矩形的證明與計算(黔東南州2022.20，貴陽3考)
1. (2022黔東南州20題3分)如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E為CD的中點，連接AE、BD交于點P，過點P作PQ⊥BC于點Q，則PQ＝________．
2. (2023貴陽19題10分)如圖，在矩形ABCD中，點M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N.(1)求證：△ABN≌△MAD；
(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DMA＝∠NAB.∵BN⊥AM，∴∠D＝∠ANB＝90°.(3分)又∵AM＝AB ，∴△ABN≌△MAD(AAS)；(5分)
(2)若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．
3. (2022畢節(jié)11題3分)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC, BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AO, AD的中點，連接EF，若AB＝6 cm, BC＝8 cm，則EF的長是(　　)A. 2.2 cm B. 2.3 cmC. 2.4 cm D. 2.5 cm
4. (2022遵義10題3分)如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于點E、F，連接PB、PD.若AE＝2，PF＝8.則圖中陰影部分的面積為(　　)A. 10　　　 B. 12　　　 C. 16　　　 D. 18
5. (2022黔南州17題4分)如圖，矩形ABCD的對角線AC的中點為O，過點O作OE⊥BC于點E，連接OD，已知AB＝6，BC＝8，則四邊形OECD的周長為____．
6. (2022遵義24題10分)如圖，矩形ABCD中，延長AB至E，延長CD至F，BE＝DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點. (1)求證：CP＝AQ；
(1)證明：證法一：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FDQ＝∠EBP＝90°，AE∥CF，AD＝BC，(1分)∴∠E＝∠F.(2分)又∵BE＝DF，∴△FDQ≌△EBP(ASA)，(3分)∴DQ＝BP，(4分)∴BC－BP＝AD－DQ，∴CP＝AQ；(5分)
證法二：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠FDQ＝∠EBP＝90°，DA＝BC，(1分)∴∠BPE＝∠CPQ＝∠DQF，(2分)在△BEP與△DFQ中，∴△BEP≌△DFQ(AAS)，(3分)∴BP＝DQ，(4分)∴BC－BP＝AD－DQ，∴CP＝AQ；(5分)
證法三：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠EAQ＝∠FCP＝90°.(1分)∵BE＝DF，∴AE＝CF，(2分)又∵AD∥BC，∴∠AQE＝∠CPF，(3分)在△AEQ和△CFP中，∴△AEQ≌△CFP(AAS)，(4分)∴CP＝AQ；(5分)
∴四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EPC＝∠BPQ＝∠FQA，(2分)∵BE＝DF，∴AE平行且等于CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴∠AFQ＝∠CEP，AF＝CE，(3分)∴△AFQ≌△CEP(AAS)，(4分)∴CP＝AQ；(5分)(其他證明方法根據(jù)實際情況酌情給分)
證法四：如解圖，連接AF、CE，(1分)
(2)若BP＝1，PQ＝2 ，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面積．
解法二：解：∵四邊形ABCD是矩形，∠AEP＝45°，∴∠BPE＝∠AQE＝45°.∵BP＝BE＝1，∴EP＝ ，∴EQ＝ ，∴ ，(6分)∴ .(7分)
又∵S△EBP＝ ×1×1＝ ，∴S△EQA＝ ，∴S四邊形BPQA＝S△EQA－S△EBP＝ － ＝4，(8分)∵S四邊形BPQA＝S四邊形DQPC，(9分)∴S矩形ABCD＝2S四邊形BPQA＝2×4＝8.(10分)
菱形的證明與計算(黔西南州2考，黔東南州5考，貴陽5考)
7. (2023貴陽4題3分)如圖，菱形ABCD的周長是4 cm，∠ABC＝60°，那么這個菱形的對角線AC的長是(　　)A. 1 cm　 　B. 2 cm　 　C. 3 cm　 　D. 4 cm
8. (2022貴陽5題3分)如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長為(　　)A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
9. (2022黔東南州4題4分)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB＝2，∠ABC＝60°，則BD的長為(　　)A. 2 B. 3 C. D. 2
10. (2022黔東南州8題4分)若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x2－10x＋24＝0的一個根，則該菱形ABCD的周長為(　　)A. 16 B. 24 C. 16或24 D. 48
11. (2023黔東南州14題3分)如圖，BD是菱形ABCD的一條對角線，點E在BC的延長線上，若∠ADB＝32°，則∠DCE的度數(shù)為________度．
12. (2022遵義8題3分)如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD交于點O.若增加一個條件，使?ABCD成為菱形，下列給出的條件不正確的是(　　)A. AB＝AD B. AC⊥BDC. AC＝BD D. ∠BAC＝∠DAC
13. (2022遵義9題4分)如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E，則線段DE的長為(　　)A. B. C. 4 D.
14. (2023銅仁8題4分)如圖，四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，點E、F分別在邊DC、BC上，且CE＝ CD，CF＝ CB，則S△CEF＝(　　)A. 　　　B. C. 　　　 D.
15. (2022黔南州17題3分)已知菱形的周長為4 ，兩條對角線長的和為6，則菱形的面積為________．
正方形的證明與計算(黔西南州2考，黔東南州2考，貴陽3考)
16. (2023貴陽10題3分)如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠DCB＝90°，且BC＝2AD.以AB，BC，DC為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3.若S1＝3，S3＝9，則S2的值為(　　)A. 12 B. 18 C. 24 D. 48
17. (2023黔東南州8題4分)如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，F(xiàn)E⊥AB，AF＝2AE，F(xiàn)C交BD于O，則∠DOC的度數(shù)為(　　)A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°
18. (2023黔西南州10題4分)如圖，在正方形 ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，CE，DF交于點G，連接AG.下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正確的結(jié)論是(　　)A. ①② B. ①③C. ②③ D. ①②③
19. (2023三州聯(lián)考16題3分)如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為________．
20. (2023貴陽16題4分)在綜合實踐課上，老師要求同學用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂點都在正方形邊上．小紅利用兩張邊長為2的正方形紙片，按要求剪出了一個面積最大的正三角形和一個面積最小的正三角形．則這兩個正三角形的邊長分別是______________．
21. (2023六盤水16題5分)如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在邊BC和CD上，則∠AEB＝________度．
【對接教材】人教：八下第十八章P52－P69； 北師：九上第一章P1－P29.
具有平行四邊形的所有性質(zhì)邊：對邊平行且相等角：四個角都是________對角線：對角線互相平分且________對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有_____條對稱軸
有一個角是________的平行四邊形是矩形對角線________的平行四邊形是矩形有________個角是直角的四邊形是矩形
面積：S＝ab(a、b分別表示長和寬)
定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形
面積：S＝ mn＝ah，m，n分別為兩條對角線的長，a為菱形的邊長，h為菱形某一邊上的高(若已知m、n、a、h中任意三個，可以用等面積法求出另一個)
具有平行四邊形的所有性質(zhì)邊：四條邊都相等，對邊平行對角線：對角線互相__________且平分，每條對角線平分一組對角對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有____軸
有一組鄰邊________的平行四邊形是菱形四條邊都________的四邊形是菱形對角線________的平行四邊形是菱形
定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)邊：四條邊都相等，對邊平行角：四個角都是________對角線：對角線互相________且相等，每條對角線_______一組對角對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有______條對稱軸
定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形
面積：S＝a2＝ l2(a為正方形的邊長，l為對角線的長)
有一組鄰邊________，并且有一個角是________的平行四邊形是正方形有一組鄰邊相等的________是正方形對角線互相垂直的________是正方形有一個角是直角的________是正方形對角線相等的________是正方形
平行四邊形與特殊平行四邊形之間的關系
(1)從邊、角的角度看：
(2)從對角線的角度看：
對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形；對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形；對角線垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形
例1 如圖①，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC、BD交于點O.
一、矩形的判定及相關計算
(1)當∠DAB＝_______°時，四邊形ABCD是矩形；【解題依據(jù)】判定方法是__________________________________；
有一個角是直角的平行四邊形是矩形
(2)當AC＝________ 時，四邊形ABCD是矩形；【解題依據(jù)】判定方法是_______________________________________；(3)如圖②，若四邊形ABCD是矩形，對角線AC與BD相交于點O，且AB＝6.①若BC＝8，則BD的長為________；
對角線相等的平行四邊形是矩形
②若∠AOD＝120°，則矩形ABCD的面積為________，周長為________．
例2 如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝8，連接AC、BD交于點O，點E為CD上一點．(1)如圖①，連接EO，若EO⊥BD，BC＝4，則CE的長為________；
(2)如圖②，連接BE交AC于點F，若點F為OC的中點，連接OE，若BC＝4，則OE的長為________；
(3)如圖③，連接BE交AC于點M，BE為∠ABC的平分線，若∠EBD＝15°，求BM的長．
(3)如解圖③，過點M作MN⊥BC于點N，
例3 (1)如圖①，在四邊形ABCD中，BC＝CD＝AD，添加一個條件________，使得四邊形ABCD是菱形；
【解題依據(jù)】判定方法是________________________________；
四條邊都相等的四邊形是菱形
(2)如圖②，已知四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，有下列三個條件：①AC⊥BD；②AB＝CD；③AC＝BD，從中選擇一個條件______，使得四邊形ABCD為菱形；【解題依據(jù)】判定方法是______________________________________；
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
(3)如圖③，已知AD平分∠BAC，AB＝AC，E是AD上一點，且BE∥CD，CE∥BD，求證：四邊形BECD為菱形．
(3)證明：證法一：∵BE∥CD，CE∥BD，∴四邊形BECD為平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AB＝AC，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD，∴BD＝CD，∴四邊形BECD為菱形．
證法二：∵BE∥CD，CE∥BD，∴四邊形BECD為平行四邊形．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴四邊形BECD為菱形．
例4 如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC＝16，BD＝12.
(1)四邊形ABCD的周長為________；(2)四邊形ABCD的面積為________；(3)若點H為BC的中點，連接OH，則OH＝________；(4)若OH⊥BC于點H，則OH＝_____________；(5)若點E為OC上一點，且點E在BC的垂直平分線上，則OE＝_______．
例5 在邊長為2 的菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，點F為AD上一點．(1)如圖①，∠ABC＝135°，DE交AC于點G，連接GF，GF⊥AD，則△DFG的周長為________；
(2)如圖②，AC交BD于點O，若BD＝4.①DE的長為________；②若點F為AD的中點，連接BF交DE于點M，則線段AE的長為______，線段EM的長為______；
③如圖③，點P為BD上一動點，DF＝2AF，連接FP、PE，則PF＋PE的最小值為________．
三、正方形的證明與計算
例6 如圖①，在邊長為3的正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點E是對角線AC上一點，連接DE.
(1)OA的長為__________；【解題依據(jù)】性質(zhì)依據(jù)為______________________________________________________；(2)若CD＝CE，則∠BDE的度數(shù)為________；【解題依據(jù)】性質(zhì)依據(jù)為___________________________；
都是直角，且對角線互相平分
正方形的對角線平分一組對角
正方形的四條邊相等，四個角
(3)如圖②，若∠CDE＝60°，延長DE交CB的延長線于點N，過點B作BP⊥DN于點P，則BP的長為________；
(4)如圖③，若DE平分∠ADB交CB的延長線于點G，交AB于點M，則線段AM的長為________；

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