（本試卷滿分120分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1．本試卷為試題卷，請將答案寫在答題卡上，否則無效．
2．答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）
1. 2024年青海非物質(zhì)文化遺產(chǎn)精品展以“山宗水源大美青海”為主題在青海省圖書館開幕．下列藝術(shù)字不能看作軸對稱圖形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能互相重合，這個圖形叫做對稱軸．按照定義對各選項分析即可．
【詳解】解：A．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
故選：D．
2. 如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)的相反數(shù)是（ ）

A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸可知點A表示的數(shù)是，再根據(jù)相反數(shù)的定義，即可得到答案．
【詳解】解：由數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是，
的相反數(shù)是，
故選：A．
【點睛】本題考查了數(shù)軸，相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
3. 下列幾何體中，俯視圖是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)常見簡單幾何體的三視圖，結(jié)合俯視圖是從上往下看到的圖形，可得答案．
本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟記簡單幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：該圓錐的俯視圖是帶圓心的圓，故本選項不符合題意；
B.該圓柱的俯視圖是圓，故本選項不符合題意；
C.該正方體的俯視圖是正方形，故本選項不符合題意；
D.該三棱柱的俯視圖是三角形，故本選項符合題意．
故選：．
4. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)整式的減法、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法以及完全平方公式逐項計算即可作答．
【詳解】A項，，計算正確，故本項符合題意；
B項，，原計算錯誤，故本項不符合題意；
C項，，原計算錯誤，故本項不符合題意；
D項，，原計算錯誤，故本項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題主要考查了整式的減法、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法以及完全平方公式，掌握相應(yīng)的運算法則及完全平方公式，是解答本題的關(guān)鍵．
5. 如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點B，C是的中點，連接，，若的面積為3，則k的值為（ ）

A. 12B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的面積，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義進行計算即可．
【詳解】解：軸于點，是的中點，的面積為3，
，
又，
，
故選：B．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，理解反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是正確解答的前提，求出的面積是正確解答的關(guān)鍵．
6. 如圖，切于點B，連接交于點C，交于點D，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如圖，連接，證明，，可得，從而可得．
【詳解】解：如圖，連接，

∵切于點B，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
故選C
【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
7. 2024年中國山地自行車聯(lián)賽第一站暨巴黎奧運會選拔賽上，青海省體工二大隊多名運動員獲得佳績．自行車的示意圖如圖所示，其中，，，兩車輪的直徑均為，現(xiàn)要在自行車兩輪的陰影部分（分別以，為圓心的兩個扇形）裝上擋水的鐵皮，那么安裝單側(cè)（陰影部分）需要的鐵皮面積約是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了扇形的面積計算，是實際應(yīng)用類題目，需要同學(xué)們挖掘隱含的條件．根據(jù)自行車的構(gòu)造，可得四邊形是梯形，，從而求出與的度數(shù)，代入扇形的面積公式計算即可．
【詳解】解：由題意可得，四邊形是梯形，，
，，
，，
車輪的直徑為，
半徑，
則，
∴那么安裝單側(cè)（陰影部分）需要的鐵皮面積約是．
故選：A．
8. 如圖1，小亮家?報亭?羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關(guān)系如圖2所示．下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A. 小亮從家到羽毛球館用了分鐘B. 小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走米
C. 報亭到小亮家的距離是米D. 小亮打羽毛球的時間是分鐘
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. 從函數(shù)圖象可得出，小亮從家到羽毛球館用了分鐘，故該選項正確，不符合題意；
B. （米/分鐘），
即小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走米，故該選項正確，不符合題意；
C. 從函數(shù)圖象可得出，報亭到小亮家的距離是米，故該選項正確，不符合題意；
D. 小亮打羽毛球的時間是分鐘，故該選項不正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，理解函數(shù)圖像上點的坐標的實際意義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9. 請寫出一個大于0而小于2的無理數(shù)：______-.
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【詳解】解：∵1＜2＜4
∴1＜＜2
故答案為
10. 若是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則m的值為______．
【答案】5
【解析】
【分析】：把代入方程 ，求出關(guān)于m的方程的解即可．
【詳解】把代入方程 ，
得，
解得．
故答案為：5．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
11. 4月1日，國家和青海省重點能源項目——瑪爾擋水電站首臺機組投產(chǎn)發(fā)電，水電站機組全面投產(chǎn)后，平均年發(fā)電量達73.04億千瓦時，數(shù)據(jù)“73.04億”用科學(xué)記數(shù)法表示為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：73.04億．
故答案為：．
12. 在平面直角坐標系中，若點在第二象限，則m的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查一元一次不等式的解法，平面直角坐標系中各個象限內(nèi)點的符號，根據(jù)點在第二象限及第二象限內(nèi)點的符號特點，可得一個關(guān)于的不等式，解之即可得的取值范圍．
【詳解】解：∵點在第二象限，
∴
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：
故答案為：．
13. 若實數(shù)m，n滿足，則__________．
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可求出m、n的值，進而代入數(shù)值可求解．
【詳解】解：由題意知，m，n滿足，
∴m-n-5=0，2m+n?4=0，
∴m=3，n=-2，
∴，
故答案為：7．
【點睛】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類題目．
14. 如圖，直線，，，則的度數(shù)為__________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角定義以及性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，再根據(jù)三角形的外角定義以及性質(zhì)可得出．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
15. 只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑?小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，D四點，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．請你幫忙計算紙杯的直徑為___________cm．

【答案】10
【解析】
【分析】設(shè)圓心為O，根據(jù)垂徑定理可以得到，，再根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程解題即可．
【詳解】解：設(shè)圓心為O，為紙條寬，連接，，

則，，
∴，，
設(shè)，則，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴半徑，
即直徑為，
故答案為：10．
【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，矩形中，，，E邊上一點且，連接于點F，則________．
【答案】1
【解析】
【分析】由矩形的性質(zhì)得∠D＝90°，AB∥CD，則∠BAF＝∠AED，由勾股定理得AE＝2，證△ABF∽△EAD，得＝，即可求出AF＝1．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED，
由勾股定理得：AE＝＝＝2，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD，
∴＝，
即＝，
解得：AF＝1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的的與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共9小題，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】代入特殊角三角函數(shù)值，利用負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值和二次根式的性質(zhì)化簡，然后計算即可．
【詳解】解：原式
．
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，牢記特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值和二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查解分式方程，方程去分母后得整式方程，求得方程解后再進行檢驗即可得到方程的解
【詳解】解：
去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
所以方程的解為．
19. 如圖，，，，垂足分別為，．

（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用“”可證明；
（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理計算出，從而得到的長，然后計算即可．
【小問1詳解】
證明：，，
，
在和中，
，
；
【小問2詳解】
解：，
，
在中，，
，
．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
20. 如圖，已知矩形．
（1）作矩形對角線的垂直平分線，垂足為點，交邊于點，交邊于點（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（2）連接、，求證四邊形為菱形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，菱形的判定等知識點，熟練掌握垂直平分線的作法和菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)垂直平分線的作法作圖即可；
（2）利用矩形的性質(zhì)證出，得到，再利用菱形的判定方法直接判定即可．
小問1詳解】
解：如圖，即為所作；
小問2詳解】
證明：∵垂直平分，
∴，，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
（ASA），
∴，
∴與互相垂直平分，
∴四邊形為菱形．
21. 某商場在世博會上購置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元，且購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元．
（1）求A，B玩具的單價；
（2）若該商場要求購置B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購置玩具的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個A玩具？
【答案】（1）A、B玩具的單價分別為50元、75元；
（2）最多購置100個A玩具．
【解析】
【分析】（1）設(shè)A玩具的單價為x元每個，則B玩具的單價為元每個；根據(jù)“購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元”列出方程即可求解；
（2）設(shè)A玩具購置y個，則B玩具購置個，根據(jù)“購置玩具的總額不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)A玩具的單價為x元，則B玩具的單價為元；
由題意得：；
解得：，
則B玩具單價為（元）；
答：A、B玩具的單價分別為50元、75元；
【小問2詳解】
設(shè)A玩具購置y個，則B玩具購置個，
由題意可得：，
解得：，
∴最多購置100個A玩具．
【點睛】本題考查一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，屬于中考常規(guī)考題，解題的關(guān)鍵在于讀懂題目，找準題目中的等量關(guān)系或不等關(guān)系．
22. 某數(shù)學(xué)興趣小組準備測量樓頂部廣告牌的高度．

方案設(shè)計：在A處測得點D的仰角為，在B處測得點E的仰角為，點A、B、C在同一水平線上，點E、D、C在一條直線上，．
數(shù)據(jù)收集：．
問題解決：求廣告牌的高度．（結(jié)果保留根號）
根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．
【答案】．
【解析】
【分析】在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得的長，在中，解直角三角形求得的長，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，求出、的長是解題的關(guān)鍵．
23. 非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是中華民族古老生命記憶和活態(tài)的文化基因，青海的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)資源豐富，涵蓋了多種形式和風(fēng)格．某校為了解學(xué)生對“南山秦腔”“青海眉戶戲”“滬湟皮影戲”“傳統(tǒng)青稞酒釀造技藝”的發(fā)展歷程和文化知曉情況，從全校學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，結(jié)果分為四種類型：．非常了解； ．比較了解；．基本了解；．不了解，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖．
（1）此次調(diào)查的學(xué)生的總?cè)藬?shù)為__________；扇形統(tǒng)計圖中，__________；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）若該學(xué)校共有8000人，請你估計對這四項非遺的發(fā)展歷程和文化知曉情況在“．非常了解”的學(xué)生有多少名？
（4）在被調(diào)查的“．非常了解”的學(xué)生中，有四名學(xué)生（2名男生和2名女生）來自九（1）班，若從中隨機選取兩名學(xué)生進行校園宣講，求恰好選到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）80，45
（2）圖見解析 （3）約有1600名
（4）
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、統(tǒng)計表、扇形統(tǒng)計圖，能夠理解統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖可知的學(xué)生數(shù)和百分百，即可求得；
（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)與條形統(tǒng)計圖即可求出的學(xué)生數(shù)，畫圖即可；
（3）用樣本估計總體，即用乘以總數(shù)即可；
（4）畫樹狀圖得出所有等可能得結(jié)果以及恰好選到一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
解：（名）
，
即，
故答案為：80，45；
【小問2詳解】
類人數(shù)為：（名），
補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示；
【小問3詳解】
（名），
故對這四項非遺的發(fā)展歷程和文化知曉情況在“．非常了解”的學(xué)生約有1600名；
【小問4詳解】
畫樹狀圖如圖：
由圖可知共有12種等可能的情況，其中恰好選到一名男生和一名女生的情況有8種，故恰好選到一名男生和一名女生的概率為．
24. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x 軸交于點 B，，與y軸交于點．

（1）求直線和拋物線的解析式．
（2）若點 M 是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點 M，使得以 M，A，C三點為頂點的三角形是以為底的等腰三角形? 若存在，請求出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若點 P 是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求 面積的最大值．
【答案】（1）直線的解析式為 ；拋物線的解析式為 ；
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)動點圍城等腰三角形及最大面積問題：
（1）將點代入解析式求解即可得到答案；
（2）設(shè)存在，設(shè)出點的坐標根據(jù)等腰列式求解即可得到答案；
（3）設(shè)點P坐標，表示出面積，結(jié)合新函數(shù)性質(zhì)求解即可得到答案；
【小問1詳解】
解：設(shè)直線的解析式為：，將點， 代入，得，
，，
解得：，，
∴直線的解析式為 ；拋物線的解析式為 ；
【小問2詳解】
解：存在，理由如下，
拋物線的對稱軸為：，
設(shè)點，
∵M，A，C三點為頂點的三角形是以為底的等腰三角形，
∴，
∵， ，
，
解得：，
∴；
【小問3詳解】
解：設(shè)，且，連接，
∴
，
，
∵，，
∴當(dāng)時，最大為．
25. 如圖，等邊三角形內(nèi)接于圓，點是劣弧上任意一點（不與重合），連接于、、，求證：．
【初步探索】
小明同學(xué)思考如下：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，可得、、三點在同一直線上，進而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：
（1）根據(jù)小明的思路，請你完成證明；
（2）若圓的半徑為6，則的最大值為________；
【類比遷移】
（3）如圖，等腰內(nèi)接于圓，，點是狐上任一點（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為6，試求周長的最大值．
【答案】(1)見解析（2）12（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，得到，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，，利用三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)直徑是最大的弦，當(dāng)是直徑時，的值最大，即最大，計算即可；
（3）繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，、、三點在同一直線上，進而證明為等腰直角三角形，類比（2）即可得出結(jié)論
【詳解】解：（1）∵等邊三角形內(nèi)接于圓，點是劣弧上任意一點，
∴，
∵，
∴，
∴、、三點在同一直線上，
∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，
∴，，，，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）∵圓的半徑為6，
∴圓的直徑為12，
∵，
故當(dāng)為圓的直徑時最大，
故的最大值為12，
故答案為：12．
(3) ∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，
∴，，，，
∵直角三角形內(nèi)接于圓，點是劣弧上任意一點，
∴，
∵，
∴，
∴、、三點同一直線上，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
故當(dāng)為圓的直徑時最大，
故的最大值為，
∵為圓的直徑，
∴，
∴周長的最大值為．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直徑是圓中最大的弦，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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2024年湖南省邵陽市邵東市中考二模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）：

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