1.下列說法中正確的是( )
A. 直四棱柱是長方體
B. 圓柱的母線和它的軸可以不平行
C. 正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形
D. 以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐
2.設(shè)α，β是兩個(gè)平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是( )
A. 若α⊥β，m/?/α，l/?/β，則m⊥l
B. 若m?α，l?β，m/?/l，則α/?/β
C. 若α∩β=m，l/?/α，l/?/β，則m/?/l
D. 若m⊥α，l⊥β，m/?/l，則α⊥β
3.已知某平面圖形的斜二測(cè)畫法直觀圖是一個(gè)邊長為2的正方形A′B′C′D′，如圖所示，則該平面圖形的面積是( )
A. 8
B. 8 2
C. 16
D. 16 2
4.如圖1，在高為h的直三棱柱容器ABC?A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為A1B1C(如圖2)，則容器的高h(yuǎn)為( )
A. 3B. 4C. 4 2D. 6
5.如圖所示的三棱柱ABC?A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=2，當(dāng)四棱錐B?A1ACC1體積最大時(shí)，三棱柱ABC?A1B1C1外接球的體積為( )
A. 163π
B. 4 23π
C. 8 23π
D. 43π
6.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，過A點(diǎn)分別作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F，連接EF當(dāng)△AEF的面積最大時(shí)，tan∠BPC的值是( )
A. 2
B. 22
C. 3
D. 33
7.三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問題的重要依據(jù).三面角P?ABC是由有公共端點(diǎn)P且不共面的三條射線PA，PB，PC以及相鄰兩射線間的平面部分所組成的圖形，設(shè)∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，平面APC與平面BPC所成的角為θ，由三面角余弦定理得csθ=csγ?csα?csβsinα?sinβ.在三棱錐P?ABC中，PA=6，∠APC=60°，∠BPC=45°，∠APB=90°，PB+PC=6，則三棱錐P?ABC體積的最大值為( )
A. 27 24B. 274C. 92D. 94
8.《九章算術(shù)?商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉腝夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形(至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形)，其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示，底面ABCD為正方形，EF=4，其余棱長為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為( )
A. 2 2πB. 4 2πC. 8 23πD. 2π
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. 若直線a不平行于平面α，a?α，則α內(nèi)不存在與a平行的直線
B. 若一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面β，則α/?/β
C. 設(shè)l，m，n為直線，m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的充要條件
D. 若平面α⊥平面α1，平面β⊥平面β1，則平面α與平面β所成的二面角和平面α1與平面β1所成的二面角相等或互補(bǔ)
10.如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B/?/ED，AB=ED=2FB.記三棱錐E?ACD，F(xiàn)?ABC，F(xiàn)?ACE的體積分別為V1，V2，V3，則( )
A. V3=2V2
B. V3=V1
C. V3=V1+V2
D. 2V3=3V1
11.已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為r上=1，r下=2，母線AB長為2，E為母線AB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 圓臺(tái)母線AB與底面所成角為60°
B. 圓臺(tái)的側(cè)面積為12π
C. 圓臺(tái)外接球半徑為2
D. 在圓臺(tái)的側(cè)面上，從C到E的最短路徑的長度為5
12.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=2.若鱉臑P?ABC外接球的體積為323π，則當(dāng)此鱉臑的體積最大時(shí)，下列結(jié)論正確的是( )
A. PA=BC= 6
B. 鱉臑P?ABC體積的最大值為6
C. 直線PC與平面PAB所成角的正弦值為 64
D. 鱉臑P?ABC內(nèi)切球的半徑為 15? 63
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為______．
14.如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=16.若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為______．
15.如圖，已知矩形ABCD中，AB=43BC=8，現(xiàn)沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，連接BD，得到三棱錐B?ACD，則其外接球的體積為______．
16.已知三棱錐P?ABC，平面PBC⊥平面ABC，Q為BC中點(diǎn)，PB=PC=AB=BC=AC=2，則過點(diǎn)Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
如圖：三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，球心位于上下底面所在的兩個(gè)平行平面之間，AA1=BB1=CC1= 10，△ABC和△A1B1C1分別是邊長為 3和2 3的正三角形．
(1)求三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的表面積；
(2)計(jì)算球O的體積．
18.(本小題12分)
如圖，將邊長為 2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得點(diǎn)D到點(diǎn)D′的位置，連接BD′，O為AC的中點(diǎn)．

(1)若平面D′AC⊥平面ABC，求點(diǎn)O到平面D′BC的距離；
(2)不考慮點(diǎn)D′與點(diǎn)B重合的位置，若二面角A?BD′?C的余弦值為?23，求BD′的長度．
19.(本小題12分)
如圖1所示，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AB上，點(diǎn)D在線段BC上，AE=EF=FB=1，CE=2，DF=1，CE⊥AB.將△ACE，△BDF分別沿CE，DF折起至點(diǎn)A，B重合為點(diǎn)G，形成如圖2所示的幾何體W，在幾何體W中作答下面的問題．
(1)證明：平面EFG⊥平面CEFD；
(2)求點(diǎn)D到平面CFG的距離．
20.(本小題12分)
如圖，平面四邊形ABCD由等腰直角△ABC和等邊△ACD拼接而成，將△ACD沿AC折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且BP=AB．
(1)求證：平面ACP⊥平面ABC；
(2)求二面角P?AB?C的余弦值．
21.(本小題12分)
圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠CBF=60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②．
(1)證明：平面ABC⊥平面BCGE；
(2)證明：DG/?/平面ABC；
(3)求直線AG與平面ABC所成角的正切值．
22.(本小題12分)
如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，AB=2，∠DAB=π3，F(xiàn)A=FC= 6，記平面AEF與平面ABCD的交線為l．
(1)證明：BD/?/l；
(2)證明：平面BDEF⊥平面ABCD；
(3)記平面AEF與平面ABCD夾角為α，若正實(shí)數(shù)m，n滿足mcs2θ=sinθ?tcsθnsin2θ=csθ+tsinθ，03 32tanα．
【解析】(1)推導(dǎo)出BD/?/EF，從而BD/?/平面AEF，由此能證明BD/?/l．
(2)連AC交BD于點(diǎn)O，連FO，推導(dǎo)出AC⊥平面BDEF，由此能證明平面BDEF⊥平面ABCD．
(3)推導(dǎo)出OA= 3，OB=1，BD=2，BF=BD=2，F(xiàn)O= FA2?OA2= 3，由勾股定理得OF⊥OB，從而BD⊥平面FOA，BD/?/l，從而l⊥平面FOA，∠FAO即為平面AEF與平面ABCD的夾角，平面AEF與平面ABCD夾角的大小為π4，推導(dǎo)出mcs2θsinθ+nsin2θcsθ=1，由此能證明m+n>3 32tanα．
本題考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

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