本試卷共10頁(yè)，19小題，滿分150分.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1 已知，則（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.
【詳解】若，則.
故選：C.
2. 已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A. p和q都是真命題B. 和q都是真命題
C. p和都是真命題D. 和都是真命題
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.
【詳解】對(duì)于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，
對(duì)于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，
綜上，和都是真命題.
故選：B.
3. 已知向量滿足，且，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?，即?br>又因?yàn)椋?br>所以，
從而.
故選：B.
4. 某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（均在之間，單位：kg）并部分整理下表
據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（ ）
A. 100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B. 100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%
C. 100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D. 100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
【答案】C
【解析】
【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.
【詳解】對(duì)于 A, 根據(jù)頻數(shù)分布表可知, ,
所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于 , 故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，
所以低于的稻田占比為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；
對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在的頻數(shù)為，
所以平均值為，故D錯(cuò)誤.
故選；C.
5. 已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（ ）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，
又在圓上，
所以，即，
即點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：A
6. 設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即可得，并代入檢驗(yàn)即可.
【詳解】解法一：令，即，可得，
令，
原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，
注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，
所以符合題意；
綜上所述：.
解法二：令，
原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>則偶函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，
即，解得，
若，則，
又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；
故選：D.
7. 已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.
【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，
可知，
設(shè)正三棱臺(tái)的為，
則，解得，
如圖，分別過(guò)作底面垂線，垂足為，設(shè)，
則，，
可得，
結(jié)合等腰梯形可得,
即，解得，
所以與平面ABC所成角的正切值為；
解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，
則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，
因?yàn)?，則，
可知，則，
設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，
取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，
所以與平面ABC所成角的正切值.
故選：B.
8. 設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?，分類討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.
【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋?br>令解得；令解得；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；
可知若，符合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
綜上所述：，即，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為；
解法二：由題意可知：的定義域?yàn)椋?br>令解得；令解得；
則當(dāng)時(shí)，，故，所以；
時(shí)，，故，所以；
故， 則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)得 6 分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 與有相同的零點(diǎn)B. 與有相同的最大值
C. 與有相同的最小正周期D. 與的圖像有相同的對(duì)稱軸
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對(duì)稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，即為零點(diǎn)，
令，解得，即為零點(diǎn)，
顯然零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，顯然，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱軸滿足，
的對(duì)稱軸滿足，
顯然圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A. l與相切
B. 當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來(lái)判斷；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問(wèn)題，此時(shí)考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.
【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，
的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，
由，得到，故，
此時(shí)切線長(zhǎng)，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，
當(dāng)時(shí)，，，，
不滿足；
當(dāng)時(shí)，，，，
不滿足；
于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化
根據(jù)拋物線的定義，，這里，
于是時(shí)點(diǎn)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問(wèn)題，
，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，
于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，
，即的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.
方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）
設(shè)，由可得，又，又，
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，
，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，
即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD
11. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
C. 存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸
D. 存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.
【詳解】A選項(xiàng)，，由于，
故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又，，則，
則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，單調(diào)遞增，
此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，
方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)
，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，
則，事實(shí)上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.
方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論
任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，
由題意也是對(duì)稱中心，故，
即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱中心
三、填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則________.
【答案】95
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
13. 已知為第一象限角，為第三象限角，，，則_______.
【答案】
【解析】
【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【詳解】法一：由題意得，
因?yàn)?，?br>則，，
又因?yàn)椋?br>則，，則，
則，聯(lián)立 ，解得.
法二： 因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，為第三象限角，則,
，，
則

故答案為：.
14. 在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是________．
【答案】 ①. 24 ②. 112
【解析】
【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果，即可求解.
【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，
則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，
第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，
所以共有種選法；
每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，
則所有的可能結(jié)果為：
，
，
，
，
所以選中的方格中，的4個(gè)數(shù)之和最大，為.
故答案為：24；112
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬(wàn)能公式解決；
（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長(zhǎng).
【小問(wèn)1詳解】
方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用極值點(diǎn)求解
設(shè)，則，
顯然時(shí)，，注意到，
，在開(kāi)區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，
即，即，
又，故
方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）
設(shè)，由題意，，
根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，
則，此時(shí)，即同向共線，
根據(jù)向量共線條件，，
又，故
方法五：利用萬(wàn)能公式求解
設(shè)，根據(jù)萬(wàn)能公式，，
整理可得，，
解得，根據(jù)二倍角公式，，
又，故
【小問(wèn)2詳解】
由題設(shè)條件和正弦定理
，
又，則，進(jìn)而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周長(zhǎng)為
16. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2）解法一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知有零點(diǎn)，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，則，，
可得，，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
所以切線方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?br>若，則對(duì)任意恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無(wú)極大值，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，
所以a的取值范圍為；
解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br>若有極小值，則有零點(diǎn)，
令，可得，
可知與有交點(diǎn)，則，
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無(wú)極大值，符合題意，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，
因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，
所以a的取值范圍為.
17. 如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF對(duì)折至，使得．
（1）證明：；
（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；
（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，則，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
【小問(wèn)2詳解】
連接，由，則，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
由是的中點(diǎn)，得，
所以，
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，
所以，
設(shè)平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.
18. 某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．
（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率．
（2）假設(shè)，
（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？
【答案】（1）
（2）（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自計(jì)算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計(jì)算出各自期望，再次作差比較大小即可.
【小問(wèn)1詳解】
甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，
比賽成績(jī)不少于5分的概率.
【小問(wèn)2詳解】
（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，
若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，
，
，
，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.
(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，
，
，
，
，
記乙先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，
同理
，
因?yàn)?，則，，
則，
應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是計(jì)算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關(guān)系，最后得到結(jié)論.
19. 已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.
（1）若，求；
（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
（3）設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，.
【答案】（1），
（2）證明見(jiàn)解析 （3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；
（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無(wú)關(guān)的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明的取值為與無(wú)關(guān)的定值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由已知有，故的方程為.
當(dāng)時(shí)，過(guò)且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.
解得或，所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，該點(diǎn)顯然在的左支上.
故，從而，.
【小問(wèn)2詳解】
由于過(guò)且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.
展開(kāi)即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.
從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.
所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過(guò)韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.
所以.
這就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
【小問(wèn)3詳解】
方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)點(diǎn)，若，，則.（若在同一條直線上，約定）
證明：
.
證畢，回到原題.
由于上一小問(wèn)已經(jīng)得到，，
故.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有
.
而又有，，
故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得
.
這就表明的取值是與無(wú)關(guān)的定值，所以.
方法二：由于上一小問(wèn)已經(jīng)得到，，
故.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有
.
這就得到，
以及.
兩式相減，即得.
移項(xiàng)得到.
故.
而，.
所以和平行，這就得到，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識(shí)的結(jié)合，需要綜合運(yùn)用多方面知識(shí)方可得解.
畝產(chǎn)量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1100，1150）
[1150，1200）
頻數(shù)
6
12
18
24
10

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