第Ⅰ卷 選擇題
一、選擇題
1. 已知復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，且，
所以，解得，
所以，即，
所以，或，，
所以或，
所以.故選：B
2. 如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>，
則,，
由集合的運(yùn)算可知，表示中去掉的部分，
所以.
故選：D
3. 給出下列四個(gè)命題，其中正確命題為（ ）
A. “，”的否定是“，”
B. 若是奇函數(shù)，則
C. 若的定義域?yàn)?，，都有，且滿足，則是偶函數(shù)
D. “”是“”的必要不充分條件
【答案】C
【解析】對(duì)于A，“，”的否定是“，”，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若是奇函數(shù)，且在處有定義，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由偶函數(shù)的定義可知，若的定義域?yàn)?，，都有?br>且滿足，則是偶函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，推不出，比如，則；
且推不出，比如，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤；
故選：C
4. 某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為的正方形，則此四面體的四個(gè)面中面積最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四面體實(shí)物圖如下圖所示：
可知該幾何體是邊長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)接三棱錐，
如上圖所示，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其面積為；
是直角三角形，且直角邊為，，其面積為；
是直角三角形，且直角邊為，其面積為；
是直角三角形，且直角邊為，，其面積為.
因此，此四面體的四個(gè)面中面積最大值為.
故選：B.
5. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（ ）
A. 2023B. 2024C. 4046D. 4048
【答案】D
【解析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由已知得，，
可得，解得，故，
若，故，
而數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.
故選：D
6. 已知，是兩個(gè)單位向量，且，若向量滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知是兩個(gè)單位向量，且，
則，
則，則，
設(shè)分別是軸與軸正方向上的單位向量，
則，，，
設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>所以，
故中，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
圓心到原點(diǎn)的距離為，
．
故選：B．
7. 已知正方形的邊長(zhǎng)為2，是平面外一點(diǎn)，設(shè)直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意知，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，、為定點(diǎn)，，
由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，為焦距，長(zhǎng)軸為的橢圓，
將此橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)橢球，即點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢球，
而橢球面為一個(gè)橢圓，由，
即，得，
設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，則，
又，且，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，即取到最大值， 故選：B．
8. 已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】令且，則，故在上遞減，
又，所以，A錯(cuò)誤；
令且，則，
所以上，遞減，上，遞增，
而，此時(shí)不能比較，的大小，所以無(wú)法確定的大小，C錯(cuò)誤；
令且，則，故在上遞增，
又，所以，B錯(cuò)誤；
由于，所以，故,D正確，
故選：D．
9. 下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有（ ）
A. 用決定系數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果時(shí)，的值越接近1，說(shuō)明模型擬合的效果越好
B. 已知隨機(jī)變量，若，則
C. 對(duì)于隨機(jī)事件與，若，，則事件與獨(dú)立
D. 已知采用分層抽樣得到的商三年級(jí)100名男生和50名女生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)為173，女生樣本平均數(shù)為164，則總體樣本平均數(shù)為170
【答案】B
【解析】由決定系數(shù)的定義可知，的值越接近1，說(shuō)明模型擬合的效果越好，故A正確；由可得，，所以，
且隨機(jī)變量，則，所以，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，則，
即，所以事件與獨(dú)立，故C正確；
由題意可得，總體樣本平均數(shù)為，故D正確；
故選：B
10. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 的最小正周期為
B. 直線是圖像的一條對(duì)稱軸
C. 在上單調(diào)遞增
D. 若在區(qū)間上的最大值為，則
【答案】D
【解析】因?yàn)?br>，
則
，故A錯(cuò)誤；
將代入計(jì)算可得，又，
，所以直線不是圖像的一條對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，且在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上的最大值為，
則，解得，故D正確；
故選：D
11. 已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 當(dāng)取最大值時(shí)，直線的方程為
B. 若點(diǎn)，則的最小值為3
C. 無(wú)論過(guò)點(diǎn)的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值
D. 若點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則直線、的斜率之積為定值
【答案】AC
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，
設(shè)直線，
聯(lián)立，得，
當(dāng)且僅當(dāng)與拋物線相切時(shí)，取得最大值，
由，得，
直線的斜率為，又在第一象限，所以直線的斜率為，
此時(shí)取得最大值，直線的方程為，故A正確；
因?yàn)椋瑒t在準(zhǔn)線上的射影為，
過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線，垂足為，連接，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由題意知，，且的斜率不為，
設(shè)方程為，，，，
聯(lián)立直線與拋物線的方程，
整理得，
顯然，則，，
所以，，
則
，
即無(wú)論過(guò)點(diǎn)的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值，故C正確；
對(duì)于D：由C選項(xiàng)可知，則，
又，所以（不為定值），故D錯(cuò)誤.故選：AC.
12. 某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)，分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為．則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 若且，則
B. 若且，則
C. 若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
D. 若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
【答案】C
【解析】對(duì)于A，若且，則，
即，所以，
由可得，即A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)根據(jù)A中的結(jié)論可知，所以藍(lán)方兵力先為，
即，化簡(jiǎn)可得，
即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，
即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為，所以B正確；
對(duì)于C，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時(shí)間大于藍(lán)方即可，
設(shè)紅方兵力為時(shí)所用時(shí)間為，藍(lán)方兵力為時(shí)所用時(shí)間為，
即，可得
同理可得，即，解得，
又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；
所以可得C錯(cuò)誤，D正確.故選：C.
第Ⅱ卷 非選擇題
二、填空題
13. 中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙每個(gè)至少一人至多三人，則不同的安排方法有__________種．
【答案】450
【解析】若6名航天員三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙，三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙每個(gè)至少一人至多三人，
若每組人數(shù)分別為，共有種，
若每組人數(shù)分別為，共有種，
綜上所有不同安排方法共有.
故答案為：450
14. 已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】實(shí)數(shù)，滿足，且，
若，則，所以，又，所以，
則，即，則，所以與已知矛盾，
故，要滿足，則，
即，滿足該二元一次不等式的平面區(qū)域如下圖所示：
設(shè)目標(biāo)函數(shù)為，則，故直線的縱截距的取值范圍即可得的取值范圍，
由可行域可得直線經(jīng)過(guò)時(shí)得縱截距的最大值，無(wú)最小值，又，所以，故，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
15. 若動(dòng)直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】直線，則，
令，解得，所以動(dòng)直線恒過(guò)點(diǎn)，
又圓的圓心為，半徑，
所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長(zhǎng)最短，
最短弦長(zhǎng)為.故答案為：.
16. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面與線段相切于點(diǎn)，則球被正四面體表面截得的截面周長(zhǎng)為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，連接，過(guò)作于，如圖，
由分別為棱的中點(diǎn)，得，
而平面，
則平面，又平面，于是平面平面，
而平面平面，
因此平面，而，，，則，
球半徑，，從而，
球被平面截得的截面圓半徑，
所以球被平面截得的截面周長(zhǎng).
又為正四面體，所以球被正四面體的每個(gè)面截得的截面都為圓，
且圓的半徑為，
所以球被正四面體表面截得的截面周長(zhǎng)為.
故答案為：
三、解答題
17. 記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
解：（1）當(dāng)時(shí)，若，則，
兩式相減得，
化簡(jiǎn)得，而，
故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
故，
（2）由上問(wèn)得，
故，
，
兩式相減得，
，
即，
所以，故
18. 第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡(jiǎn)稱大運(yùn)會(huì)）于2023年7月28日在四川成都開(kāi)幕，這是中國(guó)西部城市第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì)．為開(kāi)好本次大運(yùn)會(huì)，各個(gè)行業(yè)都力爭(zhēng)做到報(bào)好．
（1）某體校田徑隊(duì)在備戰(zhàn)期間對(duì)選手進(jìn)行了考核，考核設(shè)有100米、400米和1500米三個(gè)項(xiàng)目，選手需要依次完成考核，成績(jī)合格后的積分分別記為，和（，，1，2），總成績(jī)?yōu)槔塾?jì)積分和．考核規(guī)定：項(xiàng)目考核逐級(jí)進(jìn)階，即選手只有在低一級(jí)里程項(xiàng)目考核合格后，才能進(jìn)行下一級(jí)較高里程項(xiàng)目的考核，否則考核終止．對(duì)于100米和400米項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目選手必須考核2次，且全部達(dá)標(biāo)才算合格；對(duì)于1500米項(xiàng)目，選手必須考核3次，但只要達(dá)標(biāo)2次及以上就算合格．已知選手甲三個(gè)項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)率依次為，，，每次考核是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立．用表示選手甲考核積分的總成績(jī)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）某體育用品店統(tǒng)計(jì)了2023年1~5月份運(yùn)動(dòng)器材銷量（單位：千套）與售價(jià)（單位：元）的情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：
求的相關(guān)系數(shù)，并判斷銷量與售價(jià)是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．（當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒(méi)有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）（精確到0.001）．
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，
相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：．
解：（1）對(duì)于選手甲：記“米成績(jī)合格”、“米成績(jī)合格”、“米成績(jī)合格”分別為事件、、，則，，，
由題意可得的可能取值有，
所以，
，
，
，
可得的分布列為：
所以
.
（2）依題意可得，，
，
，
，
則，
與有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.
19. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點(diǎn)到底面的距離為．
（1）若是的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．
（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以且，
又且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：取線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，
連接，
因?yàn)闉橹苯翘菪?，?br>所以，又，
所以，
因?yàn)?，所以?br>又，平面，
所以平面，
過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，
則直線兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，
因?yàn)?，平面，?br>所以平面，
故平面，
又點(diǎn)P到底面的距離為，所以，
因?yàn)?，?br>所以為二面角的平面角，
由已知可得，所以，
所以，
所以，
所以，，
因?yàn)椋裕?br>所以
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，
令，則，
所以為平面的一個(gè)法向量，
所以點(diǎn)到平面的距離.
20. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）易知的定義域?yàn)椋?br>而，
令，，令，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由題意得，
，
若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
易知是的零點(diǎn)，
令，化簡(jiǎn)得，故與有一個(gè)交點(diǎn)即可，
而定義域?yàn)椋?br>而，當(dāng)時(shí)，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
而，
當(dāng)時(shí)，，故.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓，，是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若動(dòng)直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，且，，，記直線、的斜率分別為、，若，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．
解：（1）圓的圓心為，半徑，
如圖所示，

連接，根據(jù)題意，，
則，
點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，
設(shè)雙曲線方程為，其中，，
，，則，
故所求的方程為．
（2）依題意直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，
由，消去整理得，
在的條件下，，，
由，可得，
即，
即，
則，
即，
即，
即，解得或，
當(dāng)直線的方程為過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去；
所以直線的方程為，則，
由，，且，，所以，故，
所以，則，則，
即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.
請(qǐng)考生在第22題，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.
（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；
（2）與交于兩點(diǎn)，是上不同于的一點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo).
解：（1）因，所以，
所以的普通方程為.
直線的極坐標(biāo)方程為，即，
由，則化為直角坐標(biāo)方程為.
（2）圓心到直線的距離為，則，
設(shè)且，
所以點(diǎn)到直線的距離，
由的面積為知，，
所以，則，
所以或，解得或，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
選修4-5：不等式選講
23. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式解集；
（2）若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（1）解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
（2）解：，使得不等式成立，
所以，使得成立，
因?yàn)椋?br>所以，
即，使得成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.
所以，，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.月份
1
2
3
4
5
器材售價(jià)（元）
100
90
80
70
60
銷量（千套）
5
7.5
8
9
10.5

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