一、單選題
1．2024年1月22~26日,某地連續(xù)5天的最低氣溫(單位：℃)分別為,,,2,3,其中最低的氣溫是( )
A.B.C.D.3
2．人工智能與時(shí)代已悄然來臨,科技逐漸融入人類生活.下列設(shè)計(jì)的人工智能圖標(biāo)中,是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是( )
A.B.C.D.
3．2024年“五一”假期,湖南省共接待游客1849.47萬人次,其中省外游客182.5萬人次,數(shù)據(jù)182.5萬用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.B.C.D.
4．下列運(yùn)算正確的是( )
A.B.C.D.
5．如圖,,點(diǎn)O在直線上,,交于點(diǎn)G,若,則的度數(shù)為( )
A.B.C.D.
6．若點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi),則x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為( )
A.B.
C.D.
7．為了解全班學(xué)生的課外閱讀情況,班主任王老師隨機(jī)調(diào)查了10名學(xué)生,得到他們在某一天各自課外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù),結(jié)果用條形統(tǒng)計(jì)圖表示如下,根據(jù)此圖可知這10名學(xué)生這一天各自課外閱讀所用時(shí)間組成樣本的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( )
A.0.5,0.5B.1,1C.0.5,1D.1,1.5
8．已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,,則式子的值等于( )
A.B.0C.2D.6
9．如圖,在中,是直徑,弦于點(diǎn)E,連接,,.下列結(jié)論中,不一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．已知二次函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn),,若對于,始終有,則下列式子正確的是( )
A.B.C.D.
二、填空題
11．分解因式：___.
12．端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.某超市以每盒x元購進(jìn)一批肉粽,按進(jìn)價(jià)增加20%作為售價(jià),則肉粽的售價(jià)為_______元.(用含x的代數(shù)式表示)
13．方程的解為_______.
14．如圖,在平行四邊形中,,以點(diǎn)B為圓心,的長為半徑作弧交于點(diǎn)E,分別以點(diǎn)C,E為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線交的延長線于點(diǎn)F,則的值為________.
15．如圖,小辰訂購鮮花給奶奶過生日,付款時(shí)忘了支付密碼后三位數(shù),只記得密碼后三位數(shù)是由“2,3,5”這三個(gè)數(shù)字組成的(不同數(shù)位上的數(shù)字不同),現(xiàn)隨機(jī)輸入這三個(gè)數(shù),一次就能支付成功的概率為________.
16．甲烷、乙烷、丙烷、丁烷等分子結(jié)構(gòu)相似的一類有機(jī)化合物,統(tǒng)稱為“烷烴”,烷烴的命名與分子中碳原子的個(gè)數(shù)有關(guān),下表是“烷烴”化學(xué)式的排列規(guī)律：
則含n個(gè)碳原子數(shù)的“烷烴”的分子式為________.
17．如圖,已知反比例函數(shù)(,)的圖象經(jīng)過斜邊的中點(diǎn)D,且與直角邊相交于點(diǎn)C,點(diǎn)A在x軸上.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________.
18．如圖,正方形的邊長為6,點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn),正方形的邊,分別交,于點(diǎn)M,N,,交于點(diǎn)P,若,則________.
三、解答題
19．計(jì)算：
(1)；
(2).
20．如圖,與的頂點(diǎn)C重合,交于點(diǎn)F,已知,.求證：.
21．“換”出消費(fèi)新活力,湖南家電啟動(dòng)以舊換新活動(dòng).在購買政策限定的新家電時(shí)對于以舊換新的消費(fèi)者,國家給予新家電價(jià)格10%的補(bǔ)貼,其中,電腦最高補(bǔ)貼450元,空調(diào)最高補(bǔ)貼300元.某學(xué)校分兩次更新部分電腦和空調(diào),第一次購買1臺電腦和2臺空調(diào),補(bǔ)貼前需花費(fèi)10000元；第二次購買2臺電腦和1臺空調(diào),補(bǔ)貼前需花費(fèi)12200元.
(1)補(bǔ)貼前.學(xué)校購買一臺電腦和一臺空調(diào)所需的資金分別是多少元?
(2)若該校兩次購買的所有電腦和空調(diào)均參加以舊換新活動(dòng),則一共能獲得多少元的國家補(bǔ)貼?
22．某數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組安排了一次主題項(xiàng)目學(xué)習(xí),請你利用所學(xué)知識回答表格中的問題.
23．如圖,是的外接圓,,,點(diǎn)D是上一點(diǎn),連接,,延長至點(diǎn)F,連接,使得.
(1)試判斷與的位置關(guān)系,并說明理由；
(2)若,,求的長.
24．問題情境
“綜合與實(shí)踐”課上,老師提出如下概念：將三角形紙片折疊,使頂點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上點(diǎn)D處,折痕為,若與均為等腰三角形,我們稱折痕是的雙等腰折痕.
初步嘗試：
(1)如圖①,若點(diǎn)E,F分別是的邊,的中點(diǎn),求證：折痕是的雙等腰折痕；
類比探究：
(2)如圖②,在三角形紙片中,,是的雙等腰折痕,且點(diǎn)E為的中點(diǎn),連接,交于點(diǎn)P,若,,求的值；
拓展應(yīng)用：
(3)如圖③,在三角形紙片中,是的雙等腰折痕,.若是的頂角,折痕,點(diǎn)A到折痕的距離為4,求邊的長.
25．在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(b,c為常數(shù),)的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,軸交拋物線于點(diǎn)D.
(1)若,,求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)在(1)的條件下,點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,連接,若,求m的值；
(3)過點(diǎn)P作于點(diǎn)F,若,是否存在拋物線,使得?若存在,求此拋物線的表達(dá)式,若不存在,請說明理由
參考答案
1．答案：B
解析：∵,
∴最低的氣溫是,
故選：B.
2．答案：A
解析：A、是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,故選項(xiàng)符合題意；
B、既不是軸對稱圖形,又不是中心對稱圖形,故選項(xiàng)符合題意；
C、既不是軸對稱圖形,又不是中心對稱圖形,故選項(xiàng)不符合題意；
D、既不是軸對稱圖形,又不是中心對稱圖形,故選項(xiàng)不符合題意；
故選：A.
3．答案：D
解析：數(shù)據(jù)182.5萬用科學(xué)記數(shù)法表示為；
故選D.
4．答案：C
解析：A、,原計(jì)算錯(cuò)誤,故不符合題意；
B、,原計(jì)算錯(cuò)誤,故不符合題意；
C、,原計(jì)算正確,故符合題意；
D、,原計(jì)算錯(cuò)誤,故不符合題意；
故選C.
5．答案：C
解析：∵,,
∴,
∵,
∴,即,
∴；
故選C.
6．答案：C
解析：由點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi),可知：,
解得：；
則x的取值范圍在數(shù)軸上的表示為
故選：C.
7．答案：B
解析：由統(tǒng)計(jì)圖得
中間兩個(gè)數(shù)都是1,
中位數(shù)是；
出現(xiàn)次數(shù)最多是數(shù)據(jù)是1,
眾數(shù)是1；
故選：B.
8．答案：B
解析：由可得：,,
∴；
故選B.
9．答案：C
解析：∵是的直徑,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,,
∴,不一定成立；
故選C.
10．答案：A
解析：設(shè)拋物線的對稱軸為直線：,
∵,,始終有,
∴,
①當(dāng)時(shí),
∴,
∴當(dāng)時(shí),,始終有,
②當(dāng)時(shí),
∴,
∴,
∴當(dāng)時(shí),,始終有,
③當(dāng)時(shí),
∴,
∴,
∴不成立.
∴,,始終有,則或,
∴或,
∴或且,
故選：A.
11．答案：
解析：
.
12．答案：
解析：由題意可知肉粽的售價(jià)為元；
故答案為.
13．答案：
解析：
去分母得：,
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：；
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；
故答案為.
14．答案：1
解析：由題意可得：平分,,
∴,
∵四邊形是平行四邊形,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴；
故答案為1.
15．答案：
解析：現(xiàn)隨機(jī)輸入這三個(gè)數(shù),有235、253、325、352、523、532,共6種可能,那么一次就能支付成功的概率為；
故答案為.
16．答案：/
解析：設(shè)碳原子的數(shù)目為n(n為正整數(shù))時(shí),氫原子的數(shù)目為,
由表可知：碳原子的數(shù)目為1、2、3……n,
當(dāng)時(shí),,
時(shí),,
時(shí),,
……
∴,
∴含n個(gè)碳原子數(shù)的“烷烴”的分子式為.
故答案為：.
17．答案：
解析：∵點(diǎn)D是的中點(diǎn),且點(diǎn),
∴點(diǎn),即,
∴,
∴反比例函數(shù)解析式為,
∵軸,
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為8,
∴,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
故答案為.
18．答案：
解析：如圖,
∵四邊形,是正方形,
∴,
∴O,M,C,N四點(diǎn)共圓,
∵是正方形的對角線,
∴
∴
∵
∴
∴
∵正方形的邊長為6,
∴
∵是的中點(diǎn),
∴,
設(shè),過點(diǎn)P作于點(diǎn)T,
∴,
過點(diǎn)O作于點(diǎn)R,則
∵
∴,
∴
∴,即
又
∴,
解得,,
∴
在上取一點(diǎn)Q,使,
∴
∴,
∴
∴,
解得,,
∴
∴
故答案為：.
19．答案：(1)5
(2)
解析：(1)原式
；
(2)原式
.
20．答案：證明見解析
解析：證明：∵,
∴,
∵,
∴,
在與中,
,
∴.
21．答案：(1)補(bǔ)貼前學(xué)校購買一臺電腦所需資金為4800元,一臺空調(diào)所需資金為2600元
(2)一共能獲得2130元的國家補(bǔ)貼
解析：(1)設(shè)補(bǔ)貼前學(xué)校購買一臺電腦所需資金為x元,一臺空調(diào)所需資金為y元,由題意得：
,
解得：；
答：補(bǔ)貼前學(xué)校購買一臺電腦所需資金為4800元,一臺空調(diào)所需資金為2600元.
(2)由題意及(1)可得：(元),(元),
∴電腦以舊換新每臺價(jià)格為450元,空調(diào)以舊換新每臺價(jià)格為260元,
∴(元)；
答：一共能獲得2130元的國家補(bǔ)貼.
22．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)∵,
∴,
∵,
∴；
故答案為；
(2)過點(diǎn)C作于點(diǎn)F,如圖所示：
由(1)可知：,,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴；
(3)過點(diǎn)A作于點(diǎn)G,如圖所示：
由(2)可得：,,
∴,
∴,
∴.
23．答案：(1)與相切,理由見解析
(2)
解析：(1)與相切,
理由如下：
∵是的外接圓,,,
∴是直徑,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴
即,
∴與相切
(2)在中,,
∵
∴,
∴,
∴
連接,,作于點(diǎn)H,則
∵,
∴
∴
∴,
∴
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴垂直平分,
∵
∴O在的垂直平分線上,
∴D、H、O三點(diǎn)共線,
∴
∴.
24．答案：(1)證明見解析
(2)
(3)
解析：(1)證明：由折疊可知：,,
∵點(diǎn)E,F分別是的邊,的中點(diǎn),
∴,,
∴,,
∴與均為等腰三角形,
∴折痕是的雙等腰折痕；
(2)∵是的雙等腰折痕,
∴與均為等腰三角形,
∵點(diǎn)E為的中點(diǎn),且,
∴,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
由折疊可知：,
∴點(diǎn)F是的中點(diǎn),
∴,,
∴,
∵,,
∴由勾股定理可得,
∴,
過點(diǎn)E作于點(diǎn)M,如圖所示：
∴,,,
∴,
∴,
∴,
∴；
(3)由折疊可知：,,
∵,
∴,
∴四邊形是菱形,
連接,交于點(diǎn)H,過點(diǎn)F作于點(diǎn)N,如果所示：
∴,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵是的雙等腰折痕,
∴與均為等腰三角形,
∵是的頂角,
∴,
∵在菱形中,,
∴,
∴,
∴,,
過點(diǎn)D作于點(diǎn)R,
∴,
∴,
∴.
25．答案：(1)
(2)
(3)存在拋物線,使得,理由見解析
解析：(1)當(dāng),,拋物線解析式為,
令,則,
整理得,
,,
點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),
,.
(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)F交于點(diǎn)E,如圖所示,
當(dāng),,
,
,,
,
軸,,
,
四邊形為矩形,
,,
,
,即
將代入,即,
整理得,
解得,(舍去),
.
(3)存在,理由如下,
,即,
拋物線,即為,
設(shè),,則,為方程的兩個(gè)根,
,,
,
,
令,得,即,
,,
頂點(diǎn),
,
,,
,
,
整理得,
解得,(舍去)
,,
故存在拋物線,使得.
物質(zhì)
甲烷
乙烷
丙烷
丁烷
戊烷
己烷
···
化學(xué)式
…
實(shí)踐主題
數(shù)學(xué)來源于生活,數(shù)學(xué)服務(wù)于生活
實(shí)踐目標(biāo)
運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行實(shí)地測量,深入探究數(shù)學(xué)知識
工具準(zhǔn)備
測角儀、測距儀、作圖工具等
測量方案
【實(shí)踐場地】
學(xué)校有一塊三角形池塘,兩邊,緊靠圍墻,為一條筆直小路,無法直接確定池塘的邊長,
【實(shí)踐過程】
①用測角儀測量圍墻與小路所成夾角,；
②用測距儀測量小路的長
【數(shù)據(jù)收集】
,,
提出問題
(1)兩面圍墻的夾角的度數(shù)為；
(2)三角形池塘的面積為多少?
深入探討
(3)如何利用測量數(shù)據(jù)求出的值?

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