xué)生成績(jī)中，得分為87分的人數(shù)最多，
∴七年級(jí)眾數(shù)；
由題意得，，
∴；
故答案為：88；87；40；
【小問2詳解】
解：八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好，理由如下：
∵兩個(gè)年級(jí)10名學(xué)生的平均成績(jī)相同，但是八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)都比七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的高，
∴八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)較好；
【小問3詳解】
解：人，
∴估計(jì)該校七、八年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)文化知識(shí)為“優(yōu)秀”的總共有310人．
21. 在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：
（1）如圖，在矩形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)．用尺規(guī)過點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）已知：矩形，點(diǎn)，分別在，上，經(jīng)過對(duì)角線的中點(diǎn)，且．求證：四邊形是菱形．
證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∴①，．
∵點(diǎn)是中點(diǎn)，
∴②．
∴（AAS）．
∴③．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
進(jìn)一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．
【答案】（1）見解析 （2）①；②；③；④四邊形是菱形
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，垂線的尺規(guī)作圖：
（1）根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；
（2）根據(jù)矩形或平行四邊形的對(duì)邊平行得到，，進(jìn)而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．再由，即可證明四邊形是菱形．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∴，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
猜想：過平行四邊形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形；
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
故答案為：①；②；③；④四邊形是菱形．
22. 某工程隊(duì)承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半．據(jù)測(cè)算需要、兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費(fèi)用為15000元，已知種外墻漆每千克的價(jià)格比種外墻漆每千克的價(jià)格多2元．
（1）求、兩種外墻漆每千克的價(jià)格各是多少元？
（2）已知乙每小時(shí)粉刷外墻面積是甲每小時(shí)粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí)．問甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是多少平方米？
【答案】（1）種外墻漆每千克的價(jià)格為元，則種外墻漆每千克的價(jià)格為元．
（2）甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是平方米．
【解析】
【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意建立方程是解本題的關(guān)鍵；
（1）設(shè)種外墻漆每千克的價(jià)格為元，則種外墻漆每千克的價(jià)格為元，再根據(jù)總費(fèi)用為15000元列方程求解即可；
（2）設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻面積是平方米；利用乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí)．從而建立分式方程求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)種外墻漆每千克的價(jià)格為元，則種外墻漆每千克的價(jià)格為元，
∴，
解得：，
∴，
答：種外墻漆每千克的價(jià)格為元，種外墻漆每千克的價(jià)格為元．
【小問2詳解】
設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻面積是平方米；
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根且符合題意，
答：甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是平方米．
23. 如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．設(shè)的長度為，點(diǎn)，的距離為，的周長與的周長之比為．
（1）請(qǐng)直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；請(qǐng)分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時(shí)的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）
【答案】（1）
（2）函數(shù)圖象見解析，隨x增大而增大，隨x增大而減小
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定：
（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得答案；
（2）根據(jù)（1）所求利用描點(diǎn)法畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象并根據(jù)函數(shù)圖象寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象的性質(zhì)即可；
（3）找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：如圖所示，即為所求；
由函數(shù)圖象可知，隨x增大而增大，隨x增大而減?。?br>【小問3詳解】
解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)的取值范圍．
24. 如圖，，，，分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數(shù)據(jù)：，，）

（1）求的長度（結(jié)果精確到千米）；
（2）甲、乙兩人從景點(diǎn)出發(fā)去景點(diǎn)，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請(qǐng)計(jì)算說明誰選擇的路線較近？
【答案】（1）千米
（2）甲選擇的路線較近
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：
（1）過點(diǎn)B作于E，先求出，再解得到千米，進(jìn)一步解即可得到千米；
（2）過點(diǎn)C作于D，先解得到千米，則千米，再得到千米，千米，最后解 得到千米，千米，即可得到千米，千米，據(jù)此可得答案．
【小問1詳解】
解：如圖所示，過點(diǎn)B作于E，

由題意得，，
∴，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
∴的長度約為千米；
【小問2詳解】
解：如圖所示，過點(diǎn)C作于D，

在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
千米，
在中，，
∴千米，
千米，
∴千米，千米，
∵，
∴甲選擇的路線較近．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是直線下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，在取得最大值的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）最大值為；；
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；
（2）如圖，延長交軸于，過作軸于，求解，可得，證明，設(shè)，，，再建立二次函數(shù)求解即可；
（3）由拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得新的拋物線為：，，如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過作軸于，證明，可得，證明，如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過作軸的垂線，過作過的垂線于，同理可得：，再進(jìn)一步結(jié)合三角函數(shù)建立方程求解即可．
【小問1詳解】
解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線，
∴，
解得，
∴；
【小問2詳解】
解：如圖，延長交軸于，過作軸于，
∵當(dāng)時(shí)，
解得：，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∵，，
設(shè)為，
∴，解得：，
∴直線為：，
設(shè)，
∴，
∴，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；
此時(shí)；
【小問3詳解】
解：∵拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
∴新的拋物線為：，，
如圖，當(dāng)在軸的左側(cè)時(shí)，過作軸于，
∵，
同理可得：直線為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如圖，當(dāng)在軸的右側(cè)時(shí)，過作軸的垂線，過作過的垂線于，
同理可得：，
設(shè)，則，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，難度很大，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是做出合適的輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
26. 在中，，，過點(diǎn)作．
（1）如圖1，若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；
（2）如圖2，若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，求證：；
（3）若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且．點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將沿直線翻折得到，連接．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出的最大值．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）證明得到，再由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，即可證明；
（2）如圖所示，過點(diǎn)G作于H，連接，先證明，得到，，再證明是等腰直角三角形，得到；由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得，則，進(jìn)而可證明，則；設(shè)，則，可得由角平分線的定義可得，則可證明，進(jìn)而證明，得到，即可證明；
（3）如圖所示，過點(diǎn)D作交延長線與H，連接，則四邊形是矩形，可得，證明是等邊三角形，得到，進(jìn)而得到，；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，證明，得到，則點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線交于K，則，可得，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，則，設(shè)，則，則，；再求出，則，，由勾股定理得；由全等三角形的性質(zhì)可得，則；由折疊的性質(zhì)可得，由，得到當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，此時(shí)有最大值，最大值為，據(jù)此代值計(jì)算即可．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴；
【小問2詳解】
證明：如圖所示，過點(diǎn)G作于H，連接，
∵，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
設(shè)，則，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖所示，過點(diǎn)D作交延長線與H，連接，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)直線交于K，則，
∴，
由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
由折疊性質(zhì)可得，
∵，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，此時(shí)有最大值，最大值為，
∴的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，垂線段最短，矩形的性質(zhì)與判定等等，解（2）的關(guān)鍵在于作出輔助線證明，得到；解（3）的關(guān)鍵在于通過手拉手模型證明點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，從而根據(jù)垂線段最短確定點(diǎn)Q的位置．年級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級(jí)
86
87
八年級(jí)
86
90

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