07，廣西壯族自治區(qū)貴港市港南區(qū)2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題

這是一份07，廣西壯族自治區(qū)貴港市港南區(qū)2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題，共19頁。
注意事項：
1.答題前，考生務必將姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上．
2.考生作答時，請在答題卡上作答（答題注意事項見答題卡），在本試題卷上作答無效．
一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．每小題都給出四個選項中只有一個是正確的．考生用2B鉛筆在答題卡上對應題目的答案標號涂黑．）
1. 在Rt△ABC中，若一個銳角等于40°，則另一個銳角的度數(shù)為（ ）
A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．
【詳解】解：∵直角三角形中，一個銳角等于40°，
∴另一個銳角的度數(shù)=90°-40°=50°．
故選：C．
【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質是解題的關鍵．
2. 下列標志圖中，是中心對稱圖形是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】解析：
A、不是中心對稱圖形．故選項錯誤；
B、是中心對稱圖形．故選項正確．
C、不是中心對稱圖形．故選項錯誤；
D、不是中心對稱圖形．故選項錯誤；
3. 下列各組線段，能組成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，試卷源自 期末大優(yōu)惠，即將回復原價?！敬鸢浮緿
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理逆定理分別計算并判斷．此題考查了勾股定理的逆定理的應用，正確掌握勾股定理逆定理判斷直角三角形的方法是解題的關鍵．
詳解】解：A、∵，∴不能組成直角三角形；
B、∵，∴不能組成直角三角形；
C、∵，∴不能組成直角三角形；
D、，∴能組成直角三角形；
故選：D．
4. 正多邊形的一個外角的度數(shù)為30°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（ ）．
A. 6B. 10C. 8D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】結合題意，根據(jù)正多邊形的外角和性質計算，即可得到答案．
【詳解】∵正多邊形的一個外角的度數(shù)為30°
又∵正多邊形的外角和為：
∴正多邊形的邊數(shù)為：
故選：D．
【點睛】本題考查了正多邊形外角和的知識；解題的關鍵是熟練掌握正多邊形外角和的性質，從而完成求解．
5. 關于矩形的性質，以下說法不正確的是（ ）
A. 四個角都是直角B. 對角線相等
C. 對角線互相垂直D. 是軸對稱圖形
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的性質逐一進行判斷即可．
【詳解】解：矩形是軸對稱圖形，四個角都是直角，對角線相等，故A，B，D都對，不符合題意，
而菱形是對角線互相垂直，矩形不具有這個性質，故C錯誤，符合題意，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．
6. 如圖，在△ABC中，D是AB上一點，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為點E，F(xiàn)是BC的中點，若BD＝16，則EF的長為（ ）
A. 32B. 16C. 8D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和中位線的性質求解即可．
【詳解】∵AD＝AC，
∴是等腰三角形，
∵AE⊥CD，
∴，
∴E是CD的中點，
∵F是BC的中點，
∴EF是△BCD的中位線，
∴，
故答案為：C．
【點睛】本題考查了三角形的線段長問題，掌握等腰三角形的性質和中位線的性質是解題的關鍵．
7. 如圖所示，已知在中，交于點，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形外角的性質，證明，得到，由三角形外角的性質得到，則．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
8. 如圖，在中，已知，，平分交邊于點E，則等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質得到，，，再利用平行線的性質和角平分線的定義得到，進而求得即可求解．
【詳解】解：在中，，，，
∴，
∵平分，
∴，則，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、平行線的形、角平分線的定義、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的性質和等腰三角形的判定，證得是解答的關鍵．
9. 如圖所示，在中，，平分，交于點D，，，DE⊥AB，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)線段的和差即可求得DC，再根據(jù)角平分線的性質即可得出DE=DC．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，平分，DE⊥AB，
∴DE=DC=6cm．
故選：C．
【點睛】本題考查角平分線的性質．角平分線上的點到角兩邊距離相等．
10. 如圖，在菱形ABCD中，AB=5，對角線AC=6．若過點A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為( )
A. 4B. 2.4C. 4.8D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】連接BD，根據(jù)菱形的性質可得AC⊥BD，AO=AC，然后根據(jù)勾股定理計算出BO長，再算出菱形的面積，然后再根據(jù)面積公式BC?AE=AC?BD可得答案．
【詳解】連接BD，交AC于O點，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴
∴
∵AC=6，
∴AO=3，
∴
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面積是
∴BC?AE=24，

故選C．
【點睛】本題考查了勾股定理，菱形的性質，解決此題的關鍵是作合理輔助線以及運用等面積法．
11. 如圖所示，在正方形中，O是對角線的交點，過O作，分別交于E、F，若，則的長為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先利用證明，故得，進而得出，在中利用勾股定理即可解得的長．本題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，，，
又，
，
，
∴，
，
又，
，
∴中，．
故選：C．
12. 如圖，當秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離，），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理，設，求出的長度，根據(jù)勾股定理列出方程是解決本題的關鍵．
【詳解】設，則，
又∵，
∴
在中，，
得：
解得：
故選B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.）
13. 一個直角三角形的一個銳角是，則它的另一個銳角的大小是_______度．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了直角三角形的性質，熟記直角三角形兩銳角的性質是解答本題的關鍵，“直角三角形的兩銳角互余”，利用該性質可直接求得答案．
【詳解】一個直角三角形的一個銳角是，
它的另一個銳角的大小為，
故答案：．
14. 已知三角形三邊長分別為6，8，10，則此三角形的面積為__________ ．
【答案】24
【解析】
【分析】根據(jù)三角形三邊長，利用勾股定理逆定理求證此三角形是直角三角形，然后即可求得面積．
【詳解】∵62+82=102，
∴此三角形為直角三角形，
∴此三角形的面積為：．
故答案為：24．
【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解答此題的關鍵是利用勾股定理的逆定理證明此三角形是直角三角形．
15. 如圖所示：已知兩個正方形的面積，則字母A所代表的正方形的面積為___________．
【答案】64
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
∴，
∴字母A所代表的正方形的面積為64，
故答案為：64．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，熟知直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關鍵．
16. 如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是的中點．若，則的長是____．

【答案】1
【解析】
【分析】連接，則，根據(jù)三角形中位線定理，得．
【詳解】連接，因為正方形，，
所以，
因為E，F(xiàn)分別是的中點，
所以．
故答案為：1．
【點睛】本題考查了正方形性質，三角形中位線定理，熟練掌握正方形的性質和三角形中位線定理是解題的關鍵．
17. 如圖，某自動感應門正上方A處裝著一個感應器，離地米，當人體進入感應器的感應范圍內時，感應門就會自動打開．一個身高1.6米的學生正對門，緩慢走到離門米的地方時（米），感應門自動打開，則______米．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應用；過點作于點，構造，利用勾股定理求得的長度即可．
【詳解】解：如圖，過點作于點，
米，米，米，
（米）．
在中，由勾股定理得到（米），

故答案為：．
18. 如圖，在中，，分別以C、B為圓心，取的長為半徑作弧，兩弧交于點D．連接、．若，則__________．
【答案】##25度
【解析】
【分析】由題意和作法可知：，可得四邊形是菱形，再根據(jù)菱形及等腰三角形的性質，即可求解．
【詳解】解：如圖：連接，
由題意和作法可知：，
四邊形是菱形，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質，等腰三角形的性質，證得四邊形是菱形是解決本題的關鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 已知：如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，求圖形中∠AED的值．
【答案】50°．
【解析】
【分析】先根據(jù)平行線的性質求得∠B的值，再根據(jù)多邊形內角和定理即可求得∠AED的值．
【詳解】∵AB∥CD，
∴∠B=180°﹣∠C=120°，
∵五邊形ABCDE內角和為（5﹣2）×180°=540°，
∴在五邊形ABCDE中，∠AED=540°﹣150°﹣120°﹣60°﹣160°=50°．
【點睛】考查了平行線的性質，多邊形內角和定理，解題關鍵是根據(jù)平行線的性質求得∠B的值．
20. 《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何?”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高?

【答案】竹子折斷處離地面尺
【解析】
【分析】竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，利用勾股定理解題即可．
【詳解】解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，
根據(jù)勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：
答：竹子折斷處離地面尺．
【點睛】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運用勾股定理解題．
21. 如圖，在四邊形中，，．

（1）求的度數(shù)；
（2）若平分交于點E，，試說明．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質求解即可；
（2）首先根據(jù)角平分線的概念得到，然后利用平行線的性質得到，進而利用平行線的判定定理證明即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
【小問2詳解】
解：說明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵．
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質定理是解題的關鍵
22. 如圖所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點，點，點在小正方形的頂點上．
（1）畫出中邊上的高：
（2）畫出中邊上的中線；
（3）求的面積．
【答案】（1）畫圖見解析
（2）畫圖見解析 （3）
【解析】
【分析】本題主要考查了三角形高，中線的作法，以及三角形面積求法，掌握概念是解本題的關鍵．
（1）延長，過A作與D，即可得到答案．
（2）結合網(wǎng)格信息，根據(jù)中線的定義可得E點，連接即可得到答案．
（3）根據(jù)三角形面積公式的求法，結合網(wǎng)格信息，即可得到答案．
【小問1詳解】
解：如下圖，即為所求：
【小問2詳解】
如下圖，即為所求
【小問3詳解】
，
∴．
23. 為了綠化環(huán)境，我縣某中學有一塊四邊形的空地，如圖所示，經測量，．

（1）求出空地的面積．
（2）若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元？
【答案】（1）36平方米
（2）7200元
【解析】
【分析】本題考查勾股定理及逆定理的應用．
（1）連接，在直角三角形中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判斷得到三角形為直角三角形，四邊形面積等于三角形面積+三角形面積，求出即可；
（2）由（1）求出的面積，乘以200即可得到結果．
【小問1詳解】
解：連接，

在中，，
在中，，
而，
即，
∴，
則
【小問2詳解】
所需費用（元）．
24. 小明在物理課．上學習了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探究：在一個支架的橫桿點處用一根細繩懸掛一個小球，小球可以自由擺動，如圖，表示小球靜止時的位置．當小明用發(fā)聲物體靠進小球時，小球從擺到位置，此時過點作于點，當小球擺到位置時，與恰好垂直（圖中的在同一平面上），過點作于點，測得，．
（1）試說明；
（2）求的長．
【答案】（1）詳見解析
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，證明是解題的關鍵，
（1）由直角三角形的性質證出，利用證明，由全等三角形的性質得出結論；
（2）由全等三角形的性質得出，．
【小問1詳解】
又
在和中
【小問2詳解】
．
25. 勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人入迷．
（1）應用場景——在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點．
如圖1，在數(shù)軸上找出表示3的點A，過點A作直線l垂直于，在l上取點B，使，以原點O為圓心，為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)是______．
（2）應用場景2——解決實際問題．
如圖2，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推6m至C處時，水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長．
【答案】（1）
（2）繩索AC的長為7.5m．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出OB，根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸解答即可．
（2）設秋千的繩索長為x m，根據(jù)題意可得AD=（x-3）m，利用勾股定理可得x2=62+（x-3）2，即可得到結論．
【小問1詳解】
解：在Rt△OAB中，OB=，
∴OC=，
∴點C表示的數(shù)是，
故答案為：．
【小問2詳解】
解：設秋千繩索AB的長度為x m，
由題意可得AC=AB=x m，
四邊形DCFE為矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，
∴DB=DE-BE=3m，AD=AB-BD=（x-3）m，
在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，
即（x-3）2+62=x2，
解得x=7.5，
即AC的長度為7.5m，
答：繩索AC的長為7.5m．
【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，正確理解題意，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關鍵．
26. 綜合與實蹺
通過對《平行四邊形》一章內容的學習，我們可以認識到矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，它們除了具有平行四邊形的性質外，還有各自的特殐性質，聯(lián)系前面學過的三角形知識，我們會發(fā)現(xiàn)矩形和菱形中能得到很多特殊的三角形，因此在解決矩形、菱形問題時經常會用到特殊三角形的知識．請你運用所學的知識解答下面的題目．
如圖所示，在中，，、兩點分別為、兩邊的中點，過點作的平行線，與的延長線相交于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）當滿足什么條件時，四邊形是正方形？請說明理由．
【答案】（1）見解析 （2）當時，四邊形是正方形，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，，得出四邊形是平行四邊形，根據(jù)中位線的性質得出，則即可得證；
（2）根據(jù)正方形的性質，對角線相等，得出，進而可得是等腰直角三角形，即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵在中，，
，
∵、兩點分別為、兩邊的中點，
∴，，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
【小問2詳解】
當時，四邊形是正方形，理由如下，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴當時，四邊形是正方形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，菱形的判定，正方形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．