1.若復(fù)數(shù)z滿足z(2?i)=(2+i)(3?4i)，則|z|=( )
A. 5B. 3C. 5D. 25
2.如圖所示，△ABC中，BD=2DC，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，則AC=( )
A. 34AD+12BE
B. 34AD+BE
C. 54AD+12BE
D. 54AD+BE
3.紫砂壺是中國(guó)特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)(其他因素忽略不計(jì))，如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺裝滿水的體積約為( )
A. 0.182升B. 0.205升C. 0.218升D. 0.235升
4.嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內(nèi)，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國(guó)現(xiàn)存最早的磚塔.如圖，為測(cè)量塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=4，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度為( )
A. 12?4 2
B. 12?4 3
C. 12+4 2
D. 12+4 3
5.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若5csB?8csC8c?5b=csAa，又△ABC的面積S=10 3，且B+C=2A，則AB?BC+BC?CA+CA?AB=( )
A. 64B. 84C. ?69D. ?89
6.由斜二測(cè)畫法得到的一個(gè)水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為30°，腰長(zhǎng)為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點(diǎn)B′到x軸的距離是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
7.在△ABC中，角ABC的對(duì)邊分別為a、b、c，若b=a(csC+ 33sinC)，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)D在BC上，AD= 3，b=3c，則a=( )
A. 4 73B. 73C. 43D. 4
8.△ABC中，AB= 2,∠ACB=π4,O是△ABC外接圓圓心，是OC?AB+CA?CB的最大值為( )
A. 3B. 2 2C. 2D. 1
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9.下列命題正確的是( )
A. 棱錐是由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體
B. 球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面
C. 有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體為棱臺(tái)
D. 用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)
10.對(duì)于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是( )
A. 若a=2，A=30°，則b+2csinB+2sinC=2b+c2sinB+sinC=4
B. 若a=8，b=10，B=60°，則符合條件的△ABC有兩個(gè)
C. 若點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且AP=λ(AB|AB|csB+AC|AC|csC),λ∈(0,+∞)，則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心
D. 已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC?S△ABC=1：6
11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且tanA+tanB= 3cacsB.則下列結(jié)論正確的是( )
A. A=π6
B. 若a=2，則該三角形周長(zhǎng)的最大值為6
C. 若△ABC的面積為2，則a有最小值
D. 設(shè)BD=c2b+cBC，且AD=1，則1b+2c為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復(fù)數(shù)z=(a?1)?2ai(a∈R)，且|z|=5，若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則a=______.
13.如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個(gè)底面圓周和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側(cè)面積為______.
14.已知a，b，e是同一平面的向量，其中e是單位向量.非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足|b?2e|=1，則|a?b|的最小值是______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1挖去四棱錐O?EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm，AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.說明過程，不要求嚴(yán)格證明，不考慮打印損耗的情況下．
(1)計(jì)算制作該模型所需原料的質(zhì)量；
(2)計(jì)算該模型的表面積．(精確到0.1)
參考數(shù)據(jù)： 13≈3.61， 15≈3.87， 17≈4.12.
16.(本小題15分)
在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2CD=4，點(diǎn)F是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)若E是CD邊的中點(diǎn).
①試用AE和AF表示AB；
②求AC?EF的值；
(2)求EA?EF的取值范圍.
17.(本小題15分)
如圖，已知△ABC與△ADC關(guān)于直線AC對(duì)稱，把△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3，得到△AFE，若B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共線，且AC=5，AB=7.
(1)求BC；
(2)求△ADE的面積.
18.(本小題17分)
在①sinAsinBsinC= 32(sin2A+sin2C?sin2B)；②1tanA+1tanB=sinC 3sinAcsB；③設(shè)△ABC的面積為S，且4 3S+3(b2?a2)=3c2.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上.并加以解答.
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知_____，且b=2 3.
(1)若a+c=6，求△ABC的面積；
(2)若△ABC為銳角三角形，求a2+b2c2的取值范圍.
19.(本小題17分)
“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cs2B+cs2C?cs2A=1.
(1)求A；
(2)若bc=2，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求PA?PB+PB?PC+PC?PA；
(3)設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|PB|+|PC|=t|PA|，求實(shí)數(shù)t的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由z(2?i)=(2+i)(3?4i)，
得z=(2+i)(3?4i)2?i=10?5i2?i，
∴|z|=|10?5i2?i|=|10?5i||2?i|=5 5 5=5.
故選：C.
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算可得z=10?5i2?i，再由商的模等于模的商求解．
本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．
2.【答案】C
【解析】解：因?yàn)锽D=2DC，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，所以DC=12BD，ED=12AD，
AC=AD+DC=AD+12BD=AD+12(BE+ED)=AD+12(BE+12AD)=54AD+12BE，
故選：C.
直接利用已知條件，結(jié)合向量的三角形法則，推出結(jié)果即可．
本題考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，向量的三角形法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
3.【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意可知：石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，
其中圓臺(tái)的上底面半徑為3cm，下底面半徑為5cm，高為4cm，
所以該壺裝滿水的體積約為13×4π×(32+3×5+52)=196π3cm3≈205.15cm3≈0.205升．
故選：B.
根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，即可求解．
本題考查圓臺(tái)的體積的求解，屬基礎(chǔ)題．
4.【答案】B
【解析】解：設(shè)AB=h，則BC=htan60°=h 3，
在△BCD中，sin∠CBD=sin[180°?(30°+45°)]
=sin(30°+45°)
=sin30°cs45°+cs30°sin45°
= 2+ 64，
在△BCD中由正弦定理CDsin∠CBD=BCsin45°，即4 2+ 64=h 3 22，
解得h=12?4 3.
故選：B.
設(shè)AB=h，在△ABC中，根據(jù)正切用h表示BC，△BCD中，正弦定理建立BC與CD的等量關(guān)系，可求解h，從而確定選項(xiàng)．
本題考查了解三角形，考查了正弦定理以及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】C
【解析】解：由5csB?8csC8c?5b=csAa，得5csB?8csC8sinC?5sinB=csAsinA，
則5sin(A+B)=8sin(A+C)，
即5sinC=8sinB，即5c=8b，
又S△ABC=12bcsinA=10 3，即bcsinA=20 3；
又B+C=2A，得A=π3；
綜上c=8，b=5.
則a2=b2+c2?2bccsA=49，即a=7.
由AB+BC+CA=0，
兩邊平方可得：c2+a2+b2+2(AB?BC+BC?CA+CA?AB)=0，
所以AB?BC+BC?CA+CA?AB=?a2+b2+c22=?69.
故選：C.
利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式整理可求得b，c關(guān)系，再由三角形面積公式和余弦定理求得三邊，再由數(shù)量積運(yùn)算得到結(jié)果．
本題考查解三角形和平面向量的數(shù)量積，屬于中檔題．
6.【答案】D
【解析】解：根據(jù)題意，
如圖，過點(diǎn)B′作B′C′//y″軸，交x″軸于點(diǎn)C′，
在△O′B′C′中，∠B′O′C′=30°，∠B′C′O′=135°，O′B′=2，
由正弦定理得B′C′sin30°=O′B′sin135°，
于是得B′C′= 2，且原圖中BC即為B到x軸的距離，
由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，在原平面圖形中，頂點(diǎn)B到x軸的距離是2 2.
故選：D.
根據(jù)題意，先由正弦定理求出直觀圖的B′C′，再由斜二測(cè)畫法規(guī)則求出B到x軸的距離即可．
本題考查平面圖形的直觀圖，涉及正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】A
【解析】解：因?yàn)閎=a(csC+ 33sinC)，
所以由正弦定理化簡(jiǎn)可得：sinB=sinAcsC+ 33sinAsinC，
又sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以 33sinAsinC=csAsinC，
因?yàn)閟inC>0，可得tanA= 3，
由于A∈(0,π)，
可得：A=π3，
因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，D在BC邊上，可得∠BAD=∠DAC=π6，
所以由余弦定理可得BD= 3+c2?2× 3×c× 32，CD= 3+b2?2×b× 3× 32，
因?yàn)閎=3c，
所以CD=3BD，即 3+b2?2×b× 3× 32=3 3+c2?2× 3×c× 32，整理可得c=43，b=4，
所以由余弦定理可得a= (43)2+42?2×43×4×12=4 73.
故選：A.
利用正弦定理把題設(shè)等式中的角的正弦轉(zhuǎn)換成邊的關(guān)系，代入余弦定理中求得csA的值，進(jìn)而求得A的值，由已知利用角平分線的性質(zhì)可得∠BAD=∠DAC=π6，由余弦定理，角平分線的性質(zhì)可得CD=3BD，進(jìn)而解得c，b的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得a的值．
本題主要考查了解三角形問題，考查了對(duì)正弦定理和余弦定理的靈活運(yùn)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
8.【答案】A
【解析】解：過點(diǎn)O作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分別為D，E，
如圖所示：
因O是△ABC外接圓圓心，則D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，
CO?CB=12|CB|2=12|CA|2?12|CB|2+|CA|2+|CB|2?22=|CA|2?1，
在△ABC中，AB=CB?CA，則|AB|2=|CA|2+|CB|2?2CA?CB，
即CA?CB=|CA|2+|CB|2?22，CO?CA=|CO||CA|cs∠OCA=|CD|?|CA|=12|CA|2，
由正弦定理得：|CA|=|AB|sinBsin∠ACB= 2sinBsinπ4=2sinB≤2，當(dāng)且僅當(dāng)B=π2時(shí)取“=”，
所以O(shè)C?AB+CA?CB的最大值為3.
故選：A.
直接利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算以及正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
9.【答案】AB
【解析】解：根據(jù)空間幾何體的定義：
對(duì)于A，由棱錐的定義知由一個(gè)底面為多邊形，
其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，故A正確；
對(duì)于B，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面，故B正確；
對(duì)于C，有兩面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺(tái)，
∵不能保證各側(cè)面的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分不一定為棱臺(tái)，
因?yàn)椴荒鼙ＷC截面與底面平行，故D錯(cuò)誤．
故選：AB.
根據(jù)空間幾何體的定義，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷正誤即可，AB選項(xiàng)說法正確，C選項(xiàng)必須還要保證各條側(cè)棱所在直線交于同一點(diǎn)，D選項(xiàng)必須保證這個(gè)平面平行于底面．
本題考查命題真假的判斷，考查棱錐、球面、棱臺(tái)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．
10.【答案】ACD
【解析】解：A中，因?yàn)閍=2，A=30°，由正弦定理知asinA=bsinB=csinC=212=4，
所以b=4sinB，c=4sinC，
所以2b2sinB=csinC=4可得2b+c2sinB+sinC=4，
由bsinB=2c2sinC=4可得b+2csinB+2sinC=4，故A正確；
B中，由正弦定理可知asinA=bsinB，即8sinA=10sin60°，
解得sinA=2 35，
又a

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