2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新課標I卷）
數(shù)學
本試卷共10頁，19小題，滿分150分.
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2 若，則（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，若，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函數(shù)為，在R上單調遞增，則a取值的范圍是（ ）
A. B. C. D.
7. 當時，曲線與的交點個數(shù)為（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
8. 已知函數(shù)為的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（ ）（若隨機變量Z服從正態(tài)分布，）
A. B.
C. D.
10 設函數(shù)，則（ ）
A. 是的極小值點B. 當時，
C. 當時，D. 當時，
11. 造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過坐標原點O.且C上的點滿足橫坐標大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則（ ）
A. B. 點在C上
C. C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D. 當點在C上時，
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為___________．
13. 若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則__________.
14. 甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_________.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若的面積為，求c．
16. 已知和為橢圓上兩點.
（1）求C的離心率;
（2）若過P直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．
17. 如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
（1）若，證明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值為，求．
18. 已知函數(shù)
（1）若，且，求的最小值；
（2）證明：曲線是中心對稱圖形；
（3）若當且僅當，求取值范圍．
19. 設m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．
（1）寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；
（2）當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；
（3）從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．

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