一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知,則等于( )
A.B.C.D.
2.某4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí),又來(lái)了2位同學(xué)要加入,如果保持原來(lái)4位同學(xué)的相對(duì)順序不變,則不同的加入方法種數(shù)為( )
A.10B.20C.24D.30
3.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中,對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù),若和被除得的余數(shù)相同,則稱和對(duì)模同余,記為.若,則的值可以是( )
A.2018B.2020C.2022D.2024
4.已知甲、乙兩人進(jìn)行五局球賽,甲每局獲勝的概率是,且各局的勝負(fù)相互獨(dú)立,已知甲勝一局的獎(jiǎng)金為10元，設(shè)甲所獲得的資金總額為元，則甲所獲得獎(jiǎng)金總額的方差( )
A.120B.240C.360D.480
5.已知函數(shù)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A.B.C.D.
6.三個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)? ))
A.B.C.D.
7.某校為推廠籃球運(yùn)動(dòng),成立了籃球社團(tuán),社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員進(jìn)行傳球訓(xùn)練,從甲開始隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者,第次觸球者是甲的概率為,則( )
A.B.C.D.
8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,且對(duì)任意的滿足,則不等式的解集是( )
A.B.C.D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.下列說(shuō)法正確的是( )
A.兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列,則兩位女生不相鄰的概率是
B.已知隨機(jī)變量,若,則
C.已知,則
D.從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件,則取得2件次品的概率為
10.已知函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減
B.當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有最值
C.當(dāng)時(shí),過(guò)原點(diǎn)且與相切的直線有兩條
D.對(duì)任意,函數(shù)恒有兩個(gè)極值點(diǎn)
11.已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.函數(shù)的極小值為1
B.函數(shù)在上單調(diào)遞增
C.,使得
D.若恒成立,則整數(shù)的最小值為2
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則實(shí)數(shù)________________.
13.核桃（又稱胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并稱為世界著名的“四大干果”.它的種植面積很廣，但因地域不一樣，種植出來(lái)的核桃品質(zhì)也有所不同：現(xiàn)已知甲、乙兩地盛產(chǎn)核桃，甲地種植的核桃空殼率為(空殼率指堅(jiān)果,谷物等的結(jié)實(shí)性指標(biāo),因花末受精,殼中完全無(wú)內(nèi)容,稱為空殼),乙地種植的核桃空殼率為,將兩地種植出來(lái)的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃數(shù)分別占總數(shù)的,,從中任取一個(gè)核桃,則該核桃是空殼的概率是_______________.
14.若對(duì)任意的,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.
四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.(本題13分)已知二項(xiàng)式且為常數(shù))的展開式中第7項(xiàng)是常數(shù).
(1)求的值:
(2)若該二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,求展開式中的系數(shù).
16.(本題15分)袋中有大小形狀相同的5個(gè)球,其中3個(gè)紅色,2個(gè)黃色.
(1)兩人依次不放回各摸一個(gè)球,求第一個(gè)人摸出紅球,且第二個(gè)人摸出1個(gè)黃球的概率;
(2)甲從中隨機(jī)且不放回地摸球,每次摸1個(gè),當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時(shí)即停止摸球,記隨機(jī)變量為此時(shí)已摸球的次數(shù),求:
①的值;②隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
17.(本題15分)設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)?在時(shí)恒成立,求的取值范圍.
18.（本題17分）某商店隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名客戶的消費(fèi)金額,并分組如下:,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)若該店當(dāng)天總共有1350名客戶進(jìn)店消費(fèi),試估計(jì)其中有多少客戶的消費(fèi)額不少于800元;
(2)若利用分層隨機(jī)抽樣的方法從消費(fèi)不少于800元的客戶中共抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查,則抽到的2人中至少有1人的消費(fèi)金額不少于1000元的概率是多少;
(3)為吸引顧客消費(fèi),該商店考慮兩種促銷方案.方案一:消費(fèi)金額每滿300元可立減50元,并可疊加使用;方案二：消費(fèi)金額每滿1000元即可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為,且每次抽獎(jiǎng)互不影響.中獎(jiǎng)1次當(dāng)天消費(fèi)金額可打9折,中獎(jiǎng)2次當(dāng)天消費(fèi)金額可打6折,中獎(jiǎng)3次當(dāng)天消費(fèi)金額可打3折.若兩種方案只能選擇其中一種,小王準(zhǔn)備購(gòu)買的商品又恰好標(biāo)價(jià)1000元,請(qǐng)幫助他選擇合適的促銷方案并說(shuō)明理由.
19.(本題17分)已知常數(shù),設(shè),
(1)若,求函數(shù)的最小值;
(2)是否存在,且依次成等比數(shù)列,使得依次成等差數(shù)列?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)求證:“”是“對(duì)任意,都有”的充要條件.
高二數(shù)學(xué)期中考試參考答案:
1.A.
2.D6位問(wèn)學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí),共有種排法,如果保持原來(lái)4位問(wèn)學(xué)的相對(duì)順序不變,則有種排法,
3.D【詳解】,所以除以9的余數(shù)是8,選項(xiàng)中只有2024除以9余8.
4.A【詳解】設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為,則所以
5A【詳解】因?yàn)?所以,
因?yàn)樵趨^(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減，所以,即,則在[1,3]上恒成立,因?yàn)樵赱1,3]上單調(diào)遞減,所以,故.
6.D【詳解】,記,則,令,解得,所以在上單調(diào)遞減,因?yàn)?所以,即.
7.C【詳解】解:要想第次觸球者是甲,則第次觸球的人不能是甲,且第()次觸球的人有的概率將球傳給甲,所以,即,設(shè),則,所以,
所以是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,所以,即,所以
8.A【詳解】構(gòu)建,則,因?yàn)?則,即,可知在上單調(diào)遞減,且,由可得,即,解得,所以不等式的解集是.
9.AC【詳解】對(duì)于A：兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列共有(種)排法;兩位從生不相鄰的排法有(種),故兩位女生不相鄰的概率是,正確；
根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的公式,可得,解得,錯(cuò)誤；
對(duì)于:由,得,解得,故C確;
對(duì)于D：設(shè)隨機(jī)變量表示取得次品的個(gè)數(shù),則服從超幾何分布,所以,故錯(cuò)誤.
10.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),恒有,因此在上單調(diào)遞減,故A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,,令,可得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,故無(wú)最大值,又當(dāng)時(shí),,且,故有最小值,且最小值在處取得,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng),設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為,因?yàn)樵撉芯€過(guò)原點(diǎn),所以,即,即,當(dāng)時(shí),方程有2解,正確；
對(duì)于選項(xiàng)D,由題可得,令,因?yàn)?所以,,即存在兩個(gè)不同的根,所以恒有兩個(gè)極值點(diǎn),故正確;
11.BCD【詳解】選項(xiàng),則,令,解得,故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),
函數(shù)的極小值為,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;
選項(xiàng),由選項(xiàng)分析可知恒成立,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,選項(xiàng),記,則,令,解得,
當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞增,
則在上單調(diào)遞減,且,,
在上存在唯一的,使得,即
選項(xiàng)D,記,則
由選項(xiàng)可知,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,
又當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),①,由選項(xiàng)可知,即,
代入①式可得,可得,所以整數(shù)的最小值為2,故D項(xiàng)正確.
12.【答案】-6
13.【答案】0.028設(shè)事件所取核桃產(chǎn)地為甲地為事件,事件所取核桃產(chǎn)地為乙地為事件，事件所取核桃為空殼為事件B，
則,,所以
.
14.對(duì)任意的,且,易知,
則,所以,即.
令,則函數(shù)在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?由,可得,
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,所以,故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為
15.【詳解】(1)二項(xiàng)式的展開式中第7項(xiàng)為
由題意得,解得.
(2)令,得,所以或,解得,或（舍去）.
該二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為
令,解得,
故展開式中的系數(shù)為.
16.（1）依題意,所求概率為;
（2）①由已知得從袋中不放回的摸球兩次的所有取法有種，
事件表示第一次取紅球第二次取黃球或第一次取黃球第二次取紅球，
故事件包含種取法,
所以;
②,
則的概率分布為
所以的數(shù)學(xué)期望為.
17.【詳解】(1)由題可知,
①當(dāng)在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增.
(2)
,
令,則原問(wèn)題,
,
單調(diào)遞增;,單調(diào)遞減;.
的取值范圍為.
18.【詳解】(1),(2)由頻率分布直方圖抽取的6人中,有4人消費(fèi)金額在區(qū)間上,有2人不少于1000元,因此再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查,則抽到的2人中至少有1人的消費(fèi)金額不少于1000元的概率為;
(3)按方案1,小王實(shí)付款;
按方案2,小王抽獎(jiǎng)3次,中1次獎(jiǎng)的概率為,中2次獎(jiǎng)的概率為,
中3次獎(jiǎng)的概率為,一次都不中的概率為,
因此本次購(gòu)物小王付款的期望值為
又,因此選取方案2較合適.
19.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以;
（2）若依次成等比數(shù)列,則,
若、成等差數(shù)列,則,所以
所以,當(dāng)時(shí),成立,
當(dāng)時(shí),則,聯(lián)立,得,,即,
所以,與矛盾,所以時(shí),存在滿足條件,
當(dāng)時(shí),不存在滿足條件;
（3）,則,
所以,
又
令
上式
令,則恒成立,單調(diào)遞減,所以,
充分性:若,則,則恒成立,
必要性:要使得①式恒成立,則恒成立,即.注意事項(xiàng):
1.本試卷分第I卷和第II卷兩部分。第I卷為選擇題,共58分;第II卷為非選題,共92分,滿分150分,考試時(shí)間為120分鐘。
2.第I卷共4頁(yè),每小題有一個(gè)正確答案,請(qǐng)將選出的答案標(biāo)號(hào)(A、B、C、D)涂在答題卡上。第II卷共4頁(yè),將答案用黑色簽字筆)寫在答題卡上。
2
3
4

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