TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16452" 【題型1 判斷能否構(gòu)成平行四邊形】 PAGEREF _Tc16452 \h 1
\l "_Tc5338" 【題型2 添加條件構(gòu)成平行四邊形】 PAGEREF _Tc5338 \h 2
\l "_Tc31833" 【題型3 數(shù)圖形中平行四邊形的個數(shù)】 PAGEREF _Tc31833 \h 3
\l "_Tc19721" 【題型4 求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)】 PAGEREF _Tc19721 \h 4
\l "_Tc24737" 【題型5 證明四邊形是平行四邊形】 PAGEREF _Tc24737 \h 5
\l "_Tc846" 【題型6 全等三角形拼平行四邊形問題】 PAGEREF _Tc846 \h 6
\l "_Tc30615" 【題型7 利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解】 PAGEREF _Tc30615 \h 8
\l "_Tc26557" 【題型8 利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】 PAGEREF _Tc26557 \h 9
\l "_Tc19064" 【題型9 平行四邊形的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19064 \h 11
【知識點1 平行四邊形的判定】
(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
【題型1 判斷能否構(gòu)成平行四邊形】
【例1】（2023秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為了體驗四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向右拉動框架，給出如下的判斷：①四邊形ABCD為平行四邊形；②對角線BD的長度不變；③四邊形ABCD的面積不變；④四邊形ABCD的周長不變，其中所有正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①④C．①②④D．①③④
【變式1-1】（2023春·北京西城·八年級?？计谥校┫铝小螦∶∠B∶∠C∶∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．1∶2∶3∶4B．1∶4∶2∶3C．1∶2∶2∶1D．3∶2∶3∶2
【變式1-2】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第十中學(xué)校考期中）在四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O．給出下列四組條件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定這個四邊形是平行四邊形的條件有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【變式1-3】（2023春·浙江舟山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的一組鄰邊AB，BC，用尺規(guī)作圖作?ABCD，下列4個作圖中，作法與理論依據(jù)都正確的有幾個（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【題型2 添加條件構(gòu)成平行四邊形】
【例2】（2023春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，如果添加一個條件使四邊形BEDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（ ）
A．DE=BFB．AE=FCC．AF=CED．∠1=∠2
【變式2-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AB，AC上的點，連接FD并延長到點G，已知FG∥AB，則添加下列條件，可以使線段AG，DE互相平分的是（ ）
A．AD=EGB．DF=DGC．DE∥ACD．DG=AE
【變式2-2】（2023春·黑龍江雙鴨山·八年級統(tǒng)考期末）若O是四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點，且OB＝OD，AC＝24cm，則當(dāng)OA＝_____cm時，四邊形ABCD是平行四邊形．
【變式2-3】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)．
(1)請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形DEBF為平行四邊形，你添加的條件是______．
(2)添加了條件后，請證明四邊形DEBF為平行四邊形．
【題型3 數(shù)圖形中平行四邊形的個數(shù)】
【例3】（2023春·內(nèi)蒙古包頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC ， GH∥AB ， EF與GH相交于點O，圖中共有個平行四邊形( )
A．4個B．5個C．8個D．9個
【變式3-1】（2023春·重慶·八年級期末）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形中一共有10個平行四邊形，第②個圖形中一共有14個平行四邊形，第③個圖形中一共有19個平行四邊形，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖形中平行四邊形的個數(shù)為（ ）
A．39B．40C．41D．42
【變式3-2】（2023春·浙江杭州·八年級期末）如圖，點A，B，C在同一直線上，點D，E，F(xiàn)，G在同一直線上，且AC//DG,AD//BE//CF,AF//BG．圖中平行四邊形有（ ）個
A．4B．5C．3D．6
【變式3-3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，由25個點構(gòu)成的5×5的正方形點陣中，橫、縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位．定義：由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形叫做陣點平行四邊形．圖中以A，B為頂點，面積為4的陣點平行四邊形的個數(shù)為（ ）
A．6個B．7個C．9個D．11個
【題型4 求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)】
【例4】（2023春·四川廣元·八年級統(tǒng)考期末）已知A，B，C三點的坐標(biāo)分別是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則D點的坐標(biāo)不可能是（ ）
A．(?1，6)B．(9，6)C．(7，0)D．(0，?6)
【變式4-1】（2023秋·江蘇南通·八年級?？计谀┮圆辉谕恢本€上的三個點為頂點作平行四邊形最多能作( )
A．4個B．3個C．2個D．1個
【變式4-2】（2023春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三點為頂點畫平行四邊形．
(1)可以畫多少個平行四邊形？
(2)寫出每個平行四邊形第四個頂點D的坐標(biāo)．
【變式4-3】（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1，1)，B(3，2)．
（1）如圖1，在y軸上是否存在－點P，使PA＋PB最小，若存在求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（2）如圖2，點C坐標(biāo)為(4，1)，點D由原點O沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，求點D運動幾秒時，四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）點P在x軸上，點Q在y軸上，且以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點P以及對應(yīng)的點Q的坐標(biāo)．
【題型5 證明四邊形是平行四邊形】
【例5】（2023秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BC＝AC，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，連接EF并延長，交△ABC外角∠ACD的平分線于點G．求證：四邊形AECG是平行四邊形．
【變式5-1】（2023春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BE是△ABC的中線，延長BE到D，使ED＝BE，連接AD，CD，補(bǔ)全圖形．判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．
【變式5-2】（2023春·寧夏中衛(wèi)·八年級?？计谀┤鐖D，△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點(點D不與點B，C重合)，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點F，G，連接BE．
(1)求證：△AEB≌△ADC．
(2)當(dāng)點D在線段BC上時．探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并寫出證明過程．
【變式5-3】（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的點，且DE=CF，連接BE和AF的交點為M，CE和DF的交點為N，連接MN，EF．
(1)求證：四邊形ABFE為平行四邊形；
(2)若AD=6cm，求MN的長．
【題型6 全等三角形拼平行四邊形問題】
【例6】（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2，另一種紙片的兩條直角邊長都為2．圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1．
(1)請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不相等，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上．
要求：①所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；
②畫圖時，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡．
(2)請證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）．
【變式6-1】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，有兩塊全等的含30°角的直角三角板，將它們拼成形狀不同的平行四邊形，則最多可以拼成（ ）
A．1種B．2種C．3種D．4種
【變式6-2】（2023·河南周口·三模）把三角形形狀的紙片放在方框紙上，使其每一個頂點都在格點上，如圖1所示（方格邊長均為∠）．對這個三角形進(jìn)剪切、拼接后，可以得到一個平行四邊形，如圖2中陰影部分所示．
剪切、拼接的方案如下：如圖2，取BC的中點M，連接AM﹔剪下△AMC后，拼接到△BEA位置，可得到平行四邊形AEBM．
我們約定：剪切、拼接時，紙片的每一部分都要被用到，而且不得用所給紙片以外的紙片．
(1)請你采用不同于圖2的剪切、拼接方案，也得到一個平行四邊形，在圖3中用陰影表示出你得到的平行四邊形，并補(bǔ)充已知和求證，寫出證明過程．
(2)對這個三角形進(jìn)行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．試在圖4中，用陰影表示出你得到的梯形（不必說明剪切、拼接方案，但必須保留作圖痕跡）．
【變式6-3】（2023秋·河北石家莊·九年級?？计谥校┤鐖D所示，ΔABC的頂點在8×8的網(wǎng)格中的格點上．
(1)畫出ΔABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的ΔAB1C1；
(2)在圖中確定格點D，并畫出一個以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為中心對稱圖形．
【題型7 利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解】
【例7】（2023秋·山東淄博·八年級?？计谀┤鐖D，在?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則S?AEPH=__．
【變式7-1】（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，AC為腰向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，連接DE，CA的延長線交DE于點F，則與線段AF相等的是（ ）
A．12 BCB．12 ABC．12 ACD．23 AB
【變式7-2】（2023春·廣東深圳·八年級校考期末）如圖，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F(xiàn)A⊥AC，垂足為A，AF＝DF＝5，AD＝6，則AC的長為__．
【變式7-3】（2023秋·江蘇·八年級期末）【情境】某校數(shù)學(xué)興趣小組嘗試自制數(shù)學(xué)學(xué)具進(jìn)行自主合作探究．圖①是一塊邊長為12cm的等邊三角形學(xué)具，P是邊AC上一個動點，由點A 向點C 運動，速度為1cm/s，Q是邊CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由點B向CB延長線方向運動，連接PQ，交AB于點D，設(shè)點P運動的時間為t(s)．
(1)【問題】填空：CP+CQ= cm；
(2)當(dāng)∠DQB=30°時，求t的值；
(3)【探究】如圖②，過點P作PE⊥AB，垂足為E，在點P，點Q運動過程中，線段DE的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出DE的長度；若變化，請說明理由．
【題型8 利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】
【例8】（2023春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以?ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．
【變式8-1】（2023春·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD=2AB，點E為線段OC的中點．
(1)求證：∠ABO=2∠ODE；
(2)若F，G分別是OB，AD的中點．
①判斷△EFG的形狀并證明你的結(jié)論；
②當(dāng)EF⊥EG，且AB=25時，求平行四邊形ABCD的面積．
【變式8-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知，在△ABC中，點M是BC的中點，點D是線段AM上一點（不與點A重合）．過點D作AB的平行線，過點C作AM的平行線，兩線交于點E，連結(jié)AE．
(1)如圖1，當(dāng)點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
(2)如圖2，當(dāng)點D不與M重合時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
(3)圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH=AM，求∠CAM的度數(shù)．
【變式8-3】（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，將△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE．設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為α度0°≤α

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