1. 復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知集合， ，則=（ ）
A. B. C. D.
3. 已知雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，其上焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為3，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
4. 的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為540，則的值為（ ）
A. B. C. D.
5. 若函數(shù)，且的圖象所過(guò)定點(diǎn)恰好在橢圓上，則的最小值為（ ）
A. 6B. 12C. 16D. 18
6. 已知函數(shù)（）在有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
7. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)x可能為（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
8. 函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
二、多選題
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是
B. 數(shù)據(jù)36，28，22，24，22，78，32，26，20，22的第80百分位數(shù)為34
C. 隨機(jī)變量，若，則
D. 已知隨機(jī)變量，若，則
10. 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（ ）
A. 平面平面
B. 三棱錐的體積為定值
C. 異面直線與所成角的取值范圍是
D. 當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為
11. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是上兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)的坐標(biāo)為
B. 若，則的中點(diǎn)到軸距離的最小值為8
C. 若直線過(guò)點(diǎn)，則以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)
D. 若直線與的斜率之積為，則直線過(guò)點(diǎn)
三、填空題
12. 已知點(diǎn)、是圓上的兩點(diǎn)，且，則_________．
13. 一個(gè)不透明的袋子裝有5個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，4．現(xiàn)甲從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下所標(biāo)數(shù)字后放回，乙再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球記下所標(biāo)數(shù)字，若摸出的球上所標(biāo)數(shù)字大即獲勝（若所標(biāo)數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號(hào)球的概率為_________．
14. 已知函數(shù)的零點(diǎn)為，則______．
四、解答題
15. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求角；
（2）若，點(diǎn)為重心，且，求的面積．
16. 如圖，在直三棱柱中，分別為 的中點(diǎn)
（1）求證： ∥平面；
（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
17. 某商場(chǎng)推出“云閃付”購(gòu)物活動(dòng)，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引了越來(lái)越多的顧客使用這種支付方式.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每天使用“云閃付”支付的人數(shù)，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用該支付方式的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，支付的人數(shù)關(guān)于天數(shù)的回歸方程適合用表示.
（1）求該回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用“云閃付”的人數(shù)；（的結(jié)果精確到0.01）
（2）推廣期結(jié)束后，商場(chǎng)對(duì)顧客支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：
商場(chǎng)規(guī)定：使用會(huì)員卡支付顧客享8折，“云閃付”的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，其它支付方式的顧客無(wú)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用“云閃付”的顧客，享7折的概率為，享8折的概率為，享9折的概率為.設(shè)顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)為元的商品支付的費(fèi)用為，根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率，寫出的分布列，并求.
參考數(shù)據(jù)：設(shè).
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.
18. 已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為和，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)．在軸上存在一點(diǎn)（異于），使得．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作一條垂直于軸的直線，在上任取一點(diǎn)，直線和直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
19 設(shè)，.
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）證明：.1
2
3
4
5
6
7
6
13
25
40
73
110
201
支付方式
云閃付
會(huì)員卡
其它支付方式
比例
2024屆江西省宜豐中學(xué)模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷
一、單選題（40分）
1. 復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)除法化復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)概念可得．
【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念．屬于簡(jiǎn)單題．
2. 已知集合， ，則=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化簡(jiǎn)集合，，再求交集即可．
【詳解】＝＝，
，
故＝，
故選：D
【點(diǎn)睛】本小題主要考查交集的概念和運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.
3. 已知雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，其上焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為3，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為，由題意可得，可求，由已知可求，可求漸近線方程.
【詳解】設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為，
雙曲線的漸近線方程為，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，
又雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，所以，
所以雙曲線漸近線方程為，即.
故選：B.
4. 的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為540，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可得，求得，再根據(jù)余弦的二倍角公式，結(jié)合齊次弦化切即可求解.
【詳解】因?yàn)榈恼归_式中第四項(xiàng)為，
所以，解得，
所以.
故選：C
5. 若函數(shù)，且的圖象所過(guò)定點(diǎn)恰好在橢圓上，則的最小值為（ ）
A. 6B. 12C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)在橢圓上，將定點(diǎn)代入橢圓方程，得到m與n的等量關(guān)系，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】由題意得，函數(shù)，且的圖象所過(guò)定點(diǎn)為，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故選：C.
6. 已知函數(shù)（）在有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，，依題意有，解出即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)楹瘮?shù)（）在有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，
解得，
故選：B.
7. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)x可能為（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由與的關(guān)系且為等差數(shù)列，求出，由，得，構(gòu)造函數(shù)，由在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，時(shí)，，
時(shí)，，
所以，，，
因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，
從而，，
所以，即，
則當(dāng)時(shí)，恒成立，
，解得或，
只有選項(xiàng)A符合題意，
故選：A
8. 函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求導(dǎo)，求得的單調(diào)區(qū)間，作出的圖象，分類討論求得的解集，結(jié)合圖象可得的取值范圍為.
【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，令，解得，令，解得，又時(shí)，，
所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和，
作出圖象如圖所示：
當(dāng)時(shí)，由，可得，
由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
又， ，，
由的遞增區(qū)間為，所以，
所以要使有三個(gè)整數(shù)解，則，
所以關(guān)于的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，
則的取值范圍為.
故選：A.
二、多選題
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是
B. 數(shù)據(jù)36，28，22，24，22，78，32，26，20，22的第80百分位數(shù)為34
C. 隨機(jī)變量，若，則
D. 已知隨機(jī)變量，若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】由古典概型的概率計(jì)算公式即可判斷A，由百分位數(shù)的計(jì)算公式即可判斷B，由正態(tài)曲線的性質(zhì)即可判斷C，由二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式以及方差的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，
且，所以第80百分位數(shù)為，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為，
又，則，
所以，故C正確；
對(duì)于D，因隨機(jī)變量，則，
又，則，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
10. 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（ ）
A. 平面平面
B. 三棱錐的體積為定值
C. 異面直線與所成角的取值范圍是
D. 當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接利用正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式, 異面直線的夾角和外接球的表面積公式逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于，由正方體的性質(zhì)，在、上的射影分別為、，
而，，則，，，
又平面ACD1
所以面，平面，所以平面平面，故正確；
對(duì)于，因?yàn)椋矫妫?br>所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積不變，
所以三棱錐的體積為定值，故正確；
對(duì)于，因?yàn)椋?br>所以異面直線與所成的角就是直線與所成的角，
因?yàn)槭堑冗吶切危?br>當(dāng)與線段的兩個(gè)端點(diǎn)重合時(shí)，直線與所成的角最小為，
當(dāng)與線段的中點(diǎn)重合時(shí)，直線與所成的角最大為，
所以所求角的范圍是，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，該正四面體的外接球即為正方體外接球，，
故所求球的表面積為，故正確.
故選：.
11. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是上兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)的坐標(biāo)為
B. 若，則的中點(diǎn)到軸距離的最小值為8
C. 若直線過(guò)點(diǎn)，則以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)
D. 若直線與的斜率之積為，則直線過(guò)點(diǎn)
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線求得焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷A，設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，求出中點(diǎn)坐標(biāo)得中點(diǎn)到軸距離，求得最小值后判斷B，計(jì)算的長(zhǎng)和中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，比較后判斷C，由斜率之積求出為常數(shù)，可得直線過(guò)定點(diǎn)判斷D．
【詳解】A．拋物線準(zhǔn)線方程是，，，則焦點(diǎn)為，A正確；
B．顯然斜率存在，設(shè)直線方程為，，
由得，，，
，所以，化簡(jiǎn)得，
線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為為中點(diǎn)到軸的距離，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因此B中結(jié)論最小值為8是錯(cuò)誤的．B錯(cuò)；
C．設(shè)方程為（），由上述討論知，
又中點(diǎn)為，即中點(diǎn)為，中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，所以以為直徑的圓不過(guò)點(diǎn)，C錯(cuò)；
D．，則，由上得，，
方程為，必過(guò)點(diǎn)，D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的方程，考查直線與拋物線相交，解題方法是設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，設(shè)直線方程為，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組且消元，應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后把這個(gè)結(jié)論代入各個(gè)條件求解．
三、填空題
12. 已知點(diǎn)、是圓上的兩點(diǎn)，且，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，即可得解.
【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接，則，則，
.
故答案為：.
13. 一個(gè)不透明的袋子裝有5個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，4．現(xiàn)甲從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下所標(biāo)數(shù)字后放回，乙再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球記下所標(biāo)數(shù)字，若摸出的球上所標(biāo)數(shù)字大即獲勝（若所標(biāo)數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號(hào)球的概率為_________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)事件“甲獲勝”為事件，事件“乙摸到2號(hào)球”為事件，由古典概率公式求出，再由條件概率求解即可.
【詳解】設(shè)事件“甲獲勝”為事件，事件“乙摸到2號(hào)球”為事件，
則，，
所以，
故答案為：．
14. 已知函數(shù)的零點(diǎn)為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先零點(diǎn)代入函數(shù)解析式得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得，再根據(jù)的單調(diào)性計(jì)算即可.
【詳解】為函數(shù)零點(diǎn)，
．
令，
顯然時(shí)，，時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
令，，
顯然時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
則，所以.
故答案：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先將零點(diǎn)代入函數(shù)解析式通過(guò)同型構(gòu)造得，之后判定函數(shù)的單調(diào)性得出，再根據(jù)的單調(diào)性計(jì)算即可.
四、解答題
15. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求角；
（2）若，點(diǎn)為的重心，且，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解;（2）根據(jù)重心的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得，由面積公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，由正弦定理可得?br>整理得，由余弦定理可得．
又因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，
又因?yàn)?，所以?br>在中，由和，可得．
在和中，有，
由余弦定理可得
故，所以，
所以的面積為．
16. 如圖，在直三棱柱中，分別為 的中點(diǎn)
（1）求證： ∥平面；
（2）若，求平面與平面所成銳二面角余弦值.
【答案】(1)見證明；(2)
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)E，連接EM，EN，可得四邊形EMCN為平行四邊形，得到CM∥NE．再由直線與平面平行的判定可得平面；（2）由已知證明平面，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，由平面的法向量與所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)E，連接EM，EN，
在△中，E，M分別是，AB的中點(diǎn)，則EM∥，且，
又N為的中點(diǎn)，∥，
∴ ∥，，
從而有EM∥NC且EM=NC，
∴四邊形EMCN為平行四邊形，則CM∥NE．
又∵CM?平面，NE?平面，
∴CM∥平面；
（2）∵AC=BC，M為AB的中點(diǎn)，∴CM⊥AB，
直三棱柱中，由 ⊥平面ABC，得⊥ ，
又∵AB∩= ，∴⊥平面，從而
又∵，，∴⊥平面，
從而有，
∵，∴．
由（1）知 ∥，∴⊥平面ABC．
以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系M-，
則，C（0，2，0），N（0，2，）．
∴．
設(shè)平面AN的法向量為=（），
則，取 ，則=（1，0，-2），
平面的法向量為，
∴，
∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．
17. 某商場(chǎng)推出“云閃付”購(gòu)物活動(dòng)，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引了越來(lái)越多的顧客使用這種支付方式.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每天使用“云閃付”支付的人數(shù)，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用該支付方式的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，支付的人數(shù)關(guān)于天數(shù)的回歸方程適合用表示.
（1）求該回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用“云閃付”的人數(shù)；（的結(jié)果精確到0.01）
（2）推廣期結(jié)束后，商場(chǎng)對(duì)顧客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：
商場(chǎng)規(guī)定：使用會(huì)員卡支付的顧客享8折，“云閃付”的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，其它支付方式的顧客無(wú)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用“云閃付”的顧客，享7折的概率為，享8折的概率為，享9折的概率為.設(shè)顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)為元的商品支付的費(fèi)用為，根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率，寫出的分布列，并求.
參考數(shù)據(jù)：設(shè).
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.
【答案】（1），355人；
（2）分布列見解析，.
【解析】
【分析】（1）由兩邊取常用對(duì)數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為線性歸回直線方程并結(jié)合公式進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)概率的乘法公式進(jìn)行求解列出分布列，根據(jù)期望公式計(jì)算結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由，得，設(shè)，，，則.
，
.
把樣本中心點(diǎn)代入方程得，
所以，即，
其回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，.
【小問(wèn)2詳解】
的可能取值為：.
分布列如下：
所以，購(gòu)物的平均費(fèi)用為：.
18. 已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為和，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)．在軸上存在一點(diǎn)（異于），使得．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作一條垂直于軸的直線，在上任取一點(diǎn)，直線和直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意列出含的方程組解出即可.
（2）設(shè)，由三點(diǎn)共線得出，設(shè)出直線方程，得到，直線方程和橢圓方程聯(lián)立得出代入即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，將代入橢圓方程得，
聯(lián)立方程組，解得，所以橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，由，得，解得，
此時(shí)，如圖：設(shè)，由三點(diǎn)共線，
得，
由三點(diǎn)共線，得，得，
又，得，
得，
即．
設(shè)直線的方程為，
即，①
聯(lián)立直線與橢圓：，消得，
則有，②
將②式代入①式，得，解得（舍）或.
直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.
19. 設(shè)，.
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）證明：.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意可知：為偶函數(shù)，所以僅需研究的部分，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值，分析證明；
（2）由（1）可得：，當(dāng)時(shí)，利用裂項(xiàng)相消法分析證明；
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>所以，
所以為定義在上的偶函數(shù)，下取，
可知，令
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，
即在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在內(nèi)的最小值為，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可知：.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，
則有：，，，，
相加可得：，
因?yàn)?，則，所以，
即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構(gòu)造新的函數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式；
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．
1
2
3
4
5
6
7
6
13
25
40
73
110
201
支付方式
云閃付
會(huì)員卡
其它支付方式
比例
0.1
0.35
0.15
0.4

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