2024年中考真題—上海市數(shù)學(xué)試題（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．作答前，請在答題紙指定位置填寫姓名、報名號、座位號．井將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置．
3．所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯位．在試卷上作答一律不得分．
4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．
一、選擇題（每題4分，共24分）
1. 如果，那么下列正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【詳解】解：A．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯誤，不符合題意；
B．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯誤，不符合題意；
C．兩邊同時乘上大于零的數(shù)，不等號的方向不改變，故正確，符合題意；
D．兩邊同時乘上小于零的數(shù)，不等號的方向改變，故錯誤，不符合題意；
故選：C．
2. 函數(shù)的定義域是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查求函數(shù)定義域，涉及分式有意義的條件：分式分母不為0，解不等式即可得到答案，熟練掌握求函數(shù)定義域的方法是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：函數(shù)的定義域是，解得，
故選：D．
3. 以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當(dāng)時，方程的兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷．
【詳解】解：A．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故A選項不符合題意；
B．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故B選項不符合題意；
C．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故C選項不符合題意；
D．，該方程有兩個相等實數(shù)根，故D選項不符合題意；
故選：D．
4. 科學(xué)家同時培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個開花時間最短的并且最平穩(wěn)的．
A. 甲種類B. 乙種類C. 丙種類D. 丁種類
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了用平均數(shù)和方差做決策，根據(jù)平均數(shù)的定義以及方差的定義做決策即可．解題的關(guān)鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．
【詳解】解：∵由表格可知四種花開花時間最短的為甲種類和乙種類，
四種花的方差最小的為乙種類和丁種類，方差越小越穩(wěn)定，
∴乙種類開花時間最短的并且最平穩(wěn)的，
故選：B．
5. 四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）
A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查矩形性質(zhì)、等面積法、菱形的判定等知識，熟練掌握矩形性質(zhì)及菱形的判定是解決問題的關(guān)鍵．由矩形性質(zhì)得到，，進(jìn)而由等面積法確定，再由菱形的判定即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示：
四邊形為矩形，
，，
過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，
，
如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為菱形，
故選：A．
6. 在中，，，，點在內(nèi)，分別以為圓心畫，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關(guān)系是（）
A. 內(nèi)含B. 相交C. 外切D. 相離
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，
圓含在圓內(nèi)，即，
在以為圓心、為半徑的圓與邊相交形成的弧上運動，如圖所示：
當(dāng)?shù)轿恢脮r，圓與圓圓心距離最大，為，
，
圓與圓相交，
故選：B．
二、填空題（每題4分，共48分）
7. 計算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了積的乘方以及冪的乘方，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．先將因式分別乘方，再結(jié)合冪的乘方計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
8. 計算______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
【點睛】本題考查平方差公式，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．
9. 已知，則___________．
【答案】1
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．由二次根式被開方數(shù)大于0可知，則可得出，求出x即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可知：，
∴，
解得：，
故答案為：1．
10. 科學(xué)家研發(fā)了一種新的藍(lán)光唱片，一張藍(lán)光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科學(xué)記數(shù)法表示）
【答案】
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，按要求表示即可得到答案，確定與的值是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的倍，
故答案為：．
11. 若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則y的值隨x的增大而___________．（選填“增大”或“減小”）
【答案】減小
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，可求出，結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的值隨的增大而減?。?br>【詳解】解：正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
解得：，
又，
的值隨的增大而減?。?br>故答案為：減?。?br>12. 在菱形中，，則___________．
【答案】##57度
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，利用菱形性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
故答案為：．
13. 某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10萬元時銷售額1000萬元，當(dāng)投入90萬元時銷售量5000萬元，則投入80萬元時，銷售量為___________萬元．
【答案】4500
【解析】
【分析】本題考查求一次函數(shù)解析式及求函數(shù)值，設(shè)，根據(jù)題意找出點代入求出解析式，然后把代入求解即可．
【詳解】解：設(shè)，
把，代入，得，
解得，
∴，
當(dāng)時，，
即投入80萬元時，銷售量為4500萬元，
故答案為：4500．
14. 一個袋子中有若干個白球和綠球，它們除了顏色外都相同隨機(jī)從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有___________個綠球．
【答案】3
【解析】
【分析】本題主要考查了已知概率求數(shù)量，一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)袋子中綠球有個，則根據(jù)概率計算公式得到球的總數(shù)為個，則白球的數(shù)量為個，再由每種球的個數(shù)為正整數(shù)，列出不等式求解即可．
【詳解】解：設(shè)袋子中綠球有個，
∵摸到綠球的概率是，
∴球的總數(shù)為個，
∴白球的數(shù)量為個，
∵每種球的個數(shù)為正整數(shù)，
∴，且x為正整數(shù)，
∴，且x正整數(shù)，
∴x的最小值為1，
∴綠球的個數(shù)的最小值為3，
∴袋子中至少有3個綠球，
故答案為：3．
15. 如圖，在平行四邊形中，E為對角線上一點，設(shè)，，若，則___________（結(jié)果用含，的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平面向量的知識，解答本題的關(guān)鍵是先確定各線段之間的關(guān)系．先求出，從而可得．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，．
是上一點，，
，
，
，
故答案為：．
16. 博物館為展品準(zhǔn)備了人工講解、語音播報和增強(qiáng)三種講解方式，博物館共回收有效問卷張，其中人沒有講解需求，剩余人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種），那么在總共萬人的參觀中，需要增強(qiáng)講解的人數(shù)約有__________人．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖及用樣本的某種“率”估計總體的某種“率”，正確得出需要增強(qiáng)講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比是解題關(guān)鍵．先求出需求講解的人數(shù)占有效問卷的百分比，再根據(jù)條形統(tǒng)計圖求出需要增強(qiáng)講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：∵共回收有效問卷1000張，其中700人沒有講解需求，剩余300人有需求講解，
∴需求講解的人數(shù)占有效問卷的百分比為，
由條形統(tǒng)計圖可知：需要增強(qiáng)講解的人數(shù)為人，
∴需要增強(qiáng)講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比為，
∴在總共萬人的參觀中，需要增強(qiáng)講解的人數(shù)約有（人），
故答案為：
17. 在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對應(yīng)點分別為，，若，則__________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進(jìn)行求解．
【詳解】解：當(dāng)在之間時，作下圖，
根據(jù)，不妨設(shè)，
由翻折的性質(zhì)知：，
沿直線翻折至所在直線，
，
。
，
過作的垂線交于，
，
，
當(dāng)在的延長線上時，作下圖，
根據(jù)，不妨設(shè)，
同理知：，
過作的垂線交于，
，
，
故答案為：或．
18. 對于一個二次函數(shù)（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，
，
中存在一點，有，解得，則，
拋物線“開口大小”為，
故答案為：．
三、簡答題（共78分，其中第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）
19. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數(shù)冪等，掌握化簡法則是解題的關(guān)鍵．先化簡絕對值，二次根式，零指數(shù)冪，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進(jìn)行計算．
【詳解】解：
．
20. 解方程組：．
【答案】，或者，．
【解析】
【分析】本題考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是利用代入法進(jìn)行求解．
【詳解】解：，
由得：代入中得：
，
，
，
，
解得：或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∴方程組的解為或者．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）上有一點，且與直線交于另一點．

（1）求k與m的值；
（2）過點A作直線軸與直線交于點C，求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是：
（1）把B的坐標(biāo)代入，求出n，然后把B的坐標(biāo)代入，求出k，最后把A的坐標(biāo)代入求出m即可；
（2）根據(jù)軸求出C的縱坐標(biāo)，然后代入，求出C的橫坐標(biāo)，利用勾股定理求出，最后根據(jù)正弦的定義求解即可．
【小問1詳解】
解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
【小問2詳解】
解：由（1）知：
設(shè)l與y軸相交于D，

∵軸，軸軸，
∴A、C、D的縱坐標(biāo)相同，均為2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
22. 同學(xué)用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為．
（1）直接寫出：
兩個直角三角形的直角邊（結(jié)果用表示）；
小平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用表示）；
（2）請畫出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖，要求：
不與給定的圖形狀相同；
畫出三角形的邊．
【答案】（1）等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；底為，高為，面積為；
（2）畫圖見解析．
【解析】
【分析】（）①解直角三角形即可求解；
由題意可知四邊形是矩形，利用線段的和差可求出矩形的邊長，進(jìn)而可求出面積；
（）根據(jù)題意畫出圖形即可；
本題考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面積，圖形設(shè)計，正確識圖是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：①如圖，為等腰直角三角板，，
則；
如圖，為含的直角三角形板，，，，
則，；
綜上，等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；
由題意可知，
∴四邊形是矩形，
由圖可得，，，
∴，
故小平行四邊形的底為，高為，面積為；
【小問2詳解】
解：如圖，即為所作圖形．
23. 如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．
（1）求證：；
（2）線段延長線上一點，且滿足，求證：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；
（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進(jìn)而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．
【小問1詳解】
證明：矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
【小問2詳解】
證明：連接交于點，如圖所示：
在矩形中，，則，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
【點睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．
（1）求平移后新拋物線表達(dá)式；
（2）直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．
①如果小于3，求m的取值范圍；
②記點P在原拋物線上的對應(yīng)點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標(biāo)．
【答案】（1）或；
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；
（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時，則，過作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.
【小問1詳解】
解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新拋物線為；
【小問2詳解】
解：①如圖，設(shè)，則，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，
由題意可得：在的右邊，當(dāng)時，
∴軸，
∴，
∴，
由平移的性質(zhì)可得：，即；
如圖，當(dāng)時，則，
過作于，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，，
∴，
解得：（不符合題意舍去）；
綜上：；
【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.
25. 在梯形中，，點E在邊上，且．
（1）如圖1所示，點F在邊上，且，聯(lián)結(jié)，求證：；
（2）已知；
①如圖2所示，聯(lián)結(jié)，如果外接圓的心恰好落在的平分線上，求的外接圓的半徑長；
②如圖3所示，如果點M在邊上，聯(lián)結(jié)、、，與交于N，如果，且，，求邊的長．
【答案】（1）見詳解（2）①；②
【解析】
【分析】（1）延長交于點G，由，得到，由已知數(shù)據(jù)得到，，故，因此；
（2）①記點O為外接圓圓心，過點O作于點F，連接，先證明，再證明，則，即，求得；
②延長交于點P，過點E作，垂足為點Q，由，求得，可證明，角度推導(dǎo)得，則，求出，繼而得到，由，則，設(shè)，則，由，設(shè)，，由，得到，設(shè)，可證明，求出，則，在中，運用勾股定理得：，則，在中，由勾股定理得，，故．
【小問1詳解】
證明：延長交于點G，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
①解：記點O為外接圓圓心，過點O作于點F，連接，
∵點O為外接圓圓心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圓半徑為；
②延長交于點P，過點E作，垂足為點Q，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴設(shè)，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
而，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓等知識點，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
種類
甲種類
乙種類
丙種類
丁種類
平均數(shù)
2.3
2.3
2.8
3.1
方差
1.05
0.78
1.05
0.78

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