本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共8頁(yè)．考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無(wú)效．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．考生作答時(shí)，不能使用任何型號(hào)的計(jì)算器．
第Ⅰ卷（選擇題共30分）
注意事項(xiàng)：
1．選擇題必須使用2B鉛筆將答案標(biāo)號(hào)填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上．
2．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．
一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．
1. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式．熟練掌握解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
移項(xiàng)可得一元一次不等式的解集．
【詳解】解：，
解得，，
故選：A．
2. 下列文物中，俯視圖是四邊形的是（ ）
A 帶蓋玉柱形器B. 白衣彩陶缽
C. 鏤空人面覆盆陶器D. 青銅大方鼎
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，掌握簡(jiǎn)單幾何體三視圖的形狀是正確判斷的前提．
得出各個(gè)選項(xiàng)中的幾何體的俯視圖即可．
【詳解】解：A．俯視圖是圓形，因此選項(xiàng)A不符合題意；
B．俯視圖不是四邊形，因此選項(xiàng)B不符合題意；
C．俯視圖不是四邊形，因此選項(xiàng)C不符合題意；
D．俯視圖是正方形，因此選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
3. 年，樂(lè)山市在餐飲、文旅、體育等服務(wù)消費(fèi)表現(xiàn)亮眼，網(wǎng)絡(luò)零售額突破億元，居全省地級(jí)市第一．將用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了絕對(duì)值大于1的科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定的值．
根據(jù)絕對(duì)值大于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，的值為整數(shù)位數(shù)少1．
【詳解】解：大于1，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，，
∴用科學(xué)記數(shù)法表示為，
故選：C．
4. 下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和，分別求出三角形，四邊形，五邊形，六邊形的內(nèi)角和，即可得到．
【詳解】解：三角形的內(nèi)角和等于
四邊形的內(nèi)角和等于
五邊形的內(nèi)角和等于
六邊形的內(nèi)角和等于
所以三角形的內(nèi)角和最小
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，能熟記邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和是解此題的關(guān)鍵．
5. 為了解學(xué)生上學(xué)的交通方式，劉老師在九年級(jí)800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制作成如下統(tǒng)計(jì)表，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生乘坐公交車(chē)上學(xué)的人數(shù)為（ ）
A. 100B. 200C. 300D. 400
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了用樣本估計(jì)總體，用學(xué)校總?cè)藬?shù)乘樣本中乘坐公交車(chē)上學(xué)的人數(shù)的比例，即可得出答案．
【詳解】解：估計(jì)該年級(jí)學(xué)生乘坐公交車(chē)上學(xué)的人數(shù)為：
（人），
故選：D．
6. 下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A、∵，
∴四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、∵，
∴四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、∵，
∴四邊形平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、∵，不能得出四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的判定定理．
7. 已知，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對(duì)值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)化簡(jiǎn)二次根式，然后再根據(jù)去絕對(duì)值即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
8. 若關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩實(shí)數(shù)根為，則．
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后通分，，從而得到關(guān)于p的方程，解方程即可．
【詳解】解：，
，
而，
，
，
故選：A．
9. 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由，可知圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，由當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，可得，計(jì)算求解，然后作答即可．
【詳解】解：∵，
∴圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
∴關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
∴，
解得，，
故選：C．
10. 如圖，在菱形中，，，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)，連接交于點(diǎn)M．當(dāng)點(diǎn)P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】該題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑．
過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，根據(jù)，四邊形是菱形，，算出，得出，垂直平分，再證明，得出，證明垂直平分，點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)解直角三角形 ．即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，
∵，四邊形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)，
此時(shí)，∵，四邊形是菱形，，
∴，
∴．
故點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．
故選：B．
第Ⅱ卷（非選擇題共120分）
注意事項(xiàng)：
1．考生使用0.5mm黑色墨汁簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，答在試題卷上無(wú)效．
2．作圖時(shí)，可先用鉛筆畫(huà)線，確認(rèn)后再用0.5mm黑色墨汁簽字筆描清楚．
3．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟．
4．本部分共16個(gè)小題，共120分．
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．
11. 計(jì)算：______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用合并同類(lèi)項(xiàng)法則計(jì)算得出答案．
【詳解】．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，正確把握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
12. 一名交警在路口隨機(jī)監(jiān)測(cè)了5輛過(guò)往車(chē)輛的速度，分別是：66，57，71，69，58（單位：千米/時(shí)）．那么這5輛車(chē)的速度的中位數(shù)是______．
【答案】66
【解析】
【分析】本題主要考查中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
先將數(shù)據(jù)從小到大重新排列，根據(jù)中位數(shù)的概念求解可得．
【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為57，58，66，69，71，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為66．
故答案為：66．
13. 如圖，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若，那么______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本題考查了直線平行的性質(zhì)：兩直線平行同位角相等．也考查了平角的定義．
根據(jù)兩直線平行同位角相等得到，再根據(jù)平角的定義得到，從而可計(jì)算出．
【詳解】解：如圖，
，
，
而，
，
故答案：．
14. 已知，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了完全平方公式的變形．熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
故答案為：．
15. 如圖，在梯形中，，對(duì)角線和交于點(diǎn)O，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
設(shè)的距離為，則，即，證明，則，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：設(shè)的距離為，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
16. 定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．
（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是______（填序號(hào)）；
①；②；③．
（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】 ①. ③ ②. 或
【解析】
【分析】本題主要考查了新定義——“近軸點(diǎn)”．熟練掌握新定義，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸距特點(diǎn)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）①中，取，不存在“近軸點(diǎn)”；
②，由對(duì)稱(chēng)性，取，不存在“近軸點(diǎn)”；
③，取時(shí)，，得到是的“近軸點(diǎn)”；
（2）圖象恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)時(shí)， ，得到；當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，得到．
【詳解】（1）①中，
時(shí)，，
不存在“近軸點(diǎn)”；
②，
由對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)時(shí)，，
不存在“近軸點(diǎn)”；
③，
時(shí)，，
∴是的“近軸點(diǎn)”；
∴上面三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是③
故答案為：③；
（2）中，
時(shí)，，
∴圖象恒過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，
∴，
∴；
當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，
∴，
∴；
∴m的取值范圍為或．
故答案為：或．

三、解答題：本大題共10個(gè)小題，共102分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17. 計(jì)算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本題考查了絕對(duì)值，零指數(shù)冪，算術(shù)平方根．熟練掌握絕對(duì)值，零指數(shù)冪，算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．
先分別計(jì)算絕對(duì)值，零指數(shù)冪，算術(shù)平方根，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：
．
18. 解方程組：
【答案】詳見(jiàn)解析
【解析】
【分析】用加減消元法把二元一次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．
【詳解】解：①＋②，得．
解得．
把代入②，得．
原方程組的解是．
19. 知：如圖，平分，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】利用證明，即可證明．
【詳解】解：平分，
，
在和中，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握、、、等全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
20. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．小樂(lè)同學(xué)的計(jì)算過(guò)程如下：
（1）小樂(lè)同學(xué)的解答過(guò)程中，第______步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
（2）請(qǐng)幫助小樂(lè)同學(xué)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．
【答案】（1）③ （2），
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，異分母的分式減法運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）第③步分子相減時(shí)，去括號(hào)變號(hào)不徹底；
（2）先通分，再進(jìn)行分子相減，化為最簡(jiǎn)分式后，再代入求值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵第③步分子相減時(shí)，去括號(hào)變號(hào)不徹底，
應(yīng)為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：
當(dāng)時(shí)，原式
21. 樂(lè)山作為聞名世界的文化旅游勝地，吸引了大量游客．為更好地提升服務(wù)質(zhì)量，某旅行社隨機(jī)調(diào)查了部分游客對(duì)四種美食的喜好情況（每人限選一種），并將調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為_(kāi)_____人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為_(kāi)_____；
（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）旅行社推出每人可免費(fèi)品嘗兩種美食的活動(dòng)，某游客從上述4種美食中隨機(jī)選擇兩種，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率．
【答案】（1）240，35
（2）見(jiàn)詳解 （3）
【解析】
【分析】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計(jì)算事件或事件的概率．也考音了統(tǒng)計(jì)圖．
（1）根據(jù)：該項(xiàng)所占百分比該項(xiàng)人數(shù)÷總?cè)藬?shù)．兩圖給出了“蹺腳牛肉”的數(shù)據(jù)，代入即可算出抽取的游客總?cè)藬?shù)，然后再算出“缽缽雞”的人數(shù)；
（2）根據(jù)條形圖中數(shù)據(jù)和調(diào)查總?cè)藬?shù)，先計(jì)算出喜歡“甜皮鴨”的人數(shù)，再補(bǔ)全條形圖；
（3）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰好同時(shí)抽到“缽缽雞和蹺腳牛肉”“缽缽雞和蹺腳牛肉”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為(人)，
，
故答案為：240，35；
【小問(wèn)2詳解】
“甜皮鴨”對(duì)應(yīng)的人數(shù)為(人)，
補(bǔ)全圖形如下：
【小問(wèn)3詳解】
假設(shè)“麻辣燙”“蹺腳牛肉”“缽缽雞”“甜皮鴨”對(duì)應(yīng)為“A、B、C、D”，
畫(huà)樹(shù)狀圖如圖所示，
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽到“缽缽雞和蹺腳牛肉”題目的結(jié)果數(shù)為2，
∴抽到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率是．
22. 如圖，已知點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)．
（1）求、的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連結(jié)，求點(diǎn)到線段的距離．
【答案】（1），，
（2）點(diǎn)到線段的距離為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)、在反比例函數(shù)圖象上，代入即可求得、的值；根據(jù)一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，代入求得，，即可得到表達(dá)式；
（2）連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，可推出 軸，、、的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)，計(jì)算得的長(zhǎng)度，即為點(diǎn)到線段的距離．
【小問(wèn)1詳解】
點(diǎn)、在反比例函數(shù)圖象上
，
又一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，
解得：
一次函數(shù)表達(dá)式為：；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)
，
軸，
點(diǎn)，，
點(diǎn)，，
在中，
又
即
∴，即點(diǎn)C到線段AB的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)值，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，勾股定理，與三角形高有關(guān)的計(jì)算，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
23. 我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位寫(xiě)過(guò)一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題是使用《西江月》詞牌寫(xiě)的：
平地秋千未起，踏板一尺離地．
送行二步與人齊，五尺人高曾記．
仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．
良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？
詞寫(xiě)得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）
（1）如圖1，請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索的長(zhǎng)度；
（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索的長(zhǎng)度？如果能，請(qǐng)用含α、β和h的式子表示；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）秋千繩索的長(zhǎng)度為尺
（2）能，
【解析】
【分析】該題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)B．設(shè)秋千繩索的長(zhǎng)度為x尺．由題可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；
（2）由題可知，，．在中，得出，同理，．再根據(jù)，列等式即可求出．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)B．
設(shè)秋千繩索的長(zhǎng)度為x尺．
由題可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千繩索的長(zhǎng)度為尺．
【小問(wèn)2詳解】
能．
由題可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
24. 如圖，是的外接圓，為直徑，過(guò)點(diǎn)C作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且．
（1）求證：；
（2）若垂直平分，，求陰影部分的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如圖1，連結(jié)．則，即．由為直徑，可得，即．則．由，可得．由，可得．則．進(jìn)而可證．
（2）如圖2，連結(jié)．由垂直平分，可得．則為等邊三角形．，．由，可得．由，可得．．證明為等邊三角形．則，．．則．．．．，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖1，連結(jié)．
圖1
∵為的切線，
∴，即．
又∵為直徑，
∴，即．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖2，連結(jié)．
圖2
∵垂直平分，
∴．
又∵，
∴為等邊三角形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴為等邊三角形．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴陰影部分的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角為直角，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，平行線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正弦，扇形面積等知識(shí)．熟練掌握切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角為直角，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，平行線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正弦，扇形面積是解題的關(guān)鍵．
25. 在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱(chēng)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．
（1）若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若線段（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；
（3）若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征．?dāng)?shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)鍵．
（1）把代入后再將拋物線化成頂點(diǎn)式為，即可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的范圍確定點(diǎn)A縱坐標(biāo)的范圍；
（3）結(jié)合圖象確定有4個(gè)“完美點(diǎn)”時(shí)a的最大和最小值，進(jìn)而確定a的范圍．
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，拋物線．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【小問(wèn)2詳解】
令，則，
∴，
∵線段上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，
∴“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè)．
∵，
∴當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，分別為，，，；
當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，分別為，，，，．
∴．
∴a的取值范圍是．
【小問(wèn)3詳解】
根據(jù)，
得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)，，．
∵拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，
顯然，“完美點(diǎn)”，，符合題意．
下面討論拋物線經(jīng)過(guò)，的兩種情況：
①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，共4個(gè)．
②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．
如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，，，共6個(gè)．
∴a的取值范圍是．
26. 在一堂平面幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：
【問(wèn)題情境】
如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E在邊上，且，，，求的長(zhǎng)．
解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【問(wèn)題解決】
上述問(wèn)題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．
劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變．
【知識(shí)遷移】
如圖3，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，滿足的周長(zhǎng)等于正方形的周長(zhǎng)的一半，連結(jié)，分別與對(duì)角線交于M、N兩點(diǎn)．探究的數(shù)量關(guān)系并證明．

【拓展應(yīng)用】
如圖4，在矩形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且．探究的數(shù)量關(guān)系：______（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）．

【問(wèn)題再探】
如圖5，在中，，，，點(diǎn)D、E在邊上，且．設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

【答案】【問(wèn)題解決】①；②；③5；【知識(shí)遷移】，見(jiàn)解析；【拓展應(yīng)用】；【問(wèn)題再探】
【解析】
【分析】（1）【問(wèn)題解決】根據(jù)題中思路解答即可；
（2）【知識(shí)遷移】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連結(jié)．由旋轉(zhuǎn)的特征得．結(jié)合題意得．證明，得出．根據(jù)正方形性質(zhì)得出．結(jié)合，得出．證明，得出．證明．得出．在中，根據(jù)勾股定理即可求解；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖所示，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則．則，，根據(jù)，證明，得出，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)M，則四邊形為矩形．得出，證明是等腰直角三角形，得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可證明；
（4）【問(wèn)題再探】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．由旋轉(zhuǎn)的特征得．根據(jù)，得出，證明，得出，根據(jù)勾股定理算出，根據(jù)，表示出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出，，同理可得．，證明四邊形為矩形．得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；
【詳解】解：（1）【問(wèn)題解決】解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，，，，
∴①．
∴．
又∵，
∴在中，②．
∵，，
∴③．
（2）【知識(shí)遷移】．
證明：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．
過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連結(jié)．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．
由題意得，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
又∵為正方形的對(duì)角線，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
（3）【拓展應(yīng)用】．
證明：如圖所示，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．
則．
則，，
，
，
在和中
，
，
∴，
過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)M，則四邊形為矩形．
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴，
即，
又∴，
∴，
即，
（4）【問(wèn)題再探】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，
同理可得．
，
，
，
又∵，
∴四邊形為矩形．
，
，
在中，．
，
解得．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換作圖，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．交通方式
公交車(chē)
自行車(chē)
步行
私家車(chē)
其它
人數(shù)（人）
30
5
15
8
2
解：…①
…②
…③
…④
…⑤
當(dāng)時(shí)，原式．

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