1．（4分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）地球是人與自然共同生存的家園，在這個(gè)家園中，還住著許多常常被人們忽略的微小生命．在冰島海岸的黃鐵礦粘液池中的古菌身上，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了基因片段，并提取出了最小的生命體，它的直徑僅為0.000 000 2米．將數(shù)字0.000 000 2用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2×10﹣7B．2×10﹣8C．2×10﹣9D．20×10﹣8
3．（4分）如果a＝（﹣2024）0，b＝（﹣2022）﹣1，c＝（﹣2）2024．則a，b，c三數(shù)的大小關(guān)系是（ ）
A．c＞a＞bB．a(chǎn)＞b＞cC．a(chǎn)＞c＞bD．c＞b＞a
4．（4分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（3xy）2＝9x2y2B．（y3）2＝y(tǒng)5
C．x2?x2＝2x2D．x6÷x2＝x3
5．（4分）某班體育委員統(tǒng)計(jì)了全班45名同學(xué)一周的體育鍛煉時(shí)間，并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則在體育鍛煉時(shí)間這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．18，18B．9，9C．9，10D．18，9
6．（4分）如圖，直線a∥b，直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
7．（4分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠ABD＝62°，則∠BCD＝（ ）
A．31°B．56°C．28°D．52°
8．（4分）某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36B．2（1+x）＝36
C．1+x+x（1+x）＝36D．1+x+x2＝36
9．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．直線PQ是AC的垂直平分線
B．CD＝AB
C．DE＝BC
D．S△ADE：S四邊形DBCE＝1：4
10．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．m＞2
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11．（4分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 ．
12．（4分）有五張看上去無(wú)差別的卡片，正面分別寫(xiě)著，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后隨機(jī)抽取一張，取出的卡片正面的數(shù)字是無(wú)理數(shù)的概率是 ．
13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為 ．
14．（4分）如圖1，筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水筒的運(yùn)行軌跡是以O(shè)為圓心的一個(gè)圓，可簡(jiǎn)化為圖2．若⊙O被水面所截的弦長(zhǎng)AB＝8米，⊙O的半徑為5米，則筒車最低點(diǎn)距水面 米．
15．（4分）兩個(gè)函數(shù)y＝ax+b和y＝（abc≠0）的圖象如圖所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式ax+b＞的解集 ．
16．（4分）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為 ．
三、解答題：本題共9小題，共86分。
17．（8分）計(jì)算：．
18．（8分）如圖，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求證：∠1＝∠2．
19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
20．（8分）首屆楚文化節(jié)在荊州舉辦前，主辦方為使參與服務(wù)的志愿者隊(duì)伍整齊，隨機(jī)抽取了部分志愿者，對(duì)其身高進(jìn)行調(diào)查，將身高（單位：cm）數(shù)據(jù)分A，B，C，D，E五組制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）．
根據(jù)以上信息回答：
（1）這次被調(diào)查身高的志愿者有 人，表中的m＝ ，扇形統(tǒng)計(jì)圖中α的度數(shù)是 ；
（2）若E組的4人中，男女各有2人，以抽簽方式從中隨機(jī)抽取兩人擔(dān)任組長(zhǎng)．請(qǐng)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖，求剛好抽中兩名女志愿者的概率．
21．（8分）在我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日清明節(jié)期間，學(xué)校將組織200名師生去革命烈士陵園掃墓．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀如圖對(duì)話，解決實(shí)際問(wèn)題．
根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，求每輛甲、乙種客車各有多少個(gè)座位．
22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠DCE＝∠DBC；
（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半徑．
23．（10分）在課題學(xué)習(xí)《如何設(shè)計(jì)遮陽(yáng)棚》中，計(jì)劃在移門(mén)上方安裝一個(gè)可伸縮的遮陽(yáng)棚（如圖1），其中AC為移門(mén)的高度，B為遮陽(yáng)棚固定點(diǎn)，BD為遮陽(yáng)棚的寬度（可變動(dòng)）AB＝50cm，AC＝210cm，∠CBD＝80°．
小丁所在小組負(fù)責(zé)探究“移門(mén)在正午完全透光時(shí)太陽(yáng)高度角與遮陽(yáng)棚寬度的關(guān)系”，查閱得到如下信息：太陽(yáng)高度角是指太陽(yáng)光線與地平面的夾角；該地區(qū)冬至日正午的太陽(yáng)高度角a最?。s35°）；夏至日正午的太陽(yáng)高度角a最大（約80°）．請(qǐng)你協(xié)助該小組，完成以下任務(wù)：
【任務(wù)1】如圖2，在冬至日正午時(shí)要使太陽(yáng)光完全透過(guò)移門(mén)，BD應(yīng)該不超過(guò)多少長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1cm）．
【任務(wù)2】如圖3，有一小桌子在移門(mén)的正前方，桌子最外端E到移門(mén)的距離為180cm，桌子高度MN＝80cm．若要求在夏至日正午時(shí)太陽(yáng)光恰好照射不到桌面，則BD應(yīng)該多長(zhǎng)？（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18，）．
24．（12分）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：如圖1，正方形紙片ABCD和EFGB有公共頂點(diǎn)B，其中，BE＝4，將正方形EBGF繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α．
觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖2，當(dāng)α＜90° 時(shí)，連接AE，CG，小組成員發(fā)現(xiàn)AE與CG存在一定的關(guān)系，其數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ．
探索研究：（2）當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出此時(shí)DE的長(zhǎng)度．
拓展延伸：（3）猜想圖3中CF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明．
25．（14分）拋物線y＝﹣ax2+3ax+4a（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，CD平行于x軸交拋物線于另一點(diǎn)D，點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MD，過(guò)點(diǎn)M作MK⊥MD交y于點(diǎn)K（點(diǎn)K在線段OC上，不與點(diǎn)O重合），
（1）求A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)（D點(diǎn)坐標(biāo)用含a的式子表示）．
（2）若點(diǎn)K的坐標(biāo)為，則線段OB存在唯一一點(diǎn)M，
①求拋物線的解析式
②如圖2，連接BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，連接CP，是否存在點(diǎn)P使△PCQ中某個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案與試題解析
一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。
1．（4分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、C、D不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B是中心對(duì)稱圖形，符合題意．
故選：B．
2．（4分）地球是人與自然共同生存的家園，在這個(gè)家園中，還住著許多常常被人們忽略的微小生命．在冰島海岸的黃鐵礦粘液池中的古菌身上，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了基因片段，并提取出了最小的生命體，它的直徑僅為0.000 000 2米．將數(shù)字0.000 000 2用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2×10﹣7B．2×10﹣8C．2×10﹣9D．20×10﹣8
【解答】解：0.0000002＝2×10﹣7．
故選：A．
3．（4分）如果a＝（﹣2024）0，b＝（﹣2022）﹣1，c＝（﹣2）2024．則a，b，c三數(shù)的大小關(guān)系是（ ）
A．c＞a＞bB．a(chǎn)＞b＞cC．a(chǎn)＞c＞bD．c＞b＞a
【解答】解：∵a＝（﹣2024）0＝1，，c＝（﹣2）2024＝22022，
且，
∴c＞a＞b．
故選：A．
4．（4分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（3xy）2＝9x2y2B．（y3）2＝y(tǒng)5
C．x2?x2＝2x2D．x6÷x2＝x3
【解答】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此選項(xiàng)符合題意；
B．（y3）2＝y(tǒng)6，故此選項(xiàng)不合題意；
C．x2?x2＝x4，故此選項(xiàng)不合題意；
D．x6÷x2＝x4，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
5．（4分）某班體育委員統(tǒng)計(jì)了全班45名同學(xué)一周的體育鍛煉時(shí)間，并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則在體育鍛煉時(shí)間這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．18，18B．9，9C．9，10D．18，9
【解答】解：由圖可知，鍛煉9小時(shí)的有18人，所以9在這組數(shù)中出現(xiàn)18次為最多，所以眾數(shù)是9．
把數(shù)據(jù)從小到大排列，中位數(shù)是第23位數(shù)，第23位是9，所以中位數(shù)是9．
故選：B．
6．（4分）如圖，直線a∥b，直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【解答】解：如圖：
∵∠ACB＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠ACB＝55°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠2＝55°，
故選：B．
7．（4分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠ABD＝62°，則∠BCD＝（ ）
A．31°B．56°C．28°D．52°
【解答】解：如圖，連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝62°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠BCD＝∠BAD＝28°，
故選：C．
8．（4分）某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36B．2（1+x）＝36
C．1+x+x（1+x）＝36D．1+x+x2＝36
【解答】解：由題意得：1+x+x（1+x）＝36，
故選：C．
9．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．直線PQ是AC的垂直平分線
B．CD＝AB
C．DE＝BC
D．S△ADE：S四邊形DBCE＝1：4
【解答】解：由作圖可知PQ垂直平分線段AC，故選項(xiàng)A正確，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∴∠A＝∠DCA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠B＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∴AD＝DB，
∴CD＝AB，故選項(xiàng)B正確，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，故選項(xiàng)C正確，
據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到DE∥BC，
進(jìn)而證明△ADE∽△ABC，
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到面積比S△ADE：S△ABC＝1：4；
故選：D．
10．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．m＞2
【解答】解：∵a＜0，
∴y＝﹣3a＞0，
∵A（m，y1）和B（2m，y2）兩點(diǎn)都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，
∴4am2﹣8am＞﹣3a，
∴4m2﹣8m+3＜0，
∴＜m＜①，
∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點(diǎn)．
∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，
∴3am2＜4am，
∵a＜0，m＞0，
∴am＜0，
∴m＞②，
由①②得＜m＜．
故選：C．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11．（4分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 x≠3 ．
【解答】解：由題意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案為：x≠3．
12．（4分）有五張看上去無(wú)差別的卡片，正面分別寫(xiě)著，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后隨機(jī)抽取一張，取出的卡片正面的數(shù)字是無(wú)理數(shù)的概率是 ．
【解答】解：背面朝上混合后隨機(jī)抽取一張有5種等可能結(jié)果，其中取出的卡片正面的數(shù)字是無(wú)理數(shù)的有1種結(jié)果，
所以取出的卡片正面的數(shù)字是無(wú)理數(shù)的概率是，
故答案為：．
13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為 4 ．
【解答】解：Δ＝16﹣4m＝0，
∴m＝4．
故答案為：4．
14．（4分）如圖1，筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水筒的運(yùn)行軌跡是以O(shè)為圓心的一個(gè)圓，可簡(jiǎn)化為圖2．若⊙O被水面所截的弦長(zhǎng)AB＝8米，⊙O的半徑為5米，則筒車最低點(diǎn)距水面 2 米．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，并延長(zhǎng)OC與⊙O相交于點(diǎn)D，連接OA，
∴點(diǎn)D為筒車最低點(diǎn)，筒車最低點(diǎn)距水面的距離為CD的長(zhǎng)，
∵AB＝8米，OC⊥AB，
∴（米），
又∵⊙O的半徑為5米，即OA＝5米，
∴（米），
又∵OD＝5米，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（米），
∴筒車最低點(diǎn)距水面2米．
故答案為：2．
15．（4分）兩個(gè)函數(shù)y＝ax+b和y＝（abc≠0）的圖象如圖所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式ax+b＞的解集 ﹣3＜x＜0或x＞1 ．
【解答】解：當(dāng)﹣3＜x＜0或x＞1時(shí)，ax+b＞，
所以關(guān)于x的不等式ax+b＞的解集為﹣3＜x＜0或x＞1．
故答案為﹣3＜x＜0或x＞1．
16．（4分）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為 ．
【解答】解：在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)N（﹣3，0），連接NC，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)（3，0），點(diǎn)N坐標(biāo)（﹣3，0），
∴點(diǎn)O為NA中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，
∴OM是△ANC的中位線，
∴OM＝．
∵BC＝2，
∴點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上．
當(dāng)點(diǎn)C在NB延長(zhǎng)線與⊙B的交點(diǎn)處時(shí)，NC取得最大值，
在Rt△BNO中，
NB＝，
∴NC的最大值為，
∴OM的最大值為．
故答案為：．
三、解答題：本題共9小題，共86分。
17．（8分）計(jì)算：．
【解答】解：原式＝
＝﹣1+﹣1﹣1
＝﹣3．
18．（8分）如圖，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求證：∠1＝∠2．
【解答】證明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠1＝∠2．
19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【解答】解：
＝
＝
＝，
當(dāng)時(shí)，原式＝．
20．（8分）首屆楚文化節(jié)在荊州舉辦前，主辦方為使參與服務(wù)的志愿者隊(duì)伍整齊，隨機(jī)抽取了部分志愿者，對(duì)其身高進(jìn)行調(diào)查，將身高（單位：cm）數(shù)據(jù)分A，B，C，D，E五組制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）．
根據(jù)以上信息回答：
（1）這次被調(diào)查身高的志愿者有 20 人，表中的m＝ 6 ，扇形統(tǒng)計(jì)圖中α的度數(shù)是 54° ；
（2）若E組的4人中，男女各有2人，以抽簽方式從中隨機(jī)抽取兩人擔(dān)任組長(zhǎng)．請(qǐng)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖，求剛好抽中兩名女志愿者的概率．
【解答】解：（1）由題意得，×100%＝30%，
解得m＝6，
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝6是原方程的解且符合題意，
∴這次被調(diào)查身高的志愿者有3+2+6+5+4＝20（人）．
扇形統(tǒng)計(jì)圖中α的度數(shù)是360°×＝54°．
故答案為：20；6；54°．
（2）列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中兩名女志愿者的結(jié)果有2種，
∴剛好抽中兩名女志愿者的概率為＝．
21．（8分）在我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日清明節(jié)期間，學(xué)校將組織200名師生去革命烈士陵園掃墓．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀如圖對(duì)話，解決實(shí)際問(wèn)題．
根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，求每輛甲、乙種客車各有多少個(gè)座位．
【解答】解：設(shè)甲種客車每輛有x個(gè)座位，則乙種客車每輛有 （x+5）個(gè)座位，可得：，
解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝50是原方程的解，且符合題意；
∴x+5＝55，
答：甲、乙兩種客車每輛各有50、55個(gè)座位．
22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠DCE＝∠DBC；
（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC＝90°．
∵CE為⊙O的切線，
∴CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°．
∵∠DCE+∠BCD＝90°，∠DBC+∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝∠DBC；
（2）解：∵∠ABC+∠BCE＝90°+90°＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABC中，tanA＝＝，
在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝，
即＝，
∴BC2＝2×3＝6，
∴BC＝，
∴⊙O的半徑為．
23．（10分）在課題學(xué)習(xí)《如何設(shè)計(jì)遮陽(yáng)棚》中，計(jì)劃在移門(mén)上方安裝一個(gè)可伸縮的遮陽(yáng)棚（如圖1），其中AC為移門(mén)的高度，B為遮陽(yáng)棚固定點(diǎn)，BD為遮陽(yáng)棚的寬度（可變動(dòng)）AB＝50cm，AC＝210cm，∠CBD＝80°．
小丁所在小組負(fù)責(zé)探究“移門(mén)在正午完全透光時(shí)太陽(yáng)高度角與遮陽(yáng)棚寬度的關(guān)系”，查閱得到如下信息：太陽(yáng)高度角是指太陽(yáng)光線與地平面的夾角；該地區(qū)冬至日正午的太陽(yáng)高度角a最?。s35°）；夏至日正午的太陽(yáng)高度角a最大（約80°）．請(qǐng)你協(xié)助該小組，完成以下任務(wù)：
【任務(wù)1】如圖2，在冬至日正午時(shí)要使太陽(yáng)光完全透過(guò)移門(mén)，BD應(yīng)該不超過(guò)多少長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1cm）．
【任務(wù)2】如圖3，有一小桌子在移門(mén)的正前方，桌子最外端E到移門(mén)的距離為180cm，桌子高度MN＝80cm．若要求在夏至日正午時(shí)太陽(yáng)光恰好照射不到桌面，則BD應(yīng)該多長(zhǎng)？（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18，）．
【解答】解：任務(wù)1：在冬至日正午時(shí)要使太陽(yáng)光完全透過(guò)移門(mén)，α＝35°，設(shè)BD＝x，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，如圖，
∵∠CBD＝80°，
∴∠EBD＝10°，
在Rt△BED中，，，
∴BE＝0.17x，DE＝0.98x，
又∵α＝35°，
∴∠DAE＝55°，
在Rt△AED中，，
∴，
又∵AB＝50cm，
∴，解得x≈58.5，
答：BD應(yīng)該不超過(guò)58.5cm；
任務(wù)2：如圖，作EF⊥BC于點(diǎn)F，連接BE，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，設(shè)BD＝a cm，
則EF＝180cm，F(xiàn)C＝MN＝80cm，BF＝210+50﹣80＝180cm＝EF，
∴△BEF是等腰直角三角形，則∠FBE＝∠FEB＝45°，，
∵∠FEH＝α＝80°，則∠FED＝100°，
∴∠BDE＝360°﹣100°﹣90°﹣80°＝90°，∠DEG＝100°﹣45°＝55°，∠DBG＝80°﹣45°＝35°，∠BDG＝90°﹣35°＝55°，
在Rt△BGD中，，，
∴BG＝0.82a，DG＝0.57a，
在Rt△EDG中，，
∴GE＝，
又∵，
∴0.82a+＝180，
解得a≈208，
答：BD長(zhǎng)約為208cm．
24．（12分）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：如圖1，正方形紙片ABCD和EFGB有公共頂點(diǎn)B，其中，BE＝4，將正方形EBGF繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α．
觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖2，當(dāng)α＜90° 時(shí)，連接AE，CG，小組成員發(fā)現(xiàn)AE與CG存在一定的關(guān)系，其數(shù)量關(guān)系是 AE＝CG ，位置關(guān)系是 AE⊥CG ．
探索研究：（2）當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出此時(shí)DE的長(zhǎng)度．
拓展延伸：（3）猜想圖3中CF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明．
【解答】解：（1）如圖1，
延長(zhǎng)AE，交CG于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)O，
在正方形紙片ABCD和EFGB中，
∠ABC＝∠EBG＝90°，AB＝CB，BE＝BG，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠EBG﹣∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBG，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，∠BAE＝∠BCG，
∴∠ABE+∠AOB＝∠BCG+∠AOB＝90°，
∵∠COH＝∠AOB，
∴∠BCG+∠COH＝90°，
∴∠CHA＝90°，
∴AE⊥CG，
故答案為：AE＝CG，AE⊥CG；
（2）如圖2，
當(dāng)點(diǎn)E在AF上時(shí)，
∵四邊形EFGB是正方形，
∴∠FEB＝90°，
∴∠AEB＝90°，
作EM⊥AB于M，作EN⊥AD于N，
∴∠AME＝∠BEM＝∠ANE＝∠AFB＝90°，
∴四邊形AMEN是矩形，
∵cs∠ABE＝，
∴，
∴BM＝，
∴EM＝＝，
∴AM＝AB﹣BM＝4，
AN＝EM＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4＝，
∴DE＝＝4，
如圖3，
當(dāng)E在AF的延長(zhǎng)線上時(shí)，
由上知：EM＝，EN＝，
∴DN＝AD+AN＝4+＝，
∴DE＝＝4，
綜上所述：DE＝4或4；
（3）如圖2和圖3中，
AE＝，
由（1）得CG＝AE＝8，
∴圖2中，CF＝FG，
圖3中，CF＝3FG，
綜上所述：CF＝FG或CF＝3FG．
25．（14分）拋物線y＝﹣ax2+3ax+4a（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，CD平行于x軸交拋物線于另一點(diǎn)D，點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MD，過(guò)點(diǎn)M作MK⊥MD交y于點(diǎn)K（點(diǎn)K在線段OC上，不與點(diǎn)O重合），
（1）求A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)（D點(diǎn)坐標(biāo)用含a的式子表示）．
（2）若點(diǎn)K的坐標(biāo)為，則線段OB存在唯一一點(diǎn)M，
①求拋物線的解析式
②如圖2，連接BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，連接CP，是否存在點(diǎn)P使△PCQ中某個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4a，
∴C（0，4a），
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣ax2+3ax+4a＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
又
∵CD∥y軸，
∴，
解得，x1＝3，x2＝0，
∴D（3，4a）；
（2）①∵點(diǎn)是線段OB存在唯一一點(diǎn)M，
如圖2，過(guò)D作DE⊥x軸于E，
設(shè)OM＝m，則EM＝3﹣m，
∵∠OKM＝∠DME，∠KOM＝∠MED＝90°，
∴△KOM∽△MED，
∴，
∴，
∴2m2﹣6m+9a＝0，
∵只有一個(gè)K點(diǎn)，所以方程只有一個(gè)解，
∴Δ＝36﹣4×2×9a＝0，
∴，
∴，
②（i）當(dāng)∠PCB＝2∠ABC時(shí)，延長(zhǎng)PC交x軸于F，如圖3，
∵CD∥AB，
∴∠PCD＝∠PFB，∠DCB＝∠CBF，
∵∠PCB＝2∠ABC，∠PCD＝∠DCB，
∴∠PFB＝∠CBA，
∴CB＝CF，
∴F（﹣4，0），
∵C（0，2），
設(shè)FC的解析式為：y＝kx+b，
則，
解得：，
∴FC的解析式為：，
聯(lián)立，
解得：x1＝0（舍），x2＝2，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2；
（ii）當(dāng)∠CPQ＝2∠ABC時(shí)，如圖4，作CF＝FB，
設(shè)OF＝n，
∴n2+22＝（4﹣n）2，
解得，，
∵CF＝FB，
∴∠CBF＝∠BCF，
∴∠CFO＝2∠CBO，
∴∠CFO＝∠CPQ，
∵∠COF＝∠CQP＝90°，
∴△COF∽△CQP，
∴，即，
過(guò)Q作x軸的平行線交y軸于G，同時(shí)過(guò)P作PH⊥GH于H，
∵∠CGQ＝∠QHP＝90°，∠GCQ＝∠PQH，
∴△CGQ∽△QHP，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
∴，
代入拋物線的解析式中得：，
解得：x1＝0（舍），，
∴P的橫坐標(biāo)為，
綜上，存在兩個(gè)點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2或．組別
身高分組
人數(shù)
A
155≤x＜160
3
B
160≤x＜165
2
C
165≤x＜170
m
D
170≤x＜175
5
E
175≤x＜180
4
組別
身高分組
人數(shù)
A
155≤x＜160
3
B
160≤x＜165
2
C
165≤x＜170
m
D
170≤x＜175
5
E
175≤x＜180
4
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）

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