一、單選題
1．直線，，，的圖象如圖所示，則斜率最小的直線是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題圖確定直線斜率的大小關(guān)系即可.
【詳解】由圖知：，故斜率最小的直線是.
故選：B
2．下列說(shuō)法正確的是（ ）
①“如果，那么”是隨機(jī)事件；
②隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等；
③如果一事件發(fā)生的概率為99.9999%，說(shuō)明此事件必然發(fā)生；
④只有不確定事件有概率；
⑤若事件發(fā)生的概率為，則.
A．⑤B．③⑤C．③④⑤D．②③④⑤
【答案】A
【分析】由隨機(jī)事件和必然事件的定義及其概率的關(guān)系進(jìn)行分析判斷，
【詳解】對(duì)于①，“如果，那么”是必然事件；
對(duì)于②，隨機(jī)試驗(yàn)多次重復(fù)發(fā)生時(shí)，頻率會(huì)越來(lái)越靠近概率；
對(duì)于③，如果一事件發(fā)生的概率為99.9999%，只能說(shuō)明此事件發(fā)生的可能性非常大，不代表一定發(fā)生，所以不能說(shuō)是必然事件；
對(duì)于④，確定事件也有概率；
對(duì)于⑤，若事件A發(fā)生的概率為P（A），則，故⑤正確.
故選：A.
3．若圓的半徑為2，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．-9B．-8C．9D．8
【答案】D
【分析】由圓的一般方程配方得出其標(biāo)準(zhǔn)方程，由半徑為2得出答案.
【詳解】由，得，
所以，解得.
故選：D.
4．已知一組數(shù)據(jù)6，6，8，8，10，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】利用平均數(shù)與方差的計(jì)算公式求解即可.
【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以該組數(shù)據(jù)的方差是.
故選：C.
5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)可得答案.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)榕c的中點(diǎn)相同，所以，
解得，所以.
故選：A.
6．已知點(diǎn)A，B分別是直線與直線上的點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．0B．
C．D．
【答案】C
【分析】由兩平行直線間的距離定義和公式可求.
【詳解】由題意可知直線，所以當(dāng)，且時(shí)，有最小值，
其最小值為平行直線 與的距離，
直線的方程可化為，
所以
故選：C.
7．如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，是上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且，則（ ）

A．5B．3C．D．
【答案】D
【分析】以為一組基底，表示求解.
【詳解】解：以為一組基底，
則，
，
，
，
，
，
，
所以.
故選：D
8．已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上有2個(gè)點(diǎn)到的距離為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出到原點(diǎn)的距離為2的軌跡方程，再由題意可知圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，利用圓與圓的位置關(guān)系即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以.
到原點(diǎn)的距離為2的軌跡方程為，
因?yàn)閳A上有2個(gè)點(diǎn)到的距離為2，所以圓與圓相交，
所以，又，
解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
二、多選題
9．從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，則互斥的兩個(gè)事件是（ ）
A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”
B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”
C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”
D．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”
【答案】BD
【分析】根據(jù)互斥事件的概念及對(duì)立事件判斷即可.
【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)從口袋中取出兩個(gè)黑球時(shí)，事件“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”同時(shí)發(fā)生，
所以事件“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合題意；
對(duì)于B中，從口袋中取出兩個(gè)球，事件“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，
但必有一個(gè)事件發(fā)生，所以事件“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”是對(duì)立事件，符合題意；
對(duì)于C中，當(dāng)從口袋中取出一紅一黑時(shí)，事件“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”同時(shí)發(fā)生，
所以事件“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”不是互斥事件，所以C不符合題意；
對(duì)于D中，事件“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，當(dāng)取出兩個(gè)紅球時(shí)，
事件都沒(méi)有發(fā)生，所以事件“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥事件不是對(duì)立事件，符合題意.
故選：BD.
10．有一組樣本數(shù)據(jù)：1，1，2，4，1，4，1，2，則（ ）
A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4B．這組數(shù)據(jù)的極差為3
C．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.5D．這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為1
【答案】BD
【分析】利用眾數(shù)、極差、平均數(shù)與百分位數(shù)的定義求解即可.
【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，1，1，2，2，4，4.
對(duì)于A，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，極差為，故B正確；
對(duì)于C，平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤：
對(duì)于D，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)1，故D正確.
故選：BD.
11．已知圓，圓，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則
B．若，則圓的公共弦所在的直線方程是
C．若圓外切，則
D．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則的方程是或
【答案】BCD
【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓的內(nèi)部解不等式即可判斷A錯(cuò)誤；將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程可知B正確；利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即可知C正確；對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由點(diǎn)到直線距離公式即可得D正確.
【詳解】對(duì)于A，由點(diǎn)在圓的內(nèi)部，得，解得，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則圓，
將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是，故B正確；
對(duì)于C，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，
若圓外切，則，即，解得，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程是，圓心到的距離，滿足要求，
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，
圓心到的距離，解得，
所以的方程是，故D正確.
故選：BCD.
12．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（ ）

A．，，，四點(diǎn)共面
B．與所成角的大小為
C．在線段上存在點(diǎn)，使得平面
D．在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值
【答案】AD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的共面定理可判斷A選項(xiàng)，利用坐標(biāo)法求異面直線夾角可直接判斷B選項(xiàng)，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，設(shè)，，利用坐標(biāo)法驗(yàn)證線面垂直，可判斷C選項(xiàng)；分別證明與上的所有點(diǎn)到平面的距離為定值，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，，，
設(shè)，

則，
所以，解得，
故，即，，，四點(diǎn)共面，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以，
所以與所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意，
設(shè)（），則，
若平面，則，,
因?yàn)?，?br>所以，此方程組無(wú)解，
所以在線段上不存在點(diǎn)，使得平面，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br>又平面，平面，所以平面，
故上的所有點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，是定值，
又的面積是定值，
所以在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值，故D正確；
故選：AD.
三、填空題
13．以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的方程是 .
【答案】
【分析】結(jié)合已知條件求出圓的半徑，進(jìn)而得到答案.
【詳解】因?yàn)闉閳A心，且圓與軸相切，
所以圓的半徑，
故所求圓的方程為.
故答案為：.
14．已知木盒中有圍棋棋子15枚（形狀大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地從盒中取兩次，每次取出1枚棋子，則這兩枚棋子恰好不同色的概率是 .
【答案】
【分析】利用事件的相互獨(dú)立乘法公式，和互斥事件的概率加法公式計(jì)算即可.
【詳解】從盒中隨機(jī)取出1校棋子，“是黑棋子”記為事件A，“是白棋子”記為事件B，則，，
兩枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子.這兩個(gè)事件是互斥事件.
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互獨(dú)立，概率為；
第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互獨(dú)立，概率為.
所以這兩枚棋子恰好不同色的概率是.
故答案為：.
15．已知直線與直線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是 .
【答案】
【分析】先根據(jù)兩直線相交聯(lián)立方程組求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；再設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；最后列出關(guān)系式求解即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)A，
所以聯(lián)立，解得，即.
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，
則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，
故，解得，即點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是.
故答案為：.
16．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為，棱長(zhǎng)都相等的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.已知點(diǎn)為線段上一點(diǎn)且，若直線與直線所成角的余弦值為，則 .

【答案】
【分析】補(bǔ)全正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法表示異面直線夾角余弦值，列出方程，解方程即可.
【詳解】將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為，則正方體的棱長(zhǎng)為，
所以，，，，，，，所以，，
則，，
設(shè)直線與直線所成角為，
則，
即，解得或（舍）.
故答案為：
四、解答題
17．已知直線l的方程為．
(1)若直線l的傾斜角為，求k的值；
(2)已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為a，b，若，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由直線斜率與傾斜角的關(guān)系，求k的值．
（2）求出直線l在x軸，y軸上的截距，根據(jù)方程得到k的值，可求直線l的方程.
【詳解】（1）由題意可得
（2）在直線l的方程中，令，得，即，
令，得，即，
由，得，即，解得或，
所以直線l的方程為或.
18．已知.
(1)求點(diǎn)到直線的距離；
(2)求的外接圓的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直線的兩點(diǎn)式求得直線的方程為，由點(diǎn)到直線距離公式即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)的外接圓的方程為，代入坐標(biāo)聯(lián)立解方程組即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）直線的方程為，
化簡(jiǎn)可得，
所以點(diǎn)到直線的距離.
（2）設(shè)的外接圓的方程為，
將的坐標(biāo)代入，得
，即
解得；
故所求圓的方程為.
19．如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)G，連接，，利用線線平行證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面夾角正弦值.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)镕，G分別為，的中點(diǎn)，
所以，，
又E為的中點(diǎn)，，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）
解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，
所以，， ，
設(shè)平面的法向量為，
則令得，，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
即直線與平面所成的角的正弦值為.
20．每天在業(yè)余時(shí)間進(jìn)行慢走與慢跑，可加強(qiáng)人的心臟功能，保持血壓穩(wěn)定，可加速脂質(zhì)代謝，防止血脂升高，同時(shí)，還能提高人體免疫功能，增強(qiáng)防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企業(yè)為了了解本企業(yè)員工每天慢走與慢跑的情況，對(duì)每天慢走時(shí)間在25分鐘到55分鐘之間的員工，隨機(jī)抽取n人進(jìn)行調(diào)查，將既參加慢走又參加慢跑的人稱為“H族”，否則稱為“非H族”，得如下的統(tǒng)計(jì)表以及每天慢走時(shí)間在25分鐘到55分鐘之間的員工人數(shù)的頻率分布直方圖（部分）∶
(1)試補(bǔ)全頻分布直方圖，并求與n的值；
(2)從每天慢走時(shí)間在[40，50）（分鐘）內(nèi)的“H族”中按時(shí)間采用分層抽樣法抽取6人參加企業(yè)舉辦的健身沙龍?bào)w驗(yàn)活動(dòng)，再?gòu)倪@6人中選2人作健身技巧與減脂秘籍的發(fā)言，求這2人每天慢走的時(shí)間恰好1人在[40，45）分鐘內(nèi)，另一個(gè)人在[45，50）分鐘內(nèi)的概率.
【答案】(1)直方圖見(jiàn)解析，，
(2)
【分析】(1)利用所有組的頻率之和等于1，算出第二組的頻率，得到第二組矩形的高，補(bǔ)全頻率分布直方圖，由第一組的頻率和頻數(shù)計(jì)算樣本容量，再計(jì)算第五組的頻數(shù).
(2)按分層抽樣的法則在兩個(gè)組中抽取對(duì)應(yīng)人數(shù)，從這6人中選2人，列出樣本空間，看其中恰好1人在[40，45）分鐘內(nèi)，另一個(gè)人在[45，50）分鐘內(nèi)占多少種基本事件，計(jì)算相應(yīng)概率。
【詳解】（1））第二組的頻率為，
所以第二組小矩形高為．補(bǔ)全后的頻率直方圖如下：
第一組的頻率為，所以．
第五組的頻率為，所以．
（2）因?yàn)榉昼姷摹癏族”人數(shù)為，
分鐘的“H族”人數(shù)為，二者比例為，
所以按時(shí)間采用分層抽樣法抽取6人，分鐘內(nèi)抽取4人，分鐘內(nèi)抽取2人．
設(shè)這2人每天慢走的時(shí)間恰好1人在分鐘，另一個(gè)人在分鐘為事件Q，
在分鐘內(nèi)抽取4人記為A，B，C，D，分鐘內(nèi)抽取2人記為a，b，
則有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，
共15種不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8種，
所以，即選出發(fā)言的2人每天慢走的時(shí)間恰好1人在分鐘內(nèi)，
另一個(gè)人在分鐘內(nèi)的概率為．
21．如圖1，已知梯形ABCD中，，E是AB邊的中點(diǎn)，，，.將沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且，如圖2，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn).
(1)求平面MCN與平面BCDE夾角的余弦值；
(2)求點(diǎn)P到平面MCN的距離.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分別以ED，EB，EP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)到平面距離的向量法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)閳D1中，所以圖2中，，又，
所以分別以ED，EB，EP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，.
因?yàn)?，，，DE，平面BCDE，
所以平面BCDE，所以是平面BCDE的一個(gè)法向量，
設(shè)平面MCN的法向量，由得取，則，，所以平面MCN的一個(gè)法向量，
設(shè)平面MCN與平面BCDE的夾角為，則，
所以平面MCN與平面BCDE夾角的余弦值為.
（2）由（1）知是平面MCN的一個(gè)法向量，
又，
所以點(diǎn)P到平面MCN的距離.
22．已知是實(shí)數(shù)，圓的方程是.
(1)若過(guò)原點(diǎn)能作出直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，圓與軸相交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）.過(guò)點(diǎn)任作一條直線與圓相交于點(diǎn).問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)存在實(shí)數(shù)
【分析】（1）由題意原點(diǎn)在圓上或圓外，則點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑，從而可得答案.
(2)若存在實(shí)數(shù)，使得，則,由此條件先求出的坐標(biāo)，假設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出，最后利用韋達(dá)定理解出.
【詳解】（1）因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)能作出直線與圓相切，所以原點(diǎn)在圓上或圓外.
所以，解得，
所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）在中，令得，即，解得，或，
因?yàn)?，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，所以.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則的斜率互為相反數(shù).
①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，顯然，此時(shí)是大于-4的任意實(shí)數(shù).
②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入，得，
設(shè)，則
，
而
，
令，解得（滿足）.
所以時(shí)，.
綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得.
組數(shù)
分組
人數(shù)
本組中“H族”的比例
第一組
[25，30)
200
0.6
第二組
[30，35)
300
0.65
第三組
[35，40)
200
0.5
第四組
[40，45)
150
0.4
第五組
[45，50)
a
0.3
第六組
[50，55)
50
0.3

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這是一份2023-2024學(xué)年湖北省恩施州四校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案，共19頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年廣東省東莞市四校高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案：

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