一、選擇題。（共10小題，每小題3分，共30分）
1．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是
A．
B．
C．
D．
【分析】不等式的解集為，在數(shù)軸上表示出來就是不包括端點的射線，所以正確．
【解答】解：不等式的解集為．
解集在數(shù)軸上表現(xiàn)為不包括端點的射線，
、、都不正確．
故選：．
【點評】此題考查不等式的解集，注意數(shù)軸上空心和實心表示．
2．四個實數(shù)，中，最大的數(shù)是
A．B．0C．3D．
【分析】正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：，
四個實數(shù)，中，最大的數(shù)是3．
故選：．
【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：正實數(shù)負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小．
3．如圖，用手蓋住點，點到軸距離為2，到軸的距離為5，則點的坐標是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)第三象限內(nèi)點的橫坐標是負數(shù)，縱坐標是負數(shù)，點到軸的距離等于縱坐標的絕對值，到軸的距離等于橫坐標的絕對值解答．
【解答】解：點在第三象限且到軸的距離為2，到軸的距離為5，
點的橫坐標為，縱坐標為，
點的坐標是．
故選：．
【點評】本題考查了點的坐標，掌握點到軸的距離為點的縱坐標的絕對值，點到軸的距離點的橫坐標的絕對值是關鍵．
4．春天是播種的季節(jié)，某村計劃在河邊開挖一條水渠把河中的河水引到水池中進行蓄水以便在播種之前灌溉農(nóng)田，（如圖）為了使水渠最短應該在河邊選擇的引水口是
A．點B．點C．點D．點
【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，可得答案．
【解答】解：由垂線段最短，得
四條路段，，，，如圖所示，其中最短的一條路線是，
所以為了使水渠最短應該在河邊選擇的引水口是點，
故選：．
【點評】本題考查了垂線段的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題關鍵．
5．已知是關于，的二元一次方程的一個解，則的值為
A．6B．C．4D．
【分析】把代入方程得出，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可．
【解答】解：是關于，的二元一次方程的一個解，
，
，
，
，
．
故選：．
【點評】本題考查了二元一次方程的解，能得出關于的方程是解此題的關鍵．
6．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一題，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，問大小器各容幾何？”意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5小桶可以盛酒2斛．問：1個大桶、1個小桶各盛酒多少斛？若設1個大桶可以盛酒斛，1個小桶可以盛酒斛，則列方程組是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)“5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛，1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛”，即可得出關于，的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：依題意，得：．
故選：．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
7．下列命題：①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③同旁內(nèi)角互補；④如果，那么5的算術(shù)平方根是．其中真命題有
A．3 個B．2 個C．1 個D．0 個
【分析】根據(jù)平行公理的推論、垂直的定義、平行線的性質(zhì)、算術(shù)平方根的概念判斷即可．
【解答】解：①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本小題說法是假命題；
②在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故本小題說法是假命題；
③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，故本小題說法是假命題；
④如果，那么5的算術(shù)平方根是，故本小題說法是假命題；
故選：．
【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
8．如果關于的不等式的解集是，那么的取值范圍是
A．B．C．D．
【分析】運用不等式的基本性質(zhì)求解即可．
【解答】解：關于的不等式的解集是，
，
解得，
故選：．
【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，解題的關鍵是熟記不等式的基本性質(zhì)．
9．如圖，一個機器人從點出發(fā)，向正西方向走到達點；再向正北方向走到達點；再向正東方向走到達點；再向正南方向走到達點：再向正西方向走到達點，按如此規(guī)律走下去，當機器人走到點時，點的坐標為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)點的變化探究出其變化規(guī)律是每4個一循環(huán)，再根據(jù)相應位置上的點找到規(guī)律解答即可．
【解答】解：由圖可得，點的位置有4種可能的位置，
除第1點外分別是在4個象限內(nèi)，
，余數(shù)是3，
在第一象限，
，
．
故選：．
【點評】本題考查了平面直角坐標系中點的規(guī)律的探究，找到點的變化的循環(huán)節(jié)是解題的關鍵．
10．如圖，把長方形沿折疊后，點，分別落在，的位置，若，則是
A．B．C．D．
【分析】由折疊的性質(zhì)得到，由平行線的性質(zhì)得到，，求出，即可得到．
【解答】解：四邊形是矩形，
，
，
由折疊的性質(zhì)得到：，
，
，
．
故選：．
【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關鍵．
二、填空題。（共6小題，每小題3分，共18分）
11．的立方根是 4 ．
【分析】如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根，由此即可得到答案．
【解答】解：，
的立方根是4．
故答案為：4．
【點評】本題考查立方根，關鍵是掌握立方根的定義．
12．小惠同學根據(jù)某市統(tǒng)計局發(fā)布的2023年第一季度高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的扇形統(tǒng)計圖，則“新材料”所對應扇形的圓心角度數(shù)是 72 ．
【分析】用乘“新材料”所占百分比即可．
【解答】解：新材料”所對應扇形的圓心角度數(shù)是：．
故答案為：72．
【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖，解題的關鍵是將統(tǒng)計圖中的信息有效關聯(lián)起來．
13．如圖，直線與相交于點，．，則的度數(shù)是 ．
【分析】根據(jù)兩直線垂直，可得的度數(shù)，根據(jù)對頂角的性質(zhì)，可得的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．
【解答】解：，
．
與是對頂角，
．
由角的和差，得
，
故答案為：．
【點評】本題考查了垂線，兩直線垂直所成的角是，再求出的度數(shù)，最后求出答案．
14．若關于、的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為 2 ．
【分析】先解二元一次方程組，得，再根據(jù)二元一次方程的解得定義解決此題．
【解答】解：將記作①式，記作②式．
①②，得．
．
①②，得．
．
關于、的二元一次方程組的解是．
．
．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查解二元一次方程組、二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程組的解法、二元一次方程的解的定義是解決本題的關鍵．
15．如圖，，，，將沿方向平移，得到，連接，則陰影部分的周長為 11 ．
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，根據(jù)周長公式計算，得到答案．
【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：，，
，
陰影部分的周長，
故答案為：11．
【點評】本題考查的是平移的性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小、經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等．
16．如圖，長方形紙片，點，在邊上，點，在邊上，分別沿，折疊，使點和點都落在點處，若，則的度數(shù)是 50 度．
【分析】由平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，推出，，由三角形外角的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：四邊形是矩形，
，
，
由題意得，
，
同理：，
，
，，
，
．
故答案為：50．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，折疊問題，關鍵是掌握平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．
三、解答題（共8小題，共72分）
17．根據(jù)解答過程填空（理由或數(shù)學式）
已知：如圖，，，求證：．
證明： 鄰補角定義 ，
又（已知），
，
，
．
（已知），
，
，
．
【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理證明即可．
【解答】證明：（鄰補角定義），
又（已知），
（同角的補角相等），
（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
又（已知），
，
（同位角相等，兩直線平行），
（兩直線平行，同位角相等），
，
故答案為：鄰補角定義；同角的補角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．
【點評】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．
18．解方程組：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可；
（2）先化簡原方程組，然后根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可．
【解答】解：（1），
①得，③，
③②得，，
解得，
把代入①得，，
所以方程組的解是；
（2），
方程組可化為，
①得，③，
②③得，，
解得，
把代入①得，，
所以方程組的解是．
【點評】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的關鍵．
19．取哪些整數(shù)值時，不等式與都成立？
【分析】先解出每個不等式的解集，即可得到取哪些整數(shù)值時，不等式與都成立．
【解答】解：由，得：，
由，得：，
當取大于等于0的整數(shù)時，不等式與都成立．
【點評】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式的方法是解答本題的關鍵．
20．如圖，在邊長均為2的正方形網(wǎng)格中，的三個頂點和點均在格點上．將向右平移，使點平移至點處，得到△．
（1）在圖中畫出△；
（2）邊掃過的圖形面積為 12 ．
【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點、的對應點、的位置，然后順次連接即可得到△；
（2）根據(jù)平行四邊形的面積求出所掃過的面積即可．
【解答】解：（1）△如圖所示；
（2）掃過的圖形為平行四邊形，
面積．
【點評】本題考查了利用作圖平移變換，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應點的位置是解題的關鍵．
21．為深入開展青少年毒品預防教育工作，增強學生禁毒意識，某校聯(lián)合禁毒辦組織開展了“2022青少年禁毒知識競賽”活動，并隨機抽查了部分同學的成績，整理并制作成圖表如下：
根據(jù)以上圖表提供的信息，回答下列問題：
（1）此次調(diào)查抽查了多少名學生？并求；
（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）若成績在80分以上為“優(yōu)秀”，請你估計該校3100名學生中競賽成績是“優(yōu)秀”的有多少名？
【分析】（1）根據(jù)第一組的頻數(shù)是30，頻率是0.1，即可求得數(shù)據(jù)樣本容量，再用第二組頻數(shù)除以數(shù)據(jù)總數(shù)可得的值；
（2）用第三組頻率乘以數(shù)據(jù)總數(shù)可得的值；再根據(jù)（1）的計算結(jié)果即可補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）利用總數(shù)3100乘以“優(yōu)秀”的學生的所占的百分比即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：（人，
；
（2）的頻數(shù)為：，
補圖如圖：
（3）由題意可知，優(yōu)秀率為，
估計該校3100名學生中競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)約為：（人．
【點評】本題考查了頻數(shù)分布直方圖，樣本估計總體，正確理解樣本容量，頻數(shù)，頻率之間的關系是解題的關鍵．
22．某校為豐富學生的課余生活，并拓展同學們的知識視野，準備舉辦一次趣味知識答題活動，計劃購買，兩種獎品鼓勵答題的同學．若購買種獎品20件，種獎品15件，那么共需380元；若購買種獎品15件，種獎品10件，那么共需280元．
（1）求，兩種獎品每件各多少元？
（2）現(xiàn)需要購買，兩種獎品共100件．
①若預算資金不超過900元，那么最多購買種獎品多少件？
②若預算資金不低于860元且不超過900元，有哪幾種購買方案？
【分析】（1）設種獎品每件元，種獎品每件元，根據(jù)“購買種獎品20件，種獎品15件，共需380元；購買種獎品15件，種獎品10件，共需280元”，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）①設購買種獎品件，則購買種獎品件，利用總價單價數(shù)量，結(jié)合總價不超過900元，可列出關于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論；
②利用總價單價數(shù)量，結(jié)合總價不低于860元，可列出關于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，結(jié)合，可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)，即可得出各購買方案．
【解答】解：（1）設種獎品每件元，種獎品每件元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：種獎品每件16元，種獎品每件4元；
（2）①設購買種獎品件，則購買種獎品件，
根據(jù)題意得：，
解得：，
又為正整數(shù)，
的最大值為41．
答：最多購買41件獎品；
②根據(jù)題意得：，
解得：，
，
．
又為正整數(shù)，
可以為39，40，41，
共有3種購買方案，
方案1：購買種獎品39件，種獎品61件；
方案2：購買種獎品40件，種獎品60件；
方案3：購買種獎品41件，種獎品59件．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
23．在數(shù)學活動課中，同學們用一副直角三角板（分別記為三角形和三角形，其中，，且開展數(shù)學活動．
操作發(fā)現(xiàn)：我們會發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，將三角形沿方向移動，得到三角形，，推理的根據(jù)是： 平移圖形后，對應點連成的線段平行（或在同一直線上）且相等 ；
（2）將這副三角板如圖2擺放，并過點作直線平行于邊所在的直線，點與點重合，求的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，如圖3，固定三角形，將三角形繞點旋轉(zhuǎn)一周，當時，請判斷直線和直線是否垂直，并說明理由．
【分析】（1）由平移的性質(zhì)可求解；
（2）由平行線的性質(zhì)可得，由外角的性質(zhì)可求解；
（3）分兩種情況討論，由平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：（1）將三角形沿方向移動，得到三角形，
，理由平移圖形后，對應點連成的線段平行（或在同一直線上）且相等．
故答案為：平移圖形后，對應點連成的線段平行（或在同一直線上）且相等；
（2）如圖，延長交直線于點，
，
，
，
；
（3）直線和直線垂直，理由如下：
如圖，延長交于，交于，延長交于，交直線于，
，
，
，
，
，
，
，
直線，
，
直線．
如圖，延長交直線于，交于，
，
，
，
，
，
，
直線．
綜上所述：直線．
【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平移的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關鍵．
24．【材料閱讀】
二元一次方程有無數(shù)組解，如：，，，如果我們將方程的解看成一組有序數(shù)對，那么這些有序數(shù)對可以用平面直角坐標系中的點表示，探究發(fā)現(xiàn)：以方程的解為坐標的點落在同一條直線上，如圖1所示，同時這條直線上的點的坐標全都是該方程的解．我們把這條直線稱為該方程的圖象．
【問題探究】
（1）請在圖2中畫出二元一次方程組中的兩個二元一次方程的圖象，并直接寫出該方程組的解為 ；
（2）已知關于，的二元一次方程組無解，請在圖3中畫出符合題意的兩條直線，設方程①圖象與，軸的交點分別是、，方程②圖象與，軸的交點分別是、，計算的度數(shù)．
【拓展應用】
（3）圖4中包含關于，的二元一次方程組的兩個二元一次方程的圖象，請直接寫出該方程組的解 ；
【分析】（1）根據(jù)圖象與方程組發(fā)關系求解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求解；
（3）先判定方程組對應的圖象，再根據(jù)圖象與方程組的關系求解．
【解答】解：（1）如圖2：由圖象得兩直線交于，
所以方程組的解為：，
故答案為：；
（2）如圖3：由圖得：，
，
，
；
（3）由圖得：，
當時，，
當時，，
若過，則，
解得：，
則，
的圖象不是，
的圖象為，
由圖象得：，相交于點，
方程組的解為：，
故答案為：．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與方程組的應用，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關鍵．
分數(shù)段
頻數(shù)
頻率
30
0.1
90
0.4
60
0.2

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