TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2722" 【題型1 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】 PAGEREF _Tc2722 \h 1
\l "_Tc17883" 【題型2 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc17883 \h 2
\l "_Tc19159" 【題型3 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc19159 \h 3
\l "_Tc18330" 【題型4 旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)與圖形變換】 PAGEREF _Tc18330 \h 4
\l "_Tc24347" 【題型5 作圖-旋轉(zhuǎn)變換】 PAGEREF _Tc24347 \h 6
\l "_Tc7276" 【題型6 中心對(duì)稱圖形及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】 PAGEREF _Tc7276 \h 8
\l "_Tc4463" 【題型7 旋轉(zhuǎn)中的周期性問題】 PAGEREF _Tc4463 \h 9
\l "_Tc16949" 【題型8 旋轉(zhuǎn)中的多結(jié)論問題】 PAGEREF _Tc16949 \h 10
\l "_Tc31848" 【題型9 旋轉(zhuǎn)中的最值問題】 PAGEREF _Tc31848 \h 12
\l "_Tc13422" 【題型10 旋轉(zhuǎn)的綜合】 PAGEREF _Tc13422 \h 13
【知識(shí)點(diǎn)1 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】
在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為（-x,-y）。
【題型1 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】
【例1】（2023春?平陰縣期末）點(diǎn)A（﹣2，3）與點(diǎn)B（a，b）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則a+b的值為 ．
【變式1-1】（2023秋?雨花區(qū)期末）若點(diǎn)A（m，5）與點(diǎn)B（2，n）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則3m+2n的值為 ．
【變式1-2】（2023秋?常熟市期末）已知點(diǎn)P（2m﹣1，﹣m+3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在第三象限，則m的取值范圍是 ．
【變式1-3】（2023春?永新縣期末）已知點(diǎn)P（3+2a，2a+1）與點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，若點(diǎn)P′在第二象限，且a為整數(shù)，則關(guān)于x的分式方程2x?ax+1=3的解是 ．
【知識(shí)點(diǎn)2 旋轉(zhuǎn)的定義】
在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。
我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。
【知識(shí)點(diǎn)3 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】
旋轉(zhuǎn)的特征：
（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。
理解以下幾點(diǎn)：
（1）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。
（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。
（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。
【題型2 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】
【例2】（2023春?梅州校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，若OD＝AD，則∠BOC的度數(shù)為 ．
【變式2-1】（2023?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【變式2-2】（2023?天津一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，點(diǎn)D在邊AB上，將△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°，得到△AD'B，且D'，D，C三點(diǎn)在同一條直線上，則∠ACD的大小為（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【變式2-3】（2023?城步縣模擬）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，則以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為（ ）
A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：5D．5：6：7
【題型3 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】
【例3】（2023春?儀征市期末）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到正方形AEFG，連接CF，則CF的長(zhǎng)是（ ）
A．1B．2C．3D．32?3
【變式3-1】（2023春?如皋市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，連接BB′，則B′B的長(zhǎng)為（ ）
A．23B．5C．25D．6
【變式3-2】（2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時(shí)線段A′B′與BO的交點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，則線段B′E的長(zhǎng)度為（ ）
A．35B．1255C．955D．1655
【變式3-3】（2023春?和平區(qū)期末）如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一條直線上時(shí)，線段BE的長(zhǎng)為（ ）
A．23B．27C．3或7D．23或27
【題型4 旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)與圖形變換】
【例4】（2023秋?黃石期末）如圖，線段AB與線段CD關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，若點(diǎn)A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1）D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【變式4-1】（2023秋?本溪期末）如圖，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣4，2）B．（﹣23，4）C．（﹣23，2）D．（﹣2，23）
【變式4-2】（2023秋?西湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△MNP繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）
【變式4-3】（2023?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，Rt△AOB的斜邊AO在y軸上，OB=3，∠AOB＝30°，直角頂點(diǎn)B在第二象限，將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△A′OB'，則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（ ）
A．（3，﹣1）B．（1，?3）C．（2，0）D．（3，0）
【知識(shí)點(diǎn)4 利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】
旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：
任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。
步驟可分為：
①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；
②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）
③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
④接：即連接到所連接的各點(diǎn)。
【知識(shí)點(diǎn)5 中心對(duì)稱圖形的定義】
把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就就是它的對(duì)稱中心。
【知識(shí)點(diǎn)6 中心對(duì)稱的性質(zhì)】
有以下幾點(diǎn)：
（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且都被對(duì)稱中心平分；
（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠互相重合，就是全等形；
（3）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等。
【知識(shí)點(diǎn)7 作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圖形】
要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對(duì)稱的圖形，關(guān)鍵就是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)。最后將對(duì)稱點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來，即可的出成中心對(duì)稱圖形。
【題型5 作圖-旋轉(zhuǎn)變換】
【例5】（2023春?化州市校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的△A1B1C1，請(qǐng)畫出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到對(duì)應(yīng)的△A2B2C2，請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2．
【變式5-1】（2023春?洪雅縣期末）如圖，在所給網(wǎng)格圖（ 每小格均為邊長(zhǎng)是1的正方形）中完成下列各題：
（1）將△ABC向下平移5個(gè)單位得△A1B1C1，畫出平移后的△A1B1C1．
（2）畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱的圖形．
（3）在直線l上找一點(diǎn)P，使△ABP的周長(zhǎng)最小．
【變式5-2】（2023春?蒲城縣期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1、C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；
（2）以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2，點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A2、B2、C2，請(qǐng)畫出△A2B2C2．
【變式5-3】（2023秋?利通區(qū)期末）方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）畫出△ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1B1C1；并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)；
（2）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A2B2C2；并寫出A2、B2、C2的坐標(biāo)．
【題型6 中心對(duì)稱圖形及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】
【例6】（2023秋?單縣校級(jí)月考）如圖所示的圖案中，是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是 ．
【變式6-1】（2023秋?普陀區(qū)期末）在下列圖形中：等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰梯形，其中有 個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．
【變式6-2】（2023秋?孝義市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奧會(huì)將隆重開幕，北京將成為世界上第一個(gè)既舉辦過夏季奧運(yùn)會(huì)，又舉辦過冬季奧運(yùn)會(huì)的城市．下面圖片是在北京冬奧會(huì)會(huì)徽征集過程中，征集到的一幅圖片，整個(gè)圖片由“京字組成的雪花圖案”、“beijing2022”、“奧運(yùn)五環(huán)”三部分組成．對(duì)于圖片中的“雪花圖案”，至少旋轉(zhuǎn) °能與原雪花圖案重合．
【變式6-3】（2023春?景德鎮(zhèn)期中）如圖，由4個(gè)全等的正方形組成的L形圖案，請(qǐng)按下列要求畫圖：
（1）在圖案①中添加1個(gè)正方形，使它成軸對(duì)稱圖形（不能是中心對(duì)稱圖形）；
（2）在圖案②中添加1個(gè)正方形，使它成中心對(duì)稱圖形（不能是軸對(duì)稱圖形）；
（3）在圖案③中改變1個(gè)正方形的位置，從而得到一個(gè)新圖形，使它既成中心對(duì)稱圖形，又成軸對(duì)稱圖形．
【題型7 旋轉(zhuǎn)中的周期性問題】
【例7】（2023春?高新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（1，0），將點(diǎn)P0繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)P1，延長(zhǎng)OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再將點(diǎn)P2繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到P3，延長(zhǎng)OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此繼續(xù)下去，點(diǎn)P2023坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣21010，3?21010）B．（0，21011）
C．（21010，3?21010）D．（3?21010，21010）
【變式7-1】（2023秋?中原區(qū)校級(jí)期末）將△OBA按如圖方式放在平面直角坐標(biāo)系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），將△OBA繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．(?1，3)B．(?3，1)C．(?33，1)D．(?1，33)
【變式7-2】（2023?開封一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針選擇45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，繞O點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），那么點(diǎn)B2022的坐標(biāo)為（ ）
A．(0，?2)B．(?2，0)C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
【變式7-3】（2023春?高州市期中）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，OA＝OB＝2，AD＝42，將矩形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，4）B．（﹣6，4）C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）
【題型8 旋轉(zhuǎn)中的多結(jié)論問題】
【例8】（2023?益陽(yáng)）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【變式8-1】（2023春?邗江區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，若點(diǎn)E在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF、CF．點(diǎn)P在CD上，且CP＝3PD．給出以下幾個(gè)結(jié)論①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③線段PF的最小值是42，④△CFE的面積最大是16．其中正確的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【變式8-2】（2023春?雙牌縣期末）一副三角板如圖擺放，點(diǎn)F是45°角三角板ABC的斜邊的中點(diǎn)，AC＝4．當(dāng)30°角三角板DEF的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點(diǎn)M，N．在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：①M(fèi)F＝NF；②四邊形CMFN有可能是正方形：③MN長(zhǎng)度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式8-3】（2023春?德州期中）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等．給出如下四個(gè)結(jié)論：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，四邊形OEBF的面積隨EF的長(zhǎng)度變化而變化；③△BEF周長(zhǎng)的最小值為(1+2)OA；④AE2+CF2＝2OB2．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①③B．②③C．①④D．③④
【題型9 旋轉(zhuǎn)中的最值問題】
【例9】（2023?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝ ，F(xiàn)B+FD的最小值為 ．
【變式9-1】（2023春?大埔縣期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD＝3，AB＝AE＝5．連接BD，CE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)∠DBA最大時(shí)，S△ACE＝（ ）
A．6B．62C．9D．92
【變式9-2】（2023春?龍崗區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E是等邊三角形△ABC邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，并繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF．若運(yùn)動(dòng)過程中AF的最小值為3+1，則AB的值為（ ）
A．2B．43C．23D．4
【變式9-3】（2023春?南京期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且BF＝1，將點(diǎn)E繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，連接DG，則DG的長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．2B．22C．3D．10
【題型10 旋轉(zhuǎn)的綜合】
【例10】（2023春?長(zhǎng)沙期末）如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
（1）在圖1中，∠DPC＝ ；
（2）①如圖2，若三角板PBD保持不動(dòng)，三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/秒，轉(zhuǎn)動(dòng)一周三角板PAC就停止轉(zhuǎn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為多少時(shí)，有PC∥DB成立；
②如圖3，在圖1基礎(chǔ)上，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為2°/秒，當(dāng)PC轉(zhuǎn)到與PA重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CPD＝∠BPM時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少？
【變式10-1】（2023春?南川區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，連接EC，EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF、AF，CF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G．
（1）若BE＝2，求AF的長(zhǎng)度；
（2）求證：AF+2BG=2AD．
【變式10-2】（2023?平邑縣一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線BC上（不與點(diǎn)B、C重合），連接DB，DE，將DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接BF．
（1）如圖1，點(diǎn)E在BC邊上．
①依題意補(bǔ)全圖1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，用等式表示線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系．
【變式10-3】（2023?泰安一模）如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，使點(diǎn)C恰好落到線段AD上的E點(diǎn)處，連接CE，連接CG交BE于點(diǎn)H．
（1）求證：CE平分∠BED；
（2）取BC的中點(diǎn)M，連接MH，求證：MH∥BG；
（3）若BC＝2AB＝4，求CG的長(zhǎng)．
專題9.1 旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱【十大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2722" 【題型1 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】 PAGEREF _Tc2722 \h 1
\l "_Tc17883" 【題型2 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc17883 \h 3
\l "_Tc19159" 【題型3 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc19159 \h 6
\l "_Tc18330" 【題型4 旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)與圖形變換】 PAGEREF _Tc18330 \h 10
\l "_Tc24347" 【題型5 作圖-旋轉(zhuǎn)變換】 PAGEREF _Tc24347 \h 14
\l "_Tc7276" 【題型6 中心對(duì)稱圖形及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】 PAGEREF _Tc7276 \h 18
\l "_Tc4463" 【題型7 旋轉(zhuǎn)中的周期性問題】 PAGEREF _Tc4463 \h 20
\l "_Tc16949" 【題型8 旋轉(zhuǎn)中的多結(jié)論問題】 PAGEREF _Tc16949 \h 24
\l "_Tc31848" 【題型9 旋轉(zhuǎn)中的最值問題】 PAGEREF _Tc31848 \h 30
\l "_Tc13422" 【題型10 旋轉(zhuǎn)的綜合】 PAGEREF _Tc13422 \h 34
【知識(shí)點(diǎn)1 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】
在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為（-x,-y）。
【題型1 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】
【例1】（2023春?平陰縣期末）點(diǎn)A（﹣2，3）與點(diǎn)B（a，b）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則a+b的值為 ﹣1 ．
分析：根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可直接得到答案．
【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣2，3）與點(diǎn)B（a，b）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【變式1-1】（2023秋?雨花區(qū)期末）若點(diǎn)A（m，5）與點(diǎn)B（2，n）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則3m+2n的值為 ﹣16 ．
分析：平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣x，﹣y），記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．
【解答】解：∵點(diǎn)A（m，5）與點(diǎn)B（2，n）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴m＝﹣2，n＝﹣5，
∴3m+2n＝﹣6﹣10＝﹣16．
故答案為：﹣16．
【變式1-2】（2023秋?常熟市期末）已知點(diǎn)P（2m﹣1，﹣m+3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在第三象限，則m的取值范圍是 12＜m＜3 ．
分析：根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)可得P在第一象限，進(jìn)而可得2m?1＞0?m+3＞0，再解不等式組即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P（2m﹣1，﹣m+3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在第三象限，
∴點(diǎn)P（2m﹣1，﹣m+3）在第一象限，
∴2m?1＞0?m+3＞0，
解得：12＜m＜3，
故答案為：12＜m＜3．
【變式1-3】（2023春?永新縣期末）已知點(diǎn)P（3+2a，2a+1）與點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，若點(diǎn)P′在第二象限，且a為整數(shù)，則關(guān)于x的分式方程2x?ax+1=3的解是 x＝﹣2 ．
分析：根據(jù)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，得到P橫縱坐標(biāo)都小于0，求出a的范圍，確定出a的值，代入方程計(jì)算即可求出解．
【解答】解：∵P（3+2a，2a+1）與點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，若點(diǎn)P′在第二象限，且a為整數(shù)，
∴3+2a＞02a+1＜0，
解得：?32＜a＜?12，即a＝﹣1，
當(dāng)a＝﹣1時(shí)，所求方程化為2x+1x+1=3，
解得：x＝﹣2，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣2是分式方程的解，
則方程的解為﹣2．
故答案為x＝﹣2
【知識(shí)點(diǎn)2 旋轉(zhuǎn)的定義】
在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。
我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。
【知識(shí)點(diǎn)3 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】
旋轉(zhuǎn)的特征：
（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。
理解以下幾點(diǎn)：
（1）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。
（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。
（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。
【題型2 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】
【例2】（2023春?梅州校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，若OD＝AD，則∠BOC的度數(shù)為 140° ．
分析：設(shè)∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不發(fā)生變化，易證△COD是等邊△OCD，從而利用α分別表示出∠AOD與∠ADO，再根據(jù)等腰△AOD的性質(zhì)求出α．
【解答】解：設(shè)∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，△BOC≌△ADC，則OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．
又∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，
∴∠OCD＝60°，
∴△OCD是等邊三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，
∵OD＝AD，
∴∠AOD＝∠DAO．
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，
解得α＝140°．
故答案是：140°．
【變式2-1】（2023?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
分析：利用旋轉(zhuǎn)不變性，三角形內(nèi)角和定理和平角的意義解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故選：B．
【變式2-2】（2023?天津一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，點(diǎn)D在邊AB上，將△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°，得到△AD'B，且D'，D，C三點(diǎn)在同一條直線上，則∠ACD的大小為（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
分析：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AD'D＝70°，∠D'AC＝80°，即可求∠ACD的度數(shù)．
【解答】解：∵將△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△AD′B，
∴∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'
∴∠AD'D=12×（180°﹣40°）＝70°，∠D'AC＝∠BAC+∠BAD'＝80°，
∴∠ACD＝180°﹣∠AD'D﹣∠D'AC＝30°；
故選：B．
【變式2-3】（2023?城步縣模擬）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，則以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為（ ）
A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：5D．5：6：7
分析：將△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，顯然有△ADC≌△APB，連PD，則AD＝AP，∠DAP＝60°，得到△ADP是等邊三角形，PD＝AP，所以△DCP的三邊長(zhǎng)分別為PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，這樣可分別求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案．
【解答】解：如圖，將△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
顯然有△ADC≌△APB，連PD，
∵AD＝AP，∠DAP＝60°，
∴△ADP是等邊三角形，
∴PD＝AP，
∵DC＝PB，
∴△DCP的三邊長(zhǎng)分別為PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，
∴∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，
∴∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，
∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，
∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，
∴以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為2：3：4．
故選：B．
【題型3 利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】
【例3】（2023春?儀征市期末）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到正方形AEFG，連接CF，則CF的長(zhǎng)是（ ）
A．1B．2C．3D．32?3
分析：連接AC、AF，證明△ACF為等邊三角形，求得AC便可得出結(jié)果．
【解答】解：連接AC、AF，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，AC＝AF，∠CAF＝60°，
∴△ACF為等邊三角形，
∴AC＝CF，
∵AC=2AB=2，
∴CF=2，
故選：B．
【變式3-1】（2023春?如皋市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，連接BB′，則B′B的長(zhǎng)為（ ）
A．23B．5C．25D．6
分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并利用勾股定理進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴根據(jù)勾股定理得：AB=AC2+BC2=32+42=5，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC＝AC'＝3，BC＝B'C'＝4，
∴BC'＝AB﹣AC'＝5﹣3＝2，
∴BB'=B′C2+BC′2=42+22=25，
故選：C．
【變式3-2】（2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時(shí)線段A′B′與BO的交點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，則線段B′E的長(zhǎng)度為（ ）
A．35B．1255C．955D．1655
分析：由勾股定理求出AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，從而得到OE＝A′O，過點(diǎn)O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面積求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，
∴AB=AO2+BO2=42+82=45，
∵△AOB繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，
∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝45，
∵點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，
∴OE=12BO=12×8＝4，
∴OE＝A′O＝4，
過點(diǎn)O作OF⊥A′B′于F，如圖，
S△A′OB′=12×45?OF=12×4×8，
解得：OF=855，
在Rt△EOF中，EF=OE2?OF2=42?(855)2=455，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×455=855，
∴B′E＝A′B′﹣A′E=45?855=1255．
故選：B．
【變式3-3】（2023春?和平區(qū)期末）如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一條直線上時(shí)，線段BE的長(zhǎng)為（ ）
A．23B．27C．3或7D．23或27
分析：分兩種情況：①當(dāng)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，過A作AM⊥BE于M，根據(jù)△ABC與△CDE都是等邊三角形，CD＝4，BC＝2，可得AE＝AB，∠AEB＝∠ABE＝30°，在Rt△ABM中，可得BM=3，從而BE＝2BM＝23；②當(dāng)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過B作BN⊥AC于N，在Rt△BCN中，CN=12BC＝1，BN=3CN=3，在Rt△BNE中，BE=BN2+NE2=27．
【解答】解：①當(dāng)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，過A作AM⊥BE于M，如圖：
∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，CD＝4，BC＝2，
∴AE＝CE﹣AC＝4﹣2＝2，∠BAC＝60°，
∴AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝30°，
在Rt△ABM中，
AM=12AB＝1，BM=3AM=3，
∴BE＝2BM＝23；
②當(dāng)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過B作BN⊥AC于N，如圖：
在Rt△BCN中，
CN=12BC＝1，BN=3CN=3，
∴NE＝CE+CN＝4+1＝5，
在Rt△BNE中，
BE=BN2+NE2=(3)2+52=27；
綜上所述，線段BE的長(zhǎng)為23或27，
故選：D．
【題型4 旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)與圖形變換】
【例4】（2023秋?黃石期末）如圖，線段AB與線段CD關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，若點(diǎn)A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1）D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
分析：運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求答案．
【解答】解：設(shè)C（m，n），
∵線段AB與線段CD關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，
點(diǎn)P為線段AC、BD的中點(diǎn)．
∴a+m2=5?32，b+n2=1?12，
∴m＝2﹣a，n＝﹣b，
∴C（2﹣a，﹣b），
故選：B．
【變式4-1】（2023秋?本溪期末）如圖，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣4，2）B．（﹣23，4）C．（﹣23，2）D．（﹣2，23）
分析：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，設(shè)OH＝m，則BH＝6﹣m，利用勾股定理構(gòu)建方程求出m，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，設(shè)OH＝m，則BH＝6﹣m，
∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣m2＝（27）2﹣（6﹣m）2，
∴m＝2，
∴AH=42?22=23，
∴A（2，23），
∴將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′（﹣23，2），
【變式4-2】（2023秋?西湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△MNP繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）
分析：如圖，連接OM，OM1，過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)M1作M1T⊥x軸于點(diǎn)T．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：如圖，連接OM，OM1，過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)M1作M1T⊥x軸于點(diǎn)T．
∵M(jìn)（1，﹣2），
∴MH＝1，OH＝2，
∵∠MOM1＝∠POT，
∴∠MOH＝∠M1OT，
∵∠MHO＝∠M1TO＝90°，OM＝OM1，
∴△MHO≌△M1TO（AAS），
∴MH＝M1T＝1，OH＝OT＝2，
∴M1（2，1），
故選：C．
【變式4-3】（2023?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，Rt△AOB的斜邊AO在y軸上，OB=3，∠AOB＝30°，直角頂點(diǎn)B在第二象限，將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△A′OB'，則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（ ）
A．（3，﹣1）B．（1，?3）C．（2，0）D．（3，0）
分析：如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC＝1，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，然后利用第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖，
在Rt△OAB中，∵∠BOA＝30°，
∴AB=33OB=33×3=1，
∵Rt△OCB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OA′B'，
∴OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，﹣1）．
故選：A．
【知識(shí)點(diǎn)4 利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】
旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：
任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。
步驟可分為：
①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；
②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）
③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
④接：即連接到所連接的各點(diǎn)。
【知識(shí)點(diǎn)5 中心對(duì)稱圖形的定義】
把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就就是它的對(duì)稱中心。
【知識(shí)點(diǎn)6 中心對(duì)稱的性質(zhì)】
有以下幾點(diǎn)：
（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且都被對(duì)稱中心平分；
（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠互相重合，就是全等形；
（3）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等。
【知識(shí)點(diǎn)7 作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圖形】
要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對(duì)稱的圖形，關(guān)鍵就是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)。最后將對(duì)稱點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來，即可的出成中心對(duì)稱圖形。
【題型5 作圖-旋轉(zhuǎn)變換】
【例5】（2023春?化州市校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的△A1B1C1，請(qǐng)畫出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到對(duì)應(yīng)的△A2B2C2，請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2．
分析：（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
【變式5-1】（2023春?洪雅縣期末）如圖，在所給網(wǎng)格圖（ 每小格均為邊長(zhǎng)是1的正方形）中完成下列各題：
（1）將△ABC向下平移5個(gè)單位得△A1B1C1，畫出平移后的△A1B1C1．
（2）畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱的圖形．
（3）在直線l上找一點(diǎn)P，使△ABP的周長(zhǎng)最?。?br>分析：（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；
（2）直接利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置；
（3）利用軸對(duì)稱求最短路線的方法得出答案．
【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；
（2）如圖所示：△DEF，即為所求；
（3）如圖所示：P點(diǎn)位置，使△ABP的周長(zhǎng)最小．
【變式5-2】（2023春?蒲城縣期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1、C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；
（2）以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2，點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A2、B2、C2，請(qǐng)畫出△A2B2C2．
分析：（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，點(diǎn)C1的坐標(biāo)（﹣2，3）；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
【變式5-3】（2023秋?利通區(qū)期末）方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）畫出△ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1B1C1；并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)；
（2）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A2B2C2；并寫出A2、B2、C2的坐標(biāo)．
分析：（1）根據(jù)題意所述的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度找到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可得出△A1B1C1，結(jié)合直角坐標(biāo)系可得出各點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）找到各點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，順次連接可得到△A2B2C2，結(jié)合直角坐標(biāo)系可得出各點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）所畫圖形如下：
結(jié)合圖形可得A1坐標(biāo)為（3，﹣1）；B1坐標(biāo)為（1，0）；C1坐標(biāo)為（2，﹣2）；
（2）所畫圖形如下所示：
結(jié)合圖形可得A2坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；B2坐標(biāo)為（﹣1，0）；C2坐標(biāo)為（﹣3，﹣1）．
【題型6 中心對(duì)稱圖形及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】
【例6】（2023秋?單縣校級(jí)月考）如圖所示的圖案中，是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是 1 ．
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：第一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形，共1個(gè)．
故答案為：1．
【變式6-1】（2023秋?普陀區(qū)期末）在下列圖形中：等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰梯形，其中有 4 個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．
分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．解答即可．
【解答】解：在等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰梯形只有等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．
故答案為4；
【變式6-2】（2023秋?孝義市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奧會(huì)將隆重開幕，北京將成為世界上第一個(gè)既舉辦過夏季奧運(yùn)會(huì)，又舉辦過冬季奧運(yùn)會(huì)的城市．下面圖片是在北京冬奧會(huì)會(huì)徽征集過程中，征集到的一幅圖片，整個(gè)圖片由“京字組成的雪花圖案”、“beijing2022”、“奧運(yùn)五環(huán)”三部分組成．對(duì)于圖片中的“雪花圖案”，至少旋轉(zhuǎn) 60 °能與原雪花圖案重合．
分析：“雪花圖案”可以看成正六邊形，根據(jù)正六邊形的中心角為60°，即可解決問題．
【解答】解：“雪花圖案”可以看成正六邊形，
∵正六邊形的中心角為60°，
∴這個(gè)圖案至少旋轉(zhuǎn)60°能與原雪花圖案重合．
故答案為：60．
【變式6-3】（2023春?景德鎮(zhèn)期中）如圖，由4個(gè)全等的正方形組成的L形圖案，請(qǐng)按下列要求畫圖：
（1）在圖案①中添加1個(gè)正方形，使它成軸對(duì)稱圖形（不能是中心對(duì)稱圖形）；
（2）在圖案②中添加1個(gè)正方形，使它成中心對(duì)稱圖形（不能是軸對(duì)稱圖形）；
（3）在圖案③中改變1個(gè)正方形的位置，從而得到一個(gè)新圖形，使它既成中心對(duì)稱圖形，又成軸對(duì)稱圖形．
分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，先找出對(duì)稱軸，再思考如何畫圖；
（2）如一，也是先找一個(gè)中心，再根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，思考如何畫圖；
（3）根據(jù)中心對(duì)稱和軸對(duì)稱的性質(zhì)畫一個(gè)圖形．
注意此題有多種畫法，答案不唯一．
【解答】解：如圖所示．
（1）如圖（1），圖（2），圖（3）所示；
（2）如圖（4）所示；
（3）如圖（5），圖（6）所示．
【題型7 旋轉(zhuǎn)中的周期性問題】
【例7】（2023春?高新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（1，0），將點(diǎn)P0繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)P1，延長(zhǎng)OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再將點(diǎn)P2繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到P3，延長(zhǎng)OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此繼續(xù)下去，點(diǎn)P2023坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣21010，3?21010）B．（0，21011）
C．（21010，3?21010）D．（3?21010，21010）
分析：根據(jù)每次旋轉(zhuǎn)后線段的長(zhǎng)度是原來的2倍求出OP2023，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為30°求出每12次旋轉(zhuǎn)，24個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，然后用2023除以24，再根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出點(diǎn)P2023在第二象限與y軸正半軸夾角為30°，然后解答即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（1，0），
∴OP0＝1，
∴OP2＝2OP1＝2，OP3＝OP2＝2，OP4＝2OP3＝2×2＝22，
…，
OP2022＝21011，
∵2022÷24＝84余6，
∴點(diǎn)P2023是第85循環(huán)組的第7個(gè)點(diǎn)，在第二象限，與y軸正半軸夾角為30°，
∴點(diǎn)P2023的坐標(biāo)為（?210112，210112?3），即（﹣21010，3?21010）．
故選：A．
【變式7-1】（2023秋?中原區(qū)校級(jí)期末）將△OBA按如圖方式放在平面直角坐標(biāo)系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），將△OBA繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．(?1，3)B．(?3，1)C．(?33，1)D．(?1，33)
分析：6次一個(gè)循環(huán)，分別求出第一次到第六次的點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用規(guī)律解決問題即可．
【解答】解：∵A（1，3），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB=3，
∵∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝2，
∴第一次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（﹣1，3），
第二次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（﹣2，0），
第三次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（﹣1，?3），
第四次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（1，?3），
第五次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（2，0），
第六次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（1，3），
???，
6次一個(gè)循環(huán)，
∵2023÷6＝337???1，
∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，3），
故選：A．
【變式7-2】（2023?開封一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針選擇45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，繞O點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），那么點(diǎn)B2022的坐標(biāo)為（ ）
A．(0，?2)B．(?2，0)C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
分析：根據(jù)圖形可知：點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律是8次一循環(huán)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），
∴OC＝1，
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OC＝OA＝1，
∴B（1，1），
連接OB，如圖：
由勾股定理得：OB=12+12=2，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OB＝OB1＝OB2＝OB3=?=2，
∵將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，
相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（2，0），B2（1，﹣1），B3（0，?2），B4（﹣1，﹣1），B5（?2，0），B6（﹣1，1），…，
發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，則2022÷8＝252…6，
∴點(diǎn)B2022的坐標(biāo)為（﹣1，1），
故選：C．
【變式7-3】（2023春?高州市期中）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，OA＝OB＝2，AD＝42，將矩形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，4）B．（﹣6，4）C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）
分析：過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，連接OC，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出前4次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而求出第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，連接OC，
∵OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝42，
∴CE＝BE＝4，
∴OE＝OB+BE＝6，
∴C（﹣4，6），
∵矩形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，
則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4）；
則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，﹣6）；
則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣6，﹣4）；
則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，6）；
…
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，
∴2022÷4＝505???2，
則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，﹣6）．
故選：C．
【題型8 旋轉(zhuǎn)中的多結(jié)論問題】
【例8】（2023?益陽(yáng)）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°，通過推理證明對(duì)①②③④四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：①∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正確；
②∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正確；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′=12（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴C′B′與BB′不垂直．故③不正確；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′=12（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正確．
∴①②④這三個(gè)結(jié)論正確．
故選：B．
【變式8-1】（2023春?邗江區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，若點(diǎn)E在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF、CF．點(diǎn)P在CD上，且CP＝3PD．給出以下幾個(gè)結(jié)論①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③線段PF的最小值是42，④△CFE的面積最大是16．其中正確的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
分析：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△DEF為等腰直角三角形，進(jìn)而得到EF與DE的數(shù)量關(guān)系，便可判定①的正誤；
②證明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，再在直角△CEF中由勾股定理得EF2＝CF2+CE2，進(jìn)而得EF2＝AE2+CE2，便可判斷②的正誤；
③由∠DCF＝45°恒成立，所以當(dāng)PF⊥CF時(shí)，PF取最小值，求出此時(shí)的PF便可判斷③的正誤；
④先求得AE+CE＝AC=2AD=82，再根據(jù)（（AE﹣CE）2≥0求得AE?CE≤32，求得AE?CE的最大值為32，進(jìn)而求得△CFE的面積最大值，便可判斷④的正誤．
【解答】解：①∵由旋轉(zhuǎn)知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴EF=2DE，
故①正確；
②∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°，
∴EF2＝CF2+CE2，
∴EF2＝AE2+CE2，
故②正確；
③∵CP＝3PD．
∴PC=34CD＝6，
當(dāng)PF⊥CF時(shí)，PF取最小值，如圖，
∵∠DCF＝45°，
∴PF＝CF=22CP＝32，
故③錯(cuò)誤；
④∵∠ECF＝90°，
∴S△CEF=12CE?CF=12CE?AE，
∵AE+CE＝AC=2AD=82，
∴（AE﹣CE）2＝（AE+CE）2﹣4AE?CE＝128﹣4AE?CE≥0，
∴AE?CE≤32，
∴AE?CE的最大值為32，
∴△CFE的面積最大是12×32＝16，
故④正確；
故選：A．
【變式8-2】（2023春?雙牌縣期末）一副三角板如圖擺放，點(diǎn)F是45°角三角板ABC的斜邊的中點(diǎn)，AC＝4．當(dāng)30°角三角板DEF的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點(diǎn)M，N．在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：①M(fèi)F＝NF；②四邊形CMFN有可能是正方形：③MN長(zhǎng)度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
分析：利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個(gè)結(jié)論，找到正確的即可．
【解答】解：①連接CF，
∵F為AB中點(diǎn)，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM＝90°．
∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，
∴∠AFM＝∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，
∴∠A＝∠FCN，
在△AMF與△CNF中，
∠AFM=∠CFNAF=CF∠A=∠FCN，
∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF＝NF．
故①正確；
②當(dāng)MF⊥AC時(shí)，四邊形MFNC是矩形，此時(shí)MA＝MF＝MC，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可知②正確；
③連接MN，當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，CM＝CN，根據(jù)邊長(zhǎng)為4知CM＝CN＝2，此時(shí)MN最小，最小值為22，故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)M、N分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF＝S△AMF
∴S四邊形CDFE＝S△AFC．
故④正確；
故選：C．
【變式8-3】（2023春?德州期中）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等．給出如下四個(gè)結(jié)論：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，四邊形OEBF的面積隨EF的長(zhǎng)度變化而變化；③△BEF周長(zhǎng)的最小值為(1+2)OA；④AE2+CF2＝2OB2．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①③B．②③C．①④D．③④
分析：①由四邊形ABCD和A1B1C1O是正方形可知，易證得△BOE≌△COF（ASA），則可得Rt△OEF為等腰直角三角形；
②由（1）易證得S四邊形OEBF＝S△BOC=14S正方形ABCD，則可得出結(jié)論；
③BE+BF＝BF+CF＝BC=2OA，而EF的最小值為12AC＝OA，故可得結(jié)論③正確；
④由AE＝BF和EF2＝BE2+BF2，即可得結(jié)論．
【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
∠BOE=∠COFOB=OC∠OBE=∠OCF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，BE＝CF，
∴∠OEF＝45°，EF=2OE；故①正確；
②由①得△BOE≌△COF
∴S四邊形OEBF＝S△BOF+S△BOE＝S△BOF+S△COF＝S△BOC=14S正方形ABCD，
故②錯(cuò)誤；
③由①可知BE+BF＝BF+CF＝BC=2OA，EF=2OE，
△BEF周長(zhǎng)＝BE+BF+EF=2OA+2OE，
∵OA為定值，則OE最小時(shí)△BEF周長(zhǎng)的周長(zhǎng)最小，
∴當(dāng)OE⊥AB時(shí)OE最小，△BEF周長(zhǎng)的周長(zhǎng)最小，
此時(shí)OE=22OA，
∴△BEF周長(zhǎng)的周長(zhǎng)最小值=2OA+2OE=2OA+2×22OA＝（1+2）OA．
故③正確，
④∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝AE2+CF2，
又∵2OB2＝AB2＝（AE+CF）2．
∴AE2+CF2≠2OB2，故④錯(cuò)誤．
故選：A．
【題型9 旋轉(zhuǎn)中的最值問題】
【例9】（2023?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝ 30° ，F(xiàn)B+FD的最小值為 53 ．
分析：首先證明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長(zhǎng)．
【解答】解：如圖，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥CB，
∴∠BAE=12∠BAC＝30°，
∵△BEF是等邊三角形，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
BA=BC∠ABE=∠CBFBE=BF，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長(zhǎng)．
∵∠DCF＝∠FCG＝30°，
∴∠DCG＝60°，
∵CD＝CG＝5，
∴△CDG是等邊三角形，
∴DB＝DC＝DG，
∴∠CGB＝90°，
∴BG=BC2?CG2=102?52=53，
∴BF+DF的最小值為53，
故答案為：30°，53．
【變式9-1】（2023春?大埔縣期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD＝3，AB＝AE＝5．連接BD，CE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)∠DBA最大時(shí)，S△ACE＝（ ）
A．6B．62C．9D．92
分析：作DG⊥AB于G，CH⊥AE，交EA的延長(zhǎng)線于H，可知點(diǎn)D在以A為圓心，AD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AD⊥BD時(shí)，∠ABD最大，利用AAS證明△ADG≌△AHC，得CH＝DG，可說明△ACE的面積＝△ABD的面積，從而得出答案．
【解答】解：作DG⊥AB于G，CH⊥AE，交EA的延長(zhǎng)線于H，
∵AD＝3，
∴點(diǎn)D在以A為圓心，AD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)AD⊥BD時(shí)，∠ABD最大，
由勾股定理得BD＝4，
∵∠DAH＝∠CAB＝90°，
∴∠CAH＝∠DAB，
∵∠AGD＝∠H，AC＝CD，
∴△ADG≌△AHC（AAS），
∴CH＝DG，
∴△ACE的面積=12×AE×CH=12×AB×DG＝△ABD的面積=12×AD×BD=12×3×4=6，
【變式9-2】（2023春?龍崗區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E是等邊三角形△ABC邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，并繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF．若運(yùn)動(dòng)過程中AF的最小值為3+1，則AB的值為（ ）
A．2B．43C．23D．4
分析：由“SAS”可證△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，則點(diǎn)N在與AN成30°的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AF'⊥F'N時(shí)，AF'有最小值，即可求解．
【解答】解：如圖，連接BE，延長(zhǎng)AC至N，使EN＝BE，連接FN，
∵△ABC是等邊三角形，E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，
∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE=3AE，
∴∠BED＝∠CEF，
在△BDE和△NFE中，
BE=EN∠BED=∠NEFDE=EF，
∴△BDE≌△NFE（SAS），
∴∠N＝∠CBE＝30°，
∴點(diǎn)N在與AN成30°的直線上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)AF'⊥F'N時(shí)，AF'有最小值，
∴AF'=12AN，
∴3+1=12（AE+3AE），
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故選：D．
【變式9-3】（2023春?南京期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且BF＝1，將點(diǎn)E繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，連接DG，則DG的長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．2B．22C．3D．10
分析：過點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，可得∠GHF＝90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，從而可證△EBF≌△FHG，進(jìn)而可得BF＝GH＝1，最后可得點(diǎn)G在與BC平行且與BC的距離為1的直線上，從而可得當(dāng)點(diǎn)G在CD邊上時(shí)，DG的值最小，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，
∴∠GHF＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋轉(zhuǎn)得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴點(diǎn)G在與BC平行且與BC的距離為1的直線上，
∴當(dāng)點(diǎn)G在CD邊上時(shí)，DG最小且DG＝4﹣1＝3，
∴DG的最小值為3，
故選：C．
【題型10 旋轉(zhuǎn)的綜合】
【例10】（2023春?長(zhǎng)沙期末）如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
（1）在圖1中，∠DPC＝ 75° ；
（2）①如圖2，若三角板PBD保持不動(dòng)，三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/秒，轉(zhuǎn)動(dòng)一周三角板PAC就停止轉(zhuǎn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為多少時(shí)，有PC∥DB成立；
②如圖3，在圖1基礎(chǔ)上，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為2°/秒，當(dāng)PC轉(zhuǎn)到與PA重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CPD＝∠BPM時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少？
分析：（1）根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；
（2）①如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPN＝∠DBP＝90°，求得∠APN＝30°，于是得到結(jié)論；如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPB＝∠DBP＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CPA＝60°，求得∠APM＝30°，于是得到結(jié)論；
②設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，根據(jù)周角的定義得到∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案為：75°；
（2）①如圖1，此時(shí)，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，
∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3秒；
如圖2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)D的角度為180°+30°＝210°，
∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，
∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為21秒，
綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3或21秒時(shí)，PC∥DB成立；
②設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，
∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，
∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，
當(dāng)∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，
解得：t＝25，
∴當(dāng)∠CPD＝∠BPM，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是25秒．
【變式10-1】（2023春?南川區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，連接EC，EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF、AF，CF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G．
（1）若BE＝2，求AF的長(zhǎng)度；
（2）求證：AF+2BG=2AD．
分析：（1）由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的額性質(zhì)求得∠ABC＝∠EBC＝∠FEC＝90°，AB＝BC，EF＝EC，再利用勾股定理可得AC2＝2BC2，CE2＝BE2+BC2，CF2＝2BE2+2BC2，再證明∠FAC＝90°，結(jié)合勾股定理可得AF2＝2BE2，進(jìn)而可求解AF的長(zhǎng)；
（2）通過證明四邊形ADBH是平行四邊形，可得AD＝BH＝BC＝AB，可求AH=2AB=2CD，由相似三角形的性質(zhì)可得HF＝2BG，即可求解．
【解答】（1）解：連接AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°，AC2＝AB2+BC2＝2BC2，
∴CE2＝BE2+BC2，
∵EC繞點(diǎn)E逆時(shí)旋轉(zhuǎn)90°得到EF，
∴EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，CF2＝EF2+CE2＝2CE2＝2BE2+2BC2，
∴∠EFC＝∠EAC＝45°，
∴∠FAE＝∠FCE＝45°，
∴∠FAC＝90°，
∴CF2＝AF2+AC2＝AF2+2BC2，
∴AF2+2BC2＝2BE2+2BC2，
即AF2＝2BE2，
∵BE＝2，
∴AF2＝2×22＝8，
解得AF=22；
（2）證明：連接AC，延長(zhǎng)AF，CB交于點(diǎn)H，
∵FAE＝∠ABD＝45°，
∴AF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ADBH是平行四邊形，
∴AD＝BH＝BC＝AB，
∴AH=2AB=2CD，
∵AH∥BG，
∴CG＝FG，
∴BG是△CBF的中位線，
∴HF＝2BG，
∵AH＝AF+FH，
∴2AD＝AF+2BG，
即AF+2BG=2AD．
【變式10-2】（2023?平邑縣一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線BC上（不與點(diǎn)B、C重合），連接DB，DE，將DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接BF．
（1）如圖1，點(diǎn)E在BC邊上．
①依題意補(bǔ)全圖1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，用等式表示線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系．
分析：（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；
②過點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于H．證明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解決問題即可；
（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可
【解答】解（1）圖形如圖所示．
過點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，
∵∠DEF＝∠C＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
∠H=∠C=90°∠FEH=∠EDCEF=DE，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，
∴HB＝EC＝2，
∴Rt△FHB中，BF=FH2+BH2=22+22=22．
（2）結(jié)論：BF+BD=2BE．
理由：過點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝∠DCE＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
∠FHE=∠DCE=90°∠FEH=∠EDCEF=DE，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，
∴HB＝EC＝HF，
∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，
∴BD=2BC=2HE，BF=2BH，
∵HE+BH＝BE，
∴BF+BD=2BE．
【變式10-3】（2023?泰安一模）如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，使點(diǎn)C恰好落到線段AD上的E點(diǎn)處，連接CE，連接CG交BE于點(diǎn)H．
（1）求證：CE平分∠BED；
（2）取BC的中點(diǎn)M，連接MH，求證：MH∥BG；
（3）若BC＝2AB＝4，求CG的長(zhǎng)．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CB＝CE，求得∠BEC＝∠BCE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCE＝∠DEC，可證得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)C作BE的垂線CN，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CN＝BG，求得CG＝BQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH＝GH，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；
（3）過點(diǎn)G作BC的垂線GR，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵將矩形ABCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，使點(diǎn)C恰好落到線段AD上的E點(diǎn)處，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED；
（2）證明：過點(diǎn)C作CN⊥BE于N，如圖：
∵CE平分∠BED，CD⊥DE，CN⊥BE，
∴CD＝CN，
∴BG＝AB＝CD＝CN，
∵∠BHG＝∠NHC，∠GBH＝∠CNH＝90°，BG＝CN，
∴△BHG≌△NHC（AAS），
∴GH＝CH，即點(diǎn)H是CG中點(diǎn)，
∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，
∴MH是△BCG的中位線，
∴MH∥BG；
（3）解：過點(diǎn)C作CN⊥BE于N，過G作GR⊥BC于R，如圖：
∵BC＝2AB＝4，
∴BG＝AB＝CD＝CN＝2，
∴CN=12BC，
∴∠NBC＝30°，
∵∠GBE＝90°，
∴∠GBR＝60°，
∴BR=12BG＝1，GR=3BR=3，
在Rt△GRC中，
CG=GR2+CR2=(3)2+(1+4)2=27，
∴CG的長(zhǎng)為27．

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