1.已知θ∈π4,3π4,sinπ4+θ=35,則tan θ的值為( )
A.17B.-17C.7D.-7
答案:D
解析:因為θ∈π4,3π4,所以π4+θ∈π2,π,又因為sinπ4+θ=35,所以tanπ4+θ=-34,
所以tan θ=tanπ4+θ-π4=tanπ4+θ-tanπ41+tanπ4+θ·tanπ4=-34-11-34×1=-7.
2.2sin47°-3sin17°cs17°等于( )
A.-3B.-1C.3D.1
答案:D
解析:原式=2×sin47°-sin17°cs30°cs17°=2×sin(17°+30°)-sin17°cs30°cs17°=2sin 30°=1.故選D.
3.已知csα-π6+sin α=435,則sin(α+7π6)的值為( )
A.12B.32C.-45D.-12
答案:C
解析:∵csα-π6+sin α=32cs α+32sin α=435,
∴12cs α+32sin α=45.
∴sinα+7π6=-sinα+π6=-(32sin α+12cs α)=-45.
4.已知2sin 2α=1+cs 2α,則tan 2α等于( )
A.43B.-43
C.43或0D.-43或0
答案:C
解析:因為2sin 2α=1+cs 2α,所以2sin 2α=2cs2α.
所以2cs α(2sin α-cs α)=0,解得cs α=0或tan α=12.
若cs α=0,則α=kπ+π2(k∈Z),2α=2kπ+π(k∈Z),所以tan 2α=0;
若tan α=12,則tan 2α=2tanα1-tan2α=43.
綜上所述,故選C.
5.已知5sin 2α=6cs α,α∈0,π2,則tanα2等于( )
A.-23B.13C.35D.23
答案:B
解析:由題意,知10sin αcs α=6cs α,
∵α∈0,π2,∴sin α=35,cs α=45,
∴tanα2=sinα2csα2=2sin2α22sinα2csα2=1-csαsinα=1-4535=13.
6.現(xiàn)有如下信息:
①黃金分割比(簡稱:黃金比)是指把一條線段分割為兩部分,較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與整體長度之比,其比值為5-12;
②黃金三角形被譽為最美三角形,是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形;
③有一個內(nèi)角為36°的等腰三角形為黃金三角形.
由上述信息可求得sin 126°=( )
A.5-12B.5+12
C.5-14D.5+14
答案:D
解析:由題意設(shè)△ABC為∠A=36°的黃金三角形,AB=BC=a,AC=b,則ab=5-12.
如圖,過點B作BD⊥AC,垂足為D,則AD=b2.
在Rt△ABD中,cs A=b2a=15-1=5+14,即cs 36°=5+14.
所以sin 126°=cs 36°=5+14.
7.已知銳角α,β滿足α-β=π3,則1csαcsβ+1sinαsinβ的最小值為( )
A.4B.43C.8D.83
答案:C
解析:因為α-β=π3,
所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=12,
令x=cs αcs β,y=sin αsin β,則x+y=12,
因為α,β均是銳角,所以x>0,y>0,
則1csαcsβ+1sinαsinβ=1x+1y=2×1x+1y·(x+y)=4+2yx+2xy≥4+22yx·2xy=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即α=5π12,β=π12時等號成立.
8.(2023新高考Ⅰ,8)已知sin(α-β)=13,cs αsin β=16,則cs(2α+2β)=( )
A.79B.19C.-19D.-79
答案B
解析∵sin(α-β)=13,cs αsin β=16,∴sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β=sin αcs β-16=13,解得sin αcs β=12.∴sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=12+16=23,∴cs(2α+2β)=cs [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.故選B.
9.已知tan θ=2,則cs 2θ= ;tanθ-π4= .
答案:-35 13
解析:cs 2θ=cs2θ-sin2θ=cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=-35;tanθ-π4=tanθ-11+tanθ=13.
10.設(shè)函數(shù)f(x)=1+cs2x2sinπ2-x+sin x+a2sin(x+π4)的最大值為2+3,則實數(shù)a= .
答案:±3
解析:f(x)=1+2cs2x-12csx+sin x+a2sinx+π4
=cs x+sin x+a2sinx+π4
=2sinx+π4+a2sinx+π4
=(2+a2)sinx+π4.
依題意有2+a2=2+3,則a=±3.
11.已知函數(shù)f(x)=cs-x2+sinπ-x2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(α)=2105,α∈0,π2,求tan(α+π4)的值.
解:(1)f(x)=cs-x2+sinπ-x2=sinx2+csx2=2sinx2+π4,故函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π12=4π.
(2)由f(α)=2105,得sinα2+csα2=2105,則sinα2+csα22=21052,即1+sin α=85,解得sin α=35,
又α∈0,π2,則cs α=1-sin2α=1-925=45,故tan α=sinαcsα=34.所以tanα+π4=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=34+11-34=7.
二、綜合應(yīng)用
12.設(shè)a=cs 50°cs 127°+cs 40°cs 37°,b=22(sin 56°-cs 56°),c=1-tan239°1+tan239°,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a>b>cB.b>a>c
C.c>a>bD.a>c>b
答案:D
解析:a=sin 40°cs 127°+cs 40°sin 127°=sin(40°+127°)=sin 167°=sin 13°,b=22(sin 56°-cs 56°)=22sin 56°-22cs 56°=sin(56°-45°)=sin 11°,c=1-tan239°1+tan239°=cs239°-sin239°cs239°cs239°+sin239°cs239°=cs239°-sin239°=cs 78°=sin 12°.
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°,∴a>c>b.故選D.
13.(多選)化簡下列各式,與tan α相等的是( )
A.1-cs2α1+cs2αB.1+cs(π+2α)2·1csα,α∈(0,π)
C.1-cs2αsin2αD.sin2α1-cs2α
答案:BC
解析:對于A,1-cs2α1+cs2α=1-(1-2sin2α)1+2cs2α-1=sin2αcs2α=tan2α=|tan α|,由1-cs2α1+cs2α≥0,解得-10),若存在實數(shù)x0,使得對任意的實數(shù)x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 024π)成立,則ω的最小值為( )
A.14 048πB.12 024π
C.14 048D.12 024
答案:C
解析:由題意可得,f(x0)是函數(shù)f(x)的最小值,f(x0+2 024π)是函數(shù)f(x)的最大值.
要使結(jié)論成立,只需保證區(qū)間[x0,x0+2 024π]能夠包含函數(shù)的至少一個完整的單調(diào)遞增區(qū)間即可.
又f(x)=cs ωx(sin ωx+3cs ωx)=12sin 2ωx+3×1+cs2ωx2=sin2ωx+π3+32,所以2 024π≥12×2π2ω,求得ω≥14 048,故ω的最小值為14 048,故選C.
17.已知函數(shù)f(x)=1+1tanxsin2x-2sin(x+π4)sin(x-π4).
(1)若tan α=2,求f(α)的值;
(2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范圍.
解:(1)f(x)=sin2x+sin xcs x+2sin(x+π4)·csx+π4
=1-cs2x2+12sin 2x+sin2x+π2
=12+12(sin 2x-cs 2x)+cs 2x
=12(sin 2x+cs 2x)+12.
由tan α=2,得sin 2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=45,
cs 2α=cs2α-sin2αsin2α+cs2α=1-tan2α1+tan2α=-35.
故f(α)=12(sin 2α+cs 2α)+12=35.
(2)由(1)得f(x)=12(sin 2x+cs 2x)+12=22sin2x+π4+12.
由x∈π12,π2,得2x+π4∈5π12,5π4.
則-22≤sin2x+π4≤1,即0≤f(x)≤2+12,
故f(x)的取值范圍是0,2+12.

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