本試題卷共6頁．時量120分鐘．滿分120分．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號寫在答題卡和本試題卷上，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號和相關(guān)信息：
2．選擇題部分請按題號用2B鉛筆填涂方框，修改時用橡皮擦干凈，不留痕跡；
3．非選擇題部分請按題號用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，否則作答無效：
4．在草稿紙、試題卷上作答無效；
5．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；
6．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙．
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在日常生活中，若收入300元記作元，則支出180元應(yīng)記作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義，結(jié)合題意解答即可；
【詳解】解：收入為“”，則支出為“”，
那么支出180元記作元．
故選：C．
2. 據(jù)《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內(nèi)有效發(fā)明專利量達(dá)到401.5萬件，高價值發(fā)明專利占比超過四成，成為世界上首個境內(nèi)有效發(fā)明專利數(shù)量突破400萬件的國家，將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負(fù)數(shù)．
【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故選：B．
3. 如圖，該紙杯的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接依據(jù)主視圖即從幾何體的正面觀察，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，正確把握觀察角度是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：該紙杯的主視圖是選項(xiàng)A，
故選：A．
4. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方，根據(jù)以上運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B、，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C、，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D、，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：B．
5. 計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. 14D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了二次根式的乘法，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．
直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【詳解】解：，
故選：D
6. 下列命題中，正確的是（ ）
A. 兩點(diǎn)之間，線段最短B. 菱形的對角線相等
C. 正五邊形的外角和為D. 直角三角形是軸對稱圖形
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了命題與定理的知識，多邊形外角性質(zhì)，菱形性質(zhì)及軸對稱圖形的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握這些基礎(chǔ)知識點(diǎn)．
【詳解】解：A、兩點(diǎn)之間，線段最短，正確，是真命題，符合題意；
B、菱形的對角線互相垂直，不一定相等，選項(xiàng)錯誤，是假命題，不符合題意；
C、正五邊形的外角和為，選項(xiàng)錯誤，是假命題，不符合題意；
D、直角三角形不一定軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形，選項(xiàng)錯誤，是假命題，不符合題意；
故選：A．
7. 如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可知，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，圓周角和圓心角同對著，
，
，
．
故選：C．
8. 某班的5名同學(xué)1分鐘跳繩的成績（單位：次）分別為：179，130，192，158，141．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A. 130B. 158C. 160D. 192
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了中位數(shù)，找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．據(jù)此求解即可．
【詳解】解：從小到大排序?yàn)?30，141，158，179，192，最中間的數(shù)是158，
∴中位數(shù)是158，
故選：B．
9. 如圖，在中，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)．下列結(jié)論中，錯誤的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷；由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷，掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，
∴，，故正確；
∵，
∴，故正確；
∵，
∴，
∴，故錯誤；
故選：．
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，若x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為“整點(diǎn)”．特別地，當(dāng)（其中）的值為整數(shù)時，稱“整點(diǎn)”P為“超整點(diǎn)”，已知點(diǎn)在第二象限，下列說法正確的是（ ）
A. B. 若點(diǎn)P為“整點(diǎn)”，則點(diǎn)P的個數(shù)為3個
C. 若點(diǎn)P為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)P的個數(shù)為1個D. 若點(diǎn)P為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于10
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了新定義，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，各象限內(nèi)點(diǎn)的特征等知識，利用各象限內(nèi)點(diǎn)的特征求出a的取值范圍，即可判斷選項(xiàng)A，利用“整點(diǎn)”定義即可判斷選項(xiàng)B，利用“超整點(diǎn)”定義即可判斷選項(xiàng)C，利用“超整點(diǎn)”和點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離即可判斷選項(xiàng)D．
【詳解】解：∵點(diǎn)在第二象限，
∴，
∴，故選項(xiàng)A錯誤；
∵點(diǎn)為“整點(diǎn)”， ，
∴整數(shù)a為，，0，1，
∴點(diǎn)P的個數(shù)為4個，故選項(xiàng)B錯誤；
∴“整點(diǎn)”P為，，，，
∵，，，
∴“超整點(diǎn)”P為，故選項(xiàng)C正確；
∵點(diǎn)為“超整點(diǎn)”，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和，故選項(xiàng)D錯誤，
故選：C．
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．
11. 計(jì)算：________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本題考查了求一個數(shù)的相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：2024．
12. 有四枚材質(zhì)、大小、背面圖案完全相同的中國象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機(jī)翻開一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解本題的關(guān)鍵．概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵共有4枚棋子，
∴從中任意摸出一張，恰好翻到棋子“”的概率是．
故答案為：
13. 分式方程=1的解是_______．
【答案】x=1
【解析】
【分析】先給方程兩邊同乘最簡公分母x+1，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程2=x+1，求解后并檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：方程的兩邊同乘x+1，得2=x+1，
解得x=1．
檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時，x+1=2≠0．
所以原方程的解為x=1．
故答案為：x=1．
【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟及方法是解題的關(guān)鍵．
14. 一個等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數(shù)是________度．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解答時根據(jù)等腰三角形兩底角相等，求出頂角度數(shù)即可．
【詳解】解：因?yàn)槠涞捉菫?0°，所以其頂角．
故答案為：100．
15. 若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為________．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)．一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則；有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則；沒有實(shí)數(shù)根，則．據(jù)此即可求解．
【詳解】解：由題意得：，
解得：
故答案為：2
16. 在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關(guān)系，即（k為常數(shù)．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為________．
【答案】180
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，把，代入求解即可．
【詳解】解：把，代入，得，
解得，
故答案為：180．
17. 如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P，作射線，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N．若，，則________．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)作圖可知平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，結(jié)合求出，．
詳解】解：作圖可知平分，
∵是邊上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：6．
18. 如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結(jié)構(gòu)簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點(diǎn)B，與水平線l相交于點(diǎn)O，．若分米，分米．，則點(diǎn)C到水平線l的距離為________分米（結(jié)果用含根號的式子表示）．
【答案】##
【解析】
【分析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長交l于點(diǎn)H，連接，根據(jù)題意及解三角形確定，，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：延長交l于點(diǎn)H，連接，如圖所示：
在中，，
，
即，
解得：．
故答案為：．
三、解答題：本題共8小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
19 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】題目主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)、零次冪的運(yùn)算等，先化簡絕對值、零次冪及特殊角的三角函數(shù)、算術(shù)平方根，然后計(jì)算加減法即可，熟練掌握各個運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
20. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算乘法，再計(jì)算加法，然后把代入化簡后的結(jié)果，即可求解．
【詳解】解：
，
當(dāng)時，原式．
21. 某校為了解學(xué)生五月份參與家務(wù)勞動的情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查、家務(wù)勞動的項(xiàng)目主要包括：掃地、拖地、洗碗、洗衣、做飯和簡單維修等．學(xué)校德育處根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）本次被抽取的學(xué)生人數(shù)為 人；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：
（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“4項(xiàng)及以上”部分所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是 ；
（4）若該校有學(xué)生1200人，請估計(jì)該校五月份參與家務(wù)勞動項(xiàng)目數(shù)量達(dá)到3項(xiàng)及以上的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）100 （2）見解析
（3）36 （4）300人
【解析】
【分析】題目主要考查條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，樣本估計(jì)總體，求扇形統(tǒng)計(jì)圖圓心角等，理解題意，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖得出相關(guān)信息是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)參與1項(xiàng)家務(wù)勞動的人數(shù)及比例即可得出結(jié)果；
（2）先求出參加3項(xiàng)家務(wù)勞動的學(xué)生人數(shù)，然后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；
（3）用360度乘以4項(xiàng)及以上所占的比例即可；
（4）用總?cè)藬?shù)乘以參與家務(wù)勞動的項(xiàng)目數(shù)量達(dá)到3項(xiàng)及以上的比例即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得：人，
故答案為：100；
【小問2詳解】
，
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：
【小問3詳解】
，
故答案為：36；
【小問4詳解】
人．
22. 如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在邊上， ．請從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號），再解決下列問題：
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）若，，，求線段的長．
【答案】（1）①或②，證明見解析；
（2）6
【解析】
【分析】題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）選擇①或②，利用平行四邊形的判定證明即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
解：選擇①，
證明：∵，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
選擇②，
證明：∵，，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
【小問2詳解】
解：由（1）得，
∵，，
∴．
23. 某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富，已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．
（1）求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；
（2）該村計(jì)劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費(fèi)用不超過38000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？
【答案】（1）50元、30元
（2）400棵
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為x元/棵，y元/棵，根據(jù)“購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元”列方程組求解即可；
（2）購買臍橙樹苗a棵，根據(jù)“總費(fèi)用不超過38000元”列不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為x元/棵，y元/棵，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為50元/棵，30元/棵；
【小問2詳解】
解：設(shè)購買臍橙樹苗a棵，則購買黃金貢柚樹苗棵，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：最多可以購買臍橙樹苗400棵．
24. 某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時間進(jìn)行測量活動．
請根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問題（結(jié)果保留整數(shù)）：
（1）求線段和的長度：
（2）求底座的底面的面積．
【答案】（1）7米；3米
（2）18平方米
【解析】
【分析】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得，即可確定長度，再由得出米，即可求解；
（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，繼續(xù)利用正切函數(shù)確定米，即可求解面積．
【小問1詳解】
解：∵，的長為4米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
【小問2詳解】
過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
∴底座的底面的面積為：平方米．
25. 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點(diǎn)．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；
（3）如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長度的最大值．
【答案】（1）
（2）為定值3，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；
（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長度的最大值．
【小問1詳解】
∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，．
∴，
∴的值為定值；
【小問3詳解】
設(shè)，則，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時，
，
∴當(dāng)時，線段長度的最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
26. 【問題背景】
已知點(diǎn)A是半徑為r的上的定點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)A作的切線l，在直線l上取點(diǎn)C，使得為銳角．
【初步感知】
（1）如圖1，當(dāng)時， ；
【問題探究】
（2）以線段為對角線作矩形，使得邊過點(diǎn)E，連接，對角線，相交于點(diǎn)F．
①如圖2，當(dāng)時，求證：無論在給定的范圍內(nèi)如何變化，總成立：
②如圖3，當(dāng)，時，請補(bǔ)全圖形，并求及的值．
【答案】（1）；①證明見解析；②補(bǔ)全圖形見解析，，
【解析】
【分析】（1）可證是等邊三角形，則，由直線l是的切線，得到，故；
（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)與切線的性質(zhì)證明，則，而，由，得到；
②過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，在中，先證明點(diǎn)E在線段上，，由等腰三角形的性質(zhì)得，根據(jù)互余關(guān)系可得，可求，解，求得，可證明，故在中，．
【詳解】解：（1）由題意得，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵直線l是的切線，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）①如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴；
②補(bǔ)全圖形如圖：
過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，
在中，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)E在線段上，
∴在，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴設(shè)，
∴由勾股定理得，
∴，
∴在中，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
而，
∴，
∴在中，．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．活動主題
測算某水池中雕塑底座的底面積
測量工具
皮尺、測角儀、計(jì)算器等
活動過程
模型抽象
某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：
測繪過程與數(shù)據(jù)信息
①在水池外取一點(diǎn)E，使得點(diǎn)C，B，E在同一條直線上；
②過點(diǎn)E作，并沿方向前進(jìn)到點(diǎn)F，用皮尺測得的長為4米；
③在點(diǎn)F處用測角儀測得，，；
④用計(jì)算器計(jì)算得：，，．，，．

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