一、單選題
1．在米接力賽中，一直處于落后狀態(tài)的九（1）班在第四棒成功逆襲，戰(zhàn)勝九（2）班．這兩支代表隊行駛的路程（米）與時間（秒）之間的圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
2．在四邊形中，，點從點出發(fā)，沿運動，點同時以相同的速度從點出發(fā)，沿運動，結(jié)果同時到達點的面積與點運動的路程滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中為拋物線的一部分．根據(jù)圖象得出下列結(jié)論：①；②；③；④當時，四邊形是菱形．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．清明節(jié)這天，某校組織師生到附近的烈士陵園參加革命傳統(tǒng)教育和掃墓等主題活動，如圖是學(xué)校到烈士陵園的路線示意圖及師生隊伍去烈士陵園過程中行駛路程y（千米）和行駛時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象．隊伍經(jīng)過位于山頂?shù)母锩沂考o念塔時，在紀念塔前傾聽了10分鐘的革命傳統(tǒng)宣講報告，然后到達烈士陵園進行一系列祭掃活動，結(jié)束后隊伍沿原路返回學(xué)校，返程中在革命烈士紀念塔前休息和拍照留念共停留了5分鐘，假設(shè)隊伍在上坡、下坡和平地路段的速度分別相同，則隊伍從烈士陵園返回學(xué)校所需要的時間是（ ）

A．47分鐘B．48.5分鐘C．52分鐘D．53.5分鐘
4．已知二次函數(shù)，，，是拋物線上的三點，其中且，下列選項中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．存在某個b的值，使得D．該函數(shù)圖象存在與x軸只交于一點的情況
5．如圖表示甲乙兩車某個行駛過程中速度隨時間變化的圖象．則表示乙的行駛路程正好是甲行駛路程4倍的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
6．早晨，小剛沿著通往學(xué)校唯一的一條路（直線）上學(xué)，途中發(fā)現(xiàn)忘帶盒飯，停下來往家里打電話，媽媽接到電話后帶上飯盒馬上趕往學(xué)校，同時小剛返回，兩人相遇后，小剛立即趕往學(xué)校，媽媽回家，15分鐘媽媽到家，再經(jīng)過3分鐘小剛到達學(xué)校，小剛始終以100米分的速度步行，小剛和媽媽的距離（單位：米）與小剛打完電話后的步行時間（單位：分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖，下列四種說法：
①打電話時，小剛和媽媽的距離為米；
②小剛和媽媽相遇后，媽媽回家的度為米分；
③打完電話后，經(jīng)分鐘小剛到達學(xué)校；
④小剛家與學(xué)校的距離為米．其中正確的個數(shù)是（ ）

A．個B．個C．個D．個
7．用繪圖軟件繪制直線，直線與坐標軸的交點分別為，，其中不在可視范圍內(nèi)．視窗的大小不變，改變可視范圍，且變化前后原點始終在視窗中心．若使點在可視范圍之內(nèi)，需要將圖中坐標系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼模檎麛?shù)），則的圖象是（ ）

A． B．
C． D．
8．已知二次函數(shù)，下列說法中正確的個數(shù)是（ ）
（1）當時，此拋物線圖象關(guān)于軸對稱；
（2）若點，點在此函數(shù)圖象上，則；
（3）若此拋物線與直線有且只有一個交點，則；
（4）無論為何值，此拋物線的頂點到直線的距離都等于．
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
9．一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，）中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論中一定正確的是 （填序號即可）．
①當時，；②當?shù)闹惦S值的增大而增大時，n＜0；③當時，或；④當時，直線與軸相交于點，則．
10．如圖，已知點，，，，，……在軸正半軸上，分別以，，，，……為邊在第一象限作等邊，等邊，等邊，……，且點，，，，……在反比例函數(shù)上，且，則點的坐標為 .
11．直線與函數(shù)（）的圖象只有一個公共點A，且直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，過點A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為D、E，則下列說法正確的有 （將正確的序號填在橫線上）．
①；
②點恒在拋物線上；
③是定值；
④矩形面積為定值；
⑤和的面積之和為定值．

12．如圖，在中，，點A是函數(shù)的圖像上一點，點B是第四象限內(nèi)的點，則的最小值為 ．（用含m的代數(shù)式表示）

13．如圖，坐標平面內(nèi)正方形的頂點C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，過正方形內(nèi)一點P分別作軸，軸，點E、F、D、G在正方形的邊上，且有．過點P的反比例函數(shù)與AB交于點H，已知，連接、，則圖中陰影部分的面積為 ．

14．某款沙發(fā)三視圖如圖1所示，將沙發(fā)側(cè)面展示圖簡化后放入平面直角坐標系，得到圖2．其中椅背是雙曲線的一部分，椅面是一條線段，點，沙發(fā)腿軸、與x軸夾角為α．請你根據(jù)圖形解決以下問題：

（1）k＝ ；
（2）過點A作軸于點F．已知，，，．則
①A點坐標為 ；
②沙發(fā)的外包裝箱是一個長方體，則這個包裝箱的體積至少是 （精確到萬位，并用科學(xué)記數(shù)法表示）．
三、解答題
15．李強用甲、乙兩種彈簧同時稱量相同質(zhì)量的物體，甲彈簧比乙彈簧長度變化快．在彈簧的彈性限度內(nèi)，彈簧總長與所掛物體質(zhì)量之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)紀錄的數(shù)據(jù)，畫函數(shù)圖像如下：
(1)不掛重物時彈簧的長度是_______；
(2)求乙彈簧總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當甲彈簧總長達到時，乙彈簧總長是_______．
16．為了進一步保護好人們的眼睛，某公司投資生產(chǎn)了一種護眼臺燈．這種臺燈的成本為每盞20元，公司派一名銷售員進行市場銷售，第一個月以每盞22元的售價出售了280盞．第二個月進行了市場調(diào)查，每盞臺燈提高0.5元就少銷售5盞臺燈，設(shè)第二個月月銷售量為y（盞）與銷售單價x（元），在銷售過程中，銷售單價不低于第一個月售價，且每盞臺燈的利潤不高于成本價的．
(1)請求出銷售量y（盞）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍．
(2)設(shè)第二個月的利潤為w（元），求出第二個月的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．當銷售單價定為多少元時，第二個月的銷售利潤最大，最大利潤為多少元．
(3)如果公司想要第二個月獲得的利潤不低于2000元，那么公司第二個月的成本最少需要多少元？
17．如圖，某長為的隧道的橫截面頂部為拋物線形，隧道的左側(cè)是高為的墻，右側(cè)是高為的墻，拱壁上某處離地面的高度與其離墻的水平距離之間的關(guān)系滿足．現(xiàn)測得兩墻體之間的水平距離為．
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂?shù)降孛娴木嚯x．
(2)從隧道頭到隧道尾，在拋物線形拱壁上安裝若干排吊燈，每排吊燈與地面的距離都不低于，每相鄰兩排吊燈之間的水平距離為，每排內(nèi)相鄰兩盞吊燈之間的距離為．求共需要多少盞吊燈？
(3)如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，每條車道的寬為，兩條車道之間是寬為的綠化帶，一輛貨車載一個長方體集裝箱后高為、寬為，那么這輛貨車無論從哪條車道都能安全通過嗎？請說明理由．
18．甲、乙兩臺機器共同加工一批零件，兩個機器生產(chǎn)的速度均保持不變，一起加工一段時間后，乙機器因故障停止工作，甲機器單獨完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩臺機器加工零件的總數(shù)（個）與甲加工時間（小時）之間的函數(shù)圖像如圖所示．
(1)甲機器每小時生產(chǎn)______個零件；
(2)求出乙機器因故障停止工作后與的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；
(3)當甲機器加工的零件數(shù)和乙機器加工的零件數(shù)相同時，求乙機器已停止工作多少小時？
19．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點．點C是反比例函數(shù)第一象限圖象上的一個動點，過點C作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象上一點D，過點C作軸于點E．
(1)根據(jù)圖象的對稱性，可知A點坐標為 ，B點坐標為 ；
(2)求反比例函數(shù)解析式；
(3)求的面積．
20．已知拋物線與軸交于、兩點點在左側(cè)．

(1)，、分別交拋物線于、兩點，的解析式為點在第一象限，的解析式為，直接寫出的值點在第三象限；
(2)在（1）的條件下，若，求證：一定與定直線平行；
(3)若，、、都在拋物線上，且四邊形為平行四邊形，求證：必過一定點．
A
B
x
﹣1
3
y
n
﹣3
壓軸熱點考點07 函數(shù)的綜合與實際應(yīng)用
壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點考點好題精編
一、單選題
1．在米接力賽中，一直處于落后狀態(tài)的九（1）班在第四棒成功逆襲，戰(zhàn)勝九（2）班．這兩支代表隊行駛的路程（米）與時間（秒）之間的圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意結(jié)合函數(shù)圖象獲取信息是關(guān)鍵．
根據(jù)一直處于落后狀態(tài)的九（1）班在第四棒成功逆襲，戰(zhàn)勝九（2）班分析判斷．
【詳解】解：∵一直處于落后狀態(tài)的九（1）班在第四棒成功逆襲，戰(zhàn)勝九（2）班，
∴在區(qū)間1班追上2班并超越，
∴選項D符合題意，
故選：D．
2．在四邊形中，，點從點出發(fā)，沿運動，點同時以相同的速度從點出發(fā)，沿運動，結(jié)果同時到達點的面積與點運動的路程滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中為拋物線的一部分．根據(jù)圖象得出下列結(jié)論：①；②；③；④當時，四邊形是菱形．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了函數(shù)圖象，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，從函數(shù)圖象獲取信息是關(guān)鍵；由圖象可知，當時，點到達點，此時，則由面積為2可判定①；由圖可知，則可判定②；由等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，易證明，即可判定③；當時，由勾股定理求得，與比較即可判定④，最后即可確定答案．
【詳解】解：由圖象可知，當時，點到達點，此時，
，
；
結(jié)論①正確；
由圖可知，
，
結(jié)論②正確；
連接，如圖，
∵，
∴，，
∴，
∴；
∵點到達點，，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴；
∴，
，
∴，
，
，
；
結(jié)論③正確；
當時，點到達點，
，
結(jié)論④錯誤．即正確結(jié)論有3個；
故選：C．
3．清明節(jié)這天，某校組織師生到附近的烈士陵園參加革命傳統(tǒng)教育和掃墓等主題活動，如圖是學(xué)校到烈士陵園的路線示意圖及師生隊伍去烈士陵園過程中行駛路程y（千米）和行駛時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象．隊伍經(jīng)過位于山頂?shù)母锩沂考o念塔時，在紀念塔前傾聽了10分鐘的革命傳統(tǒng)宣講報告，然后到達烈士陵園進行一系列祭掃活動，結(jié)束后隊伍沿原路返回學(xué)校，返程中在革命烈士紀念塔前休息和拍照留念共停留了5分鐘，假設(shè)隊伍在上坡、下坡和平地路段的速度分別相同，則隊伍從烈士陵園返回學(xué)校所需要的時間是（ ）

A．47分鐘B．48.5分鐘C．52分鐘D．53.5分鐘
【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用——行程問題．熟練掌握分段的一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，路程與速度和時間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．
根據(jù)去時的路程時間圖象求出隊伍在上坡路和下坡路上的速度，求出返回時上坡路和下坡路的時間，根據(jù)往返平路上的時間不變和拍照的時間求出返回時的總時間．
【詳解】隊伍去烈士陵園過程中在上坡路上的速度，
（千米/分鐘），
隊伍去烈士陵園過程中在下坡路上的速度，
（千米/分鐘），
隊伍返程中上坡路用時，（分鐘），
隊伍返程中下坡路用時，（分鐘），
隊伍返程中平路用時不變，12分鐘，
∴隊伍返程中總共用時，（分鐘）．
故選：D．
4．已知二次函數(shù)，，，是拋物線上的三點，其中且，下列選項中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．存在某個b的值，使得D．該函數(shù)圖象存在與x軸只交于一點的情況
【答案】C
【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸及開口方向， 根據(jù)點 坐標與對稱軸的關(guān)系可判斷 A、B，將 代入函數(shù)解析式可得 的值，從而判斷選項C，令方程 中 可判斷選項 D．
【詳解】∵，
∴拋物線開口向下， 對稱軸為直線 ，
若 ，則 ，
解得 ，選項 A 不正確；
同理若 ， 則 ，選項 B 不正確；
將 代入 得 ，
解得 ，選項 C 正確；
令 ，
，
解得 ，選項 D 不正確；
故選 C．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
5．如圖表示甲乙兩車某個行駛過程中速度隨時間變化的圖象．則表示乙的行駛路程正好是甲行駛路程4倍的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分別表示出甲、乙行駛的路程，進而得出答案．
【詳解】、由圖象可得：甲行駛的路程為：，
乙行駛的路程為：，故乙的行駛路程是甲行駛路程四倍，故此選項正確，符合題意；
、由圖象可得：甲行駛的路程為：，
乙行駛的路程為：，故乙的行駛路程是甲行駛路程2倍，故此選項錯誤，不符合題意；
、由圖象可得：甲行駛的路程為：，
乙行駛的路程為：，故甲的行駛路程與乙行駛路程相等，故此選項錯誤，不符合題意；
、由圖象可得：甲行駛的路程為：，
乙行駛的路程為：，故甲的行駛路程與乙行駛路程相等，故此選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象，正確表示出甲、乙行駛的路程是解題關(guān)鍵．
6．早晨，小剛沿著通往學(xué)校唯一的一條路（直線）上學(xué)，途中發(fā)現(xiàn)忘帶盒飯，停下來往家里打電話，媽媽接到電話后帶上飯盒馬上趕往學(xué)校，同時小剛返回，兩人相遇后，小剛立即趕往學(xué)校，媽媽回家，15分鐘媽媽到家，再經(jīng)過3分鐘小剛到達學(xué)校，小剛始終以100米分的速度步行，小剛和媽媽的距離（單位：米）與小剛打完電話后的步行時間（單位：分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖，下列四種說法：
①打電話時，小剛和媽媽的距離為米；
②小剛和媽媽相遇后，媽媽回家的度為米分；
③打完電話后，經(jīng)分鐘小剛到達學(xué)校；
④小剛家與學(xué)校的距離為米．其中正確的個數(shù)是（ ）

A．個B．個C．個D．個
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象和已知條件分別分析探討其正確性，進一步判定得出答案即可．
【詳解】解：①由圖可知打電話時，小剛和媽媽的距離為1250米是正確的；
②打完電話后5分鐘兩人相遇后，媽媽的速度是米分，走的路程為米，回家的速度是米分，所以回家的速度為15米分是錯誤的；
③因為打完電話后5分鐘兩人相遇后，小剛立即趕往學(xué)校，媽媽回家，15分鐘媽媽到家，再經(jīng)過3分鐘小剛到達學(xué)校，經(jīng)過分鐘小剛到達學(xué)校，所以是正確的；
④小剛家與學(xué)校的距離為米，所以是正確的．
∴正確的有①③④共3個．
故選：C．
【點睛】此題考查了函數(shù)的圖象的實際意義，結(jié)合題意正確理解函數(shù)圖象，利用基本行程問題解決問題．
7．用繪圖軟件繪制直線，直線與坐標軸的交點分別為，，其中不在可視范圍內(nèi)．視窗的大小不變，改變可視范圍，且變化前后原點始終在視窗中心．若使點在可視范圍之內(nèi)，需要將圖中坐標系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼模檎麛?shù)），則的圖象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】已知的可視范圍是，根據(jù)得到，可視范圍是，故，求k的最小整數(shù)解即可．
【詳解】∵已知的可視范圍是，
根據(jù)得到，
∴可視范圍是，
∴，
解得
故k的最小整數(shù)解為，
故選B．
【點睛】本題考查了可視范圍問題，正確確定可視范圍變化范圍是解題的關(guān)鍵．
8．已知二次函數(shù)，下列說法中正確的個數(shù)是（ ）
（1）當時，此拋物線圖象關(guān)于軸對稱；
（2）若點，點在此函數(shù)圖象上，則；
（3）若此拋物線與直線有且只有一個交點，則；
（4）無論為何值，此拋物線的頂點到直線的距離都等于．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】求得拋物線的對稱軸即可判斷①；求得兩點到對稱軸的距離即可判斷②；令，根據(jù)，求得 m的值即可判斷③；求得拋物線頂點坐標得到拋物線的頂點在直線上，可知直線與直線平行，求得兩直線的距離即可判斷④．
【詳解】解：（1）當時，，
∴拋物線的對稱軸為y軸，
此拋物線圖象關(guān)于y軸對稱，故該項正確；
（2）∵，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，
∵點，點在此函數(shù)圖象上，且，
∴，故該項錯誤；
（3）若此拋物線與直線有且只有一個交點，
則令，
整理得，
∴
解得，故該項錯誤；
（4）∵
∴頂點為，
∴拋物線的頂點在直線上，
∵直線與直線平行，
∴此拋物線的頂點到直線的距離都相等．

設(shè)直線交x軸于A，交y軸于B，點O到 的距離為，
則，
∴
∵
∴
∴，
∴兩直線間的距離為，故該項正確；
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)與方程的關(guān)系，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，）中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論中一定正確的是 （填序號即可）．
①當時，；②當?shù)闹惦S值的增大而增大時，n＜0；③當時，或；④當時，直線與軸相交于點，則．
【答案】①
【分析】將點、代入，求出；①中，由可得，所以正確；②中，由可得，所以不正確；③中，分兩種情況和分別求的面積，則有當時，，當時，，分別求出的值為或7，所以不正確；④與軸的交點為，所以，所以不正確．
【詳解】解：由表可知，一次函數(shù)經(jīng)過點，，
將點、代入，
得，
解，
①當時，，
，
①正確；
②當?shù)闹惦S值的增大而增大時，，
，
，
②不正確；
③與軸的交點為，與軸的交點為，
當時，，
解得；
當時，，
；
綜上所述，當時，或；
故③不正確；
④，
，
，
與軸的交點為，
，
，
故④不正確；
故答案為：①．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，會求函數(shù)圖象上兩點與原點圍成三角形面積是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，已知點，，，，，……在軸正半軸上，分別以，，，，……為邊在第一象限作等邊，等邊，等邊，……，且點，，，，……在反比例函數(shù)上，且，則點的坐標為 .
【答案】
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征分別求出、、的坐標，得出規(guī)律，進而求出點的坐標．
【詳解】解：如圖，作軸于點，設(shè)，則，
，．
點在反比例函數(shù)上，
，
解得，或（舍去），
，
點的坐標為，；
作軸于點，設(shè)，則，
，，．
點在反比例函數(shù)上，
，
解得，或（舍去），
，
點的坐標為，；
同理可得點的坐標為，即；
以此類推，
點的坐標為，，
點的坐標為，．
故答案為，．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質(zhì)，正確求出、、的坐標進而得出點的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
11．直線與函數(shù)（）的圖象只有一個公共點A，且直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，過點A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為D、E，則下列說法正確的有 （將正確的序號填在橫線上）．
①；
②點恒在拋物線上；
③是定值；
④矩形面積為定值；
⑤和的面積之和為定值．

【答案】①②④⑤
【分析】先求出B的坐標為，C的坐標為，再令求得A的坐標為，由此可得A為的中點，即，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得：，故①正確；由得，從而得出點恒在拋物線上，故②正確；由得的值與b相關(guān)，不是定值，故③錯誤；由反比例函數(shù)k的幾何意義得：矩形面積為2，恒為定值，故④正確；由于和的面積之和的面積矩形面積，恒為定值，故⑤正確．
【詳解】解：令直線，得，即B的坐標為，
令，，即C的坐標為，
令，得①，
∵與（）的圖象只有一個公共點A，
∴，
∴方程①的解，
∴A的坐標為，
∴A為的中點，即，
由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得：，故①正確；
∵，
∴點恒在拋物線上，故②正確；
∵，
∴的值與b相關(guān)，不是定值，故③錯誤；
由反比例函數(shù)k的幾何意義得：矩形面積為2，恒為定值，故④正確；
∵的面積，
∴和的面積之和的面積矩形面積，恒為定值，故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何意義，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解一元二次方程，令求得的坐標為是解決此題的關(guān)鍵．
12．如圖，在中，，點A是函數(shù)的圖像上一點，點B是第四象限內(nèi)的點，則的最小值為 ．（用含m的代數(shù)式表示）

【答案】
【分析】根據(jù)正切的意義得到，則，求得的最小值，即可求得的最小值．
【詳解】解：在中，，
，
當取得最小值時，的值最小，
當點在直線上時，最小，
設(shè)，則，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解直角三角形，求得的最小值是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，坐標平面內(nèi)正方形的頂點C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，過正方形內(nèi)一點P分別作軸，軸，點E、F、D、G在正方形的邊上，且有．過點P的反比例函數(shù)與AB交于點H，已知，連接、，則圖中陰影部分的面積為 ．

【答案】35
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式可得，設(shè)，則，，從而可得，再根據(jù)圖中陰影部分的面積等于即可得．
【詳解】解：對于反比例函數(shù)，
當時，，
，
正方形是正方形，軸，軸，，
四邊形和四邊形都是矩形，四邊形和四邊形都是正方形，
，，
設(shè)，
則，
，
將點代入得：，
圖中陰影部分的面積為
，
故答案為：35．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用、正方形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
14．某款沙發(fā)三視圖如圖1所示，將沙發(fā)側(cè)面展示圖簡化后放入平面直角坐標系，得到圖2．其中椅背是雙曲線的一部分，椅面是一條線段，點，沙發(fā)腿軸、與x軸夾角為α．請你根據(jù)圖形解決以下問題：

（1）k＝ ；
（2）過點A作軸于點F．已知，，，．則
①A點坐標為 ；
②沙發(fā)的外包裝箱是一個長方體，則這個包裝箱的體積至少是 （精確到萬位，并用科學(xué)記數(shù)法表示）．
【答案】 640
【分析】（1）通過待定系數(shù)法可直接求出k的值；
（2）過點B作軸，垂足為M，過點D作軸，垂足為N，通過可求出cm，當時，，即可求得A點的坐標，通過求出cm，即可求出，從而求出體積．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）過點B作軸，垂足為M，過點D作軸，垂足為N，

①∵，，，
∴cm，
∵，,
∴cm，
∵雙曲線，
∴當時，，
∴，
故答案為：；
②∵cm，，
∴，
∴cm，
∴cm，
∴包裝箱的體積至少為，
采用科學(xué)記數(shù)法，且精確到萬位得，
故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)和直角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)和直角三角函數(shù)的相關(guān)知識．
三、解答題
15．李強用甲、乙兩種彈簧同時稱量相同質(zhì)量的物體，甲彈簧比乙彈簧長度變化快．在彈簧的彈性限度內(nèi)，彈簧總長與所掛物體質(zhì)量之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)紀錄的數(shù)據(jù)，畫函數(shù)圖像如下：
(1)不掛重物時彈簧的長度是_______；
(2)求乙彈簧總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當甲彈簧總長達到時，乙彈簧總長是_______．
【答案】(1)；
(2)乙彈簧總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；
(3)．
【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，以及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，從所給圖象獲取需要的信息是解題的關(guān)鍵．
（1）觀察圖象，即可解題．
（2）由圖象可知乙彈簧圖象過點和，設(shè)乙彈簧總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可解題．
（3）由（2）同理求出甲彈簧總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，算出甲彈簧總長達到時的值，將的值代入（2）中解析式求解，即可解題．
【詳解】（1）解：由圖知，當時，，
不掛重物時彈簧的長度是，
故答案為：．
（2）解：由圖象可知乙彈簧圖象過點和，
設(shè)乙彈簧總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，
將代入中，有，解得，
乙彈簧總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，
（3）解：由圖知，甲彈簧圖象過點和，
設(shè)甲彈簧總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，
將代入中，有，解得，
甲彈簧總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，
當時，有，解得，
將代入中，有，
當甲彈簧總長達到時，乙彈簧總長是，
故答案為：．
16．為了進一步保護好人們的眼睛，某公司投資生產(chǎn)了一種護眼臺燈．這種臺燈的成本為每盞20元，公司派一名銷售員進行市場銷售，第一個月以每盞22元的售價出售了280盞．第二個月進行了市場調(diào)查，每盞臺燈提高0.5元就少銷售5盞臺燈，設(shè)第二個月月銷售量為y（盞）與銷售單價x（元），在銷售過程中，銷售單價不低于第一個月售價，且每盞臺燈的利潤不高于成本價的．
(1)請求出銷售量y（盞）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍．
(2)設(shè)第二個月的利潤為w（元），求出第二個月的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．當銷售單價定為多少元時，第二個月的銷售利潤最大，最大利潤為多少元．
(3)如果公司想要第二個月獲得的利潤不低于2000元，那么公司第二個月的成本最少需要多少元？
【答案】(1)
(2)，當銷售單價為32元時，銷售利潤最大，最大利潤為2160元
(3)公司想要第二個月獲得的利潤不低于2000元，公司第二個月的成本最少為3600元
【分析】此題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查拋物線的基本性質(zhì)，另外將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實際問題．
（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出每天銷售量（盞）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)在銷售過程中，銷售單價不低于第一個月售價，且每盞臺燈的利潤不高于成本價的，可以得到關(guān)于的不等式組，然后求解即可得到的取值范圍；
（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以寫出與的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（3）令，解方程后，結(jié)合，拋物線開口向下．可知當時，．設(shè)每月的成本為（元），由題意，得，可知隨的增大而減小．可知當時，的值最小，，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，
∵銷售單價不低于第一個月售價，且每盞臺燈的利潤不高于成本價的，
∴，解得：，
∴與的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）由題意得，
，
∵，對稱軸是直線，
∴當時，隨的增大而增大，
∴當時，有最大值，此時，
即：當銷售單價為32元時，銷售利潤最大，最大利潤為2160元．
（3）令得，
解這個方程得：，．
∵，拋物線開口向下．
∴當時，．
∵
∴當時，．
設(shè)每月的成本為（元），由題意，得：
∵，
∴隨的增大而減?。?br>∴當時，的值最小，．
即：公司想要第二個月獲得的利潤不低于2000元，公司第二個月的成本最少為3600元．
17．如圖，某長為的隧道的橫截面頂部為拋物線形，隧道的左側(cè)是高為的墻，右側(cè)是高為的墻，拱壁上某處離地面的高度與其離墻的水平距離之間的關(guān)系滿足．現(xiàn)測得兩墻體之間的水平距離為．
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂?shù)降孛娴木嚯x．
(2)從隧道頭到隧道尾，在拋物線形拱壁上安裝若干排吊燈，每排吊燈與地面的距離都不低于，每相鄰兩排吊燈之間的水平距離為，每排內(nèi)相鄰兩盞吊燈之間的距離為．求共需要多少盞吊燈？
(3)如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，每條車道的寬為，兩條車道之間是寬為的綠化帶，一輛貨車載一個長方體集裝箱后高為、寬為，那么這輛貨車無論從哪條車道都能安全通過嗎？請說明理由．
【答案】(1)，
(2)486盞
(3)貨車無論從哪條車道都能安全通過，理由見解析
【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用：
（1）根據(jù)已知條件得出點A和點B的坐標，代入即可求出函數(shù)關(guān)系式，化為頂點式，即可求出拱頂?shù)降孛娴木嚯x；
（2）令，解方程求出最外側(cè)兩排吊燈的水平距離，再求出吊燈的排數(shù)和每排吊燈的個數(shù)，即可求解；
（3）隧道左側(cè)比右側(cè)低，因此若貨車從左車道能通過，則從右車道一定能通過．令貨車右側(cè)車輪靠近中間的綠化帶，求出左側(cè)車輪與地面的交點坐標，再求了此處隧道的高，與貨車的高度進行比較即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，，
，
代入，得，
解得，
．
拱頂?shù)降孛娴木嚯x為．
（2）解：令，
解得，
，
（盞）．
答：共需要486盞吊燈．
（3）解：貨車無論從哪條車道都能安全通過．
理由：由題意，得若貨車從左車道能通過，則從右車道一定能通過．
設(shè)貨車從左車道行駛，貨車最左側(cè)車輪與地面的交點為，即，
當時，，
∴貨車無論從哪條車道都能安全通過．
18．甲、乙兩臺機器共同加工一批零件，兩個機器生產(chǎn)的速度均保持不變，一起加工一段時間后，乙機器因故障停止工作，甲機器單獨完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩臺機器加工零件的總數(shù)（個）與甲加工時間（小時）之間的函數(shù)圖像如圖所示．
(1)甲機器每小時生產(chǎn)______個零件；
(2)求出乙機器因故障停止工作后與的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；
(3)當甲機器加工的零件數(shù)和乙機器加工的零件數(shù)相同時，求乙機器已停止工作多少小時？
【答案】(1)3
(2)
(3)當甲機器加工的零件數(shù)和乙機器加工的零件數(shù)相同時，乙機器已停止工作小時
【分析】本題考查了由函數(shù)圖象中獲取信息、一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂函數(shù)圖象，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖象列式計算即可；
（2）設(shè)乙機器因故障停止工作后與的函數(shù)表達式為：，將和代入得：，求解即可得出答案；
（3）先求出乙機器每小時加工的零件個數(shù)，從而得出乙機器一共加工了零件個數(shù)，再列式計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：由圖可得：甲機器每小時生產(chǎn)個零件，
故答案為：；
（2）解：設(shè)乙機器因故障停止工作后與的函數(shù)表達式為：，
將和代入得：，
解得：，
乙機器因故障停止工作后與的函數(shù)表達式為；
（3）解：乙機器停止前，甲乙機器每小時加工零件：（個），
乙機器每小時加工的零件個數(shù)為：（個），
乙機器一共加工了（個），
（小時），
當甲機器加工的零件數(shù)和乙機器加工的零件數(shù)相同時，乙機器已停止工作小時．
19．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點．點C是反比例函數(shù)第一象限圖象上的一個動點，過點C作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象上一點D，過點C作軸于點E．
(1)根據(jù)圖象的對稱性，可知A點坐標為 ，B點坐標為 ；
(2)求反比例函數(shù)解析式；
(3)求的面積．
【答案】(1),
(2)
(3)5
【分析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于原點對稱即可得到答案；
（2）把代入即可得到函數(shù)解析式；
（3）連接、，得到，求出即可得到答案．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點．
關(guān)于原點對稱，
，
點坐標為，B點坐標為，
故答案為,；
（2）解：把代入得，，
反比例函數(shù)解析式為；
（3）解：連接、，
軸，
，
，
的面積為5．
【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例解析式是解題的關(guān)鍵．
20．已知拋物線與軸交于、兩點點在左側(cè)．

(1)，、分別交拋物線于、兩點，的解析式為點在第一象限，的解析式為，直接寫出的值點在第三象限；
(2)在（1）的條件下，若，求證：一定與定直線平行；
(3)若，、、都在拋物線上，且四邊形為平行四邊形，求證：必過一定點．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）令，得，可得，，設(shè)交軸于點，交軸于點，可證得，得出，由一次函數(shù)圖象與軸的交點坐標為，，即可求得答案；
（2）聯(lián)立方程組得，則，同理可得：，結(jié)合（1）的結(jié)論可得，進而可得，設(shè)的解析式為，可得，再由，可求得，即直線與直線平行．
（3）設(shè)解析式，聯(lián)立得，設(shè)，，，，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，可求得，再由點在拋物線上，可得，即，解得：，故直線過定點．
【詳解】（1）解：，
令，得，
解得：，，
，，
，
設(shè)交軸于點，交軸于點，如圖，

，
，
又，
，
，
的解析式為點在第一象限，的解析式為點在第三象限，
，，
點在軸正半軸上，點在軸負半軸上，且，
；
（2）證明：的解析式為，與拋物線的解析式聯(lián)立得：，，
則，
同理可得：，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
設(shè)的解析式為，
則，
，
，
，
即，
，
，
解得：，
又，
，即直線與直線平行，
一定與定直線平行；
（3）證明：設(shè)解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立，得，
，
設(shè)，，，
，
，且四邊形為平行四邊形，
，，
，，
，，
，
點在拋物線上，
，
，
解得：，
直線過定點．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
A
B
x
﹣1
3
y
n
﹣3

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