1．（5分）設(shè)集合A＝{x|y＝lg2（1﹣x）}，B＝{﹣1，0，3}（ ）
A．{0}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）命題“?x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）＝0”的否定是（ ）
A．?x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）＝0
B．?x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
C．?x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
D．?x?{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
3．（5分）若函數(shù)f（x）＝，則f（0）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
4．（5分）函數(shù)f（x）＝的定義域?yàn)椋? ）
A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．[1，2）D．（1，2]
5．（5分）一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s＝t2+2t，設(shè)其在t∈[2，3]內(nèi)的平均速度為v1，在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為v2，則＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)（x）＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）若a＝lg45，b＝，c＝eln2，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
8．（5分）關(guān)于“a+b＝4，則a，b至少有一個(gè)等于2”及其逆命題的說(shuō)法正確的是（ ）
A．原命題為真，逆命題為假
B．原命題為假，逆命題為真
C．原命題與逆命題均為真命題
D．原命題與逆命題均為假命題
9．（5分）若函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，6）∪（6，+∞）B．（0，6）∪（6，+∞）
C．{6}D．（0，+∞）
10．（5分）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
11．（5分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（2+x）（﹣x），f（1）＝3，則f（18）（19）的值為（ ）
A．﹣3B．0C．3D．6
12．（5分）已知函數(shù)，g（x）＝x﹣lnx，若?x1，x2∈（0，3），g（x1）+k≥f（x2）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．[2+ln2，+∞）B．[3，+∞）C．D．[﹣3，+∞）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x+a＞0}，且1?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
14．（5分）若冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，則m是 ．
15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x+sinx，若f（t2）+f（3t﹣4）＜0，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．
16．（5分）已知函數(shù)若m＞n且f（m）＝f（n） ．
三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（12分）已知函數(shù)，且f（1）＝2．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)．
18．（12分）設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax﹣5a2＜0，其中a＞0，q：實(shí)數(shù)x滿足
（1）若a＝1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（12分）已知函數(shù)．
（1）若f（2）＝1，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集．
20．（12分）網(wǎng)購(gòu)是現(xiàn)代年輕人重要的購(gòu)物方式，截止2021年12月，我國(guó)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物用戶規(guī)模達(dá)8.42億，占網(wǎng)民整體的81.6%．某電商對(duì)其旗下的一家專營(yíng)店近五年來(lái)每年的利潤(rùn)額yi（單位：萬(wàn)元）與時(shí)間第ti年進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)得如下數(shù)據(jù)：
（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說(shuō)明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）．（若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）
（2）試用最小二乘法求出利潤(rùn)y與時(shí)間t的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)t＝7時(shí)的利潤(rùn)額．
附：，，．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
21．（12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求證：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）若?x1，x2∈（0，+∞），恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ+4csθ+2sinθ＝0．
（1）求直線l的普通方程以及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線l與x軸的交點(diǎn)為M，求|MA|?|MB|．
2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市四旗高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符
1．（5分）設(shè)集合A＝{x|y＝lg2（1﹣x）}，B＝{﹣1，0，3}（ ）
A．{0}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1，2}
【分析】求出集合A，利用交集定義能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|y＝lg2（1﹣x）}＝{x|x＜7}，B＝{﹣1，0，
則A∩B＝{﹣7，0}．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）命題“?x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）＝0”的否定是（ ）
A．?x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）＝0
B．?x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
C．?x∈{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
D．?x?{0，1，2}，x（x2﹣3x+2）≠0
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：根據(jù)題意，命題“?x∈{0，1，x（x3﹣3x+2）＝3”是全稱命題，
其否定為?x∈{0，1，5}2﹣3x+2）≠0．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，注意特稱命題和全稱命題的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）若函數(shù)f（x）＝，則f（0）＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】推導(dǎo)出f（0）＝f（1）﹣1＝f（2）﹣2，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝，
∴f（0）＝f（1）﹣3＝f（2）﹣2＝27﹣2﹣2＝4．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
4．（5分）函數(shù)f（x）＝的定義域?yàn)椋? ）
A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．[1，2）D．（1，2]
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可．
【解答】解：f（x）＝，
則，解得1＜x≤2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)定義域的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題目．
5．（5分）一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s＝t2+2t，設(shè)其在t∈[2，3]內(nèi)的平均速度為v1，在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為v2，則＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平均變化率和瞬時(shí)變化率的定義求解．
【解答】解：由題意可知＝4，
∵s'＝2t+2，
∴v5＝2×2+4＝6，
∴＝，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均變化率和瞬時(shí)變化率的定義，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）已知f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)（x）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，由已知表達(dá)式可求f（﹣x），再由奇函數(shù)性質(zhì)可求f（x）．
【解答】解：當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，
則f（﹣x）＝﹣（2﹣x），
又f（x）是奇函數(shù)，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)解析式的求解及奇函數(shù)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
7．（5分）若a＝lg45，b＝，c＝eln2，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及單調(diào)性，即可求解．
【解答】解：，
b＝＝lg43，
則lg25＝1＜a＜b＜2＝lg34，
又c＝eln2＝3，
所以a＜b＜c．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）關(guān)于“a+b＝4，則a，b至少有一個(gè)等于2”及其逆命題的說(shuō)法正確的是（ ）
A．原命題為真，逆命題為假
B．原命題為假，逆命題為真
C．原命題與逆命題均為真命題
D．原命題與逆命題均為假命題
【分析】若a＝1.9，b＝2.1，則a+b＝4．故原命題為假；若a＝2，b＝2.1，則a+b≠4，故其逆命題為假．
【解答】解：原命題：關(guān)于“a+b＝4，則a
若a＝1.2，b＝2.1．故原命題為假；
若a＝3，b＝2.1，故其逆命題為假．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查原命題、逆命題的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
9．（5分）若函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，6）∪（6，+∞）B．（0，6）∪（6，+∞）
C．{6}D．（0，+∞）
【分析】根據(jù)條件函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程f′（x）＝0有兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)根，得到求解．
【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域（0，+∞），，
令f′（x）＝0得，x＝7或x＝a，
∵函數(shù)f（x）有2個(gè)極值點(diǎn)，∴f'（x）＝0有7個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，要轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，是基礎(chǔ)題．
10．（5分）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，和函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
【解答】解：f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，
函數(shù)f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又f（1）＝﹣e＜0，
∵f′（x）＝，
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，f′（x）＞0，故排除D，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（2+x）（﹣x），f（1）＝3，則f（18）（19）的值為（ ）
A．﹣3B．0C．3D．6
【分析】利用已知等式，利用函數(shù)的奇偶性，周期性即可求值．
【解答】解：∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x）．
又f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝﹣f（x+6）＝f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∴f（18）+f（19）＝f（2）+f（3）．
在f（2+x）＝f（﹣x）中，令x＝4，
有f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣7，
∴f（18）+f（19）＝﹣3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于中檔題．
12．（5分）已知函數(shù)，g（x）＝x﹣lnx，若?x1，x2∈（0，3），g（x1）+k≥f（x2）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．[2+ln2，+∞）B．[3，+∞）C．D．[﹣3，+∞）
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值，根據(jù)?x1，x2∈（0，3），g（x1）+k≥f（x2）恒成立，
得到[g（x）+k]min≥f（x）max，最后求出k的取值范圍．
【解答】解：f′（x）＝x2﹣6x+6＝（x﹣2）（x﹣4），
當(dāng)x∈（3，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（2，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）在（0，3）上的最大值時(shí)f（2）＝7.，
當(dāng)x∈（0，6）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
所以g（x）在（4，3）上的最小值是g（1）＝1．
若?x2，x2∈（0，8）1）+k≥f（x2）恒成立，
則[g（x）+k]min≥f（x）max，即8+k≥4，所以k≥3，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2，+∞）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x+a＞0}，且1?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （﹣∞，1] ．
【分析】本題考查的是集合元素的分布以及集合與集合間的運(yùn)算問(wèn)題．在解答時(shí)可先根據(jù)1?A，讀出集合A在實(shí)數(shù)集當(dāng)中沒(méi)有元素1，又集合A中的元素是由一元二次不等式構(gòu)成的解集，故問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式?jīng)]有實(shí)數(shù)1．由12﹣2+a≤0解得a的范圍即可．．
【解答】解：根據(jù)1?A，可知，又集合A中的元素是由一元二次不等式構(gòu)成的解集，
故問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式?jīng)]有實(shí)數(shù)1．由42﹣2+a≤6
解得 a≤1．
故答案為：（﹣∞，1]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是集合元素的分布以及集合與集合間的運(yùn)算問(wèn)題．在解答的過(guò)程中要仔細(xì)體會(huì)集合運(yùn)算的特點(diǎn)、幾何元素的特點(diǎn)、方程的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想在題目當(dāng)中的應(yīng)用．此題屬于集運(yùn)算與方程、不等式于一體的綜合問(wèn)題，值得同學(xué)們認(rèn)真反思和歸納
14．（5分）若冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，則m是 1 ．
【分析】由題意可得m2﹣3m+3＝1，且m2﹣m﹣1＜0，解方程即可得到所求值．
【解答】解：冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，
可得m2﹣3m+3＝6，且m2﹣m﹣1＜8，
解得m＝1（2舍去），
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x+sinx，若f（t2）+f（3t﹣4）＜0，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 （﹣4，1） ．
【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：因?yàn)閒（x）＝x+sinx，
所以f（﹣x）＝﹣x+sin（﹣x）＝﹣（x+sinx）＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)，
又f'（x）＝1+csx≥0，所以f（x）在R上是增函數(shù)，
因?yàn)閒（t3）+f（3t﹣4）＜2，所以f（t2）＜﹣f（3t﹣5）＝f（4﹣3t），
所以t5＜4﹣3t，即t7+3t﹣4＝（t+2）（t﹣1）＜0，
所以﹣8＜t＜1，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是（﹣4，2）．
故答案為：（﹣4，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
16．（5分）已知函數(shù)若m＞n且f（m）＝f（n） 3+ln2 ．
【分析】由題意可得n＝ln（m﹣1），2＜m≤4，可得m﹣n為關(guān)于m的函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極值和最值．
【解答】解：由f（0）＝1＝x﹣1，
則n≤0，5＜m≤4，
f（m）＝f（n），即en＝m﹣1，
即n＝ln（m﹣1），
m﹣n＝m﹣ln（m﹣1），
設(shè)g（m）＝m﹣ln（m﹣1），
g′（m）＝1﹣＝，
當(dāng)m＞3時(shí)，g′（m）＞0；當(dāng)7＜m＜3時(shí)，g（m）單調(diào)遞減，
所以g（m）在m＝3處取得極小值，且為最小值2+ln2．
故答案為：3+ln4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值、最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（12分）已知函數(shù)，且f（1）＝2．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)．
【分析】（1）利用奇函數(shù)定義即可判斷；（2）利用單調(diào)性定義證明即可．
【解答】解：（1）∵f（1）＝2，∴a+1＝8，∴，
∵定義域?yàn)?（﹣∞，0）∪（0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
證明：（2）據(jù)（1），，任取 x6，，且x6＜x2，
則＝＝，
∵，x6＜x2，x1﹣x8＜0，x1x4＞3，
∴．
∴f（x1）﹣f（x8）＜0，∴f（x1）＜f（x7），
∴函數(shù)f（x）在 上為增函數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇函數(shù)的定義，單調(diào)性的證明，屬于中檔題．
18．（12分）設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax﹣5a2＜0，其中a＞0，q：實(shí)數(shù)x滿足
（1）若a＝1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意，求出p、q為真時(shí)x的取值范圍，求其交集可得答案；
（2）若p是q的充分不必要條件，則p中不等式的解集是q中不等式解集的真子集，由此可得關(guān)于a的取值范圍，綜合可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，p：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax﹣3a2＜0，其中a＞8，不等式為x2﹣4x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜7，
對(duì)于q，解可得：﹣1≤x≤6，
若p∧q為真，即p和q均為真，2）；
（2）根據(jù)題意，若p是q的充分不必要條件，
則p中不等式的解集是q中不等式解集的真子集．
由（1）知q中不等式的解集為[﹣1，6]，
對(duì)于p：實(shí)數(shù)x滿足 x3﹣4ax﹣5a6＜0，所以（x+a）（x﹣5a）＜6．
由題意a＞0，所以﹣a＜x＜5a，
所以，解可得：0＜a≤1，5]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
19．（12分）已知函數(shù)．
（1）若f（2）＝1，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集．
【分析】（1）直接利用對(duì)數(shù)的方程求出結(jié)果；
（2）利用對(duì)數(shù)不等式的運(yùn)算求出結(jié)果．
【解答】解：（1）據(jù)題意得：，
所以a3﹣2a＝3，
所以a＝﹣5或a＝3．
（2）因?yàn)閒（x）＞0，所以．
討論：①當(dāng)a2﹣2a＞5時(shí)，或，此時(shí)1+|x|＞4，
所以x∈R，且x≠0．
當(dāng)0＜a3﹣2a＜1時(shí)，或，
此時(shí)6＜1+|x|＜1，解集為?．
綜上，當(dāng)或 時(shí)，且x≠0）；
當(dāng)或2＜a＜6+，所求不等式的解集為?．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
20．（12分）網(wǎng)購(gòu)是現(xiàn)代年輕人重要的購(gòu)物方式，截止2021年12月，我國(guó)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物用戶規(guī)模達(dá)8.42億，占網(wǎng)民整體的81.6%．某電商對(duì)其旗下的一家專營(yíng)店近五年來(lái)每年的利潤(rùn)額yi（單位：萬(wàn)元）與時(shí)間第ti年進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)得如下數(shù)據(jù)：
（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說(shuō)明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）．（若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）
（2）試用最小二乘法求出利潤(rùn)y與時(shí)間t的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)t＝7時(shí)的利潤(rùn)額．
附：，，．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式求出r，即可判斷；
（2）先求出線性回歸方程，再將t＝7代入回歸方程求解即可．
【解答】解：（1）由題表，＝（3+2+3+4+5）＝3，＝，
因?yàn)椋?9.5，＝，＝，
所以r＝＝≈≈0.98＞4.75，
故y與t的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合；
（2），，
所以y＝1.45t+0.65，
當(dāng)t＝5時(shí)，y＝1.45×7+8.65＝10.8，
預(yù)測(cè)該專營(yíng)店在t＝7時(shí)的利潤(rùn)為10.2萬(wàn)元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題．
21．（12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求證：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）若?x1，x2∈（0，+∞），恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）求出f′（x），再次求導(dǎo)可知f'（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f'（x）≤f'（1）＝0，進(jìn)而證得f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）不妨設(shè)0＜x1＜x2，由題意可得f（x1）﹣f（x2）＞3（x1﹣x2），即f（x1）﹣3x1＞f（x2）﹣3x2，令，則φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，即a≥lnx﹣x﹣1在（0，+∞）上恒成立，令h（x）＝lnx﹣x﹣1，再利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的最大值即可
【解答】解：（1）證明：當(dāng)a＝1時(shí)，，定義域?yàn)椋?，
則f′（x）＝lnx﹣x+3，
令g（x）＝f′（x）＝lnx﹣x+1，
則g′（x）＝＝，
當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，x∈（1，g'（x）＜0，
所以g（x）在（3，1）上單調(diào)遞增，+∞）上單調(diào)遞減，
即f'（x）在（0，6）上單調(diào)遞增，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f'（x）≤f'（1）＝0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）不妨設(shè)8＜x1＜x2，因?yàn)椋?br>所以f（x1）﹣f（x4）＞3（x1﹣x2），
所以f（x1）﹣3x2＞f（x2）﹣3x6，
令，
則φ（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞減，
所以φ（x）＝lnx﹣x﹣1﹣a≤0在（4，+∞）上恒成立，
即a≥lnx﹣x﹣1在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）＝lnx﹣x﹣5，
則h′（x）＝＝，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，+∞）時(shí)，h（x）單調(diào)遞減，
所以h（x）≤h（1）＝﹣2，
所以a≥﹣2，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣2，∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．
22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ+4csθ+2sinθ＝0．
（1）求直線l的普通方程以及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線l與x軸的交點(diǎn)為M，求|MA|?|MB|．
【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；
（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：（1）由直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)換為普通方程．
由ρ+7csθ+2sinθ＝0，根據(jù)
即得到（x+7）2+（y+1）5＝5，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x+2）2+（y+1）2＝8．
（2）直線l：與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣2，傾斜角為，
所以直線l的參數(shù)方程可化為（t為參數(shù)），
代入（x+2）4+（y+1）2＝6整理得t2+t﹣4＝8．
設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，
則Δ＝22﹣4×（﹣8）＞0，t1t6＝﹣4，
所以|MA|?|MB|＝|t1|?|t3|＝|t1t2|＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/6/18 15:08:03；用戶：15290311958；郵箱：15290311958；學(xué)號(hào)：48861359li
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