考生注意：本試卷共3道大題，25道小題，滿分120分，時量120分鐘
一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的，請在答題卡中填涂符合題意的選項． 本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 下列各數(shù)是無理數(shù)的是（ ）
A. 3.14159B. C. D.
答案：C
解析：解：A、3.14159是分數(shù)，是有理數(shù)，故該選項不符合題意；
B、是有理數(shù)，故該選項不符合題意；
C、是開方開不盡的數(shù)，故該選項符合題意；
D、是分數(shù)，是有理數(shù)，故該選項不符合題意；
故選：C．
2. 如圖所示的圖案可以看作由“基本圖案”經(jīng)過平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A、不是由“基本圖案”經(jīng)過平移得到，故此選項不符合題意；
B、是由“基本圖案”經(jīng)過平移得到，故此選項符合題意；
C、不是由“基本圖案”經(jīng)過平移得到，故此選項不符合題意；
D、不是由“基本圖案”經(jīng)過平移得到，故此選項不符合題意；
故選：B．
3. 2024年元旦假期的到來，點燃了消費者的出游熱情，也激發(fā)了旅游市場的活力．元旦假期三天，長沙市共接待游客萬人次． 數(shù)據(jù)“萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：萬=，
故選：．
4. 下列各點中，在第二象限的點是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵第二象限的點坐標為，
∴是第二象限的點坐標，A符合要求；
故選：A．
5. 下列算式中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：A、，故該選項錯誤；
B、，故該選項錯誤；
C、，故該選項正確；
D、，故該選項錯誤；
故選：C．
6. 估算 的值在（ ）
A. 1和2之間B. 2和3之間C. 3和4之間D. 4和5之間
答案：C
解析：解：∵
∴，
∴的值在3和4之間，
故選：C．
7. 若，則下列圖形中可以判定的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：A，和是對頂角，根據(jù)不能判定，不合題意；
B，和是內(nèi)錯角，根據(jù)能判定，不能判定，不合題意；
C，和是內(nèi)錯角，根據(jù)能判定，符合題意；
D，根據(jù)不能判定，不合題意；
故選C．
8. 若 是二元一次方程的一個解， 則的值是（ ）
A. B. C. 2D. 6
答案：B
解析：解：由題意得：，即
∴，
故選：B．
9. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
B. 正數(shù)與負數(shù)的和為0
C. 相等的角是對頂角
D. 在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
答案：D
解析：解：解：A、兩條直線被第三條直線所截，同位角不一定相等，為假命題，不符合題意；
B、正數(shù)與負數(shù)的和不一定為0，為假命題，不符合題意；
C、相等角不一定是對頂角，為假命題，不符合題意；
D、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，為真命題，符合題意．
故選：D．
10. ，，，，五名學(xué)生猜測自己能否進入市中國象棋前三強．說：“如果我進入，那么也進入．”說：“如果我進入，那么也進入．”說：“如果我進入，那么也進入．”說：“如果我進入，那么也進入，”大家都沒有說錯，則進入前三強的三個人是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
答案：C
解析：解：若進入前三強，那么進入前三強的有、、、、共5人，顯然不合題意，
同理，當進入前三強時，也不合題意，所以應(yīng)從開始進入前三強．即進入前三強的是，，．
故選：C．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11. 9的平方根是_________．
答案：±3
解析：解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案為±3．
12. 已知a，b滿足方程組 則的值為__________
答案：3
解析：解：
得：，即，
故答案：3．
13. 如圖， 將沿直線方向向右平移，得到，若，則 ________
答案：12
∴，
∵
∴，
故答案為：12．
14. 已知軸， ， B在第一象限且， 則B點的坐標為__________
答案：
解析：解：∵軸， ，
∴設(shè)，
∵
∴，解得：或2，
∴或
∵B在第一象限
∴B點的坐標為
故答案為：．
15. 某中學(xué)參加運動會開幕式表演，為了使表演方隊整齊有序，需要在操場上標記若干個關(guān)鍵點，如圖是幾個關(guān)鍵點的位置，若建立平面直角坐標系，點A的坐標為，點B的坐標為，則點C的坐標為_______．
答案：
解析：解：由題意，建立平面直角坐標系如下：
∴點C的坐標為，
故答案為：．
16. 如圖，為一長條形紙帶，，將沿折疊，C、D兩點分別與對應(yīng)，若，則的度數(shù)為 ___________．
答案：##108度
解析：解：由翻折的性質(zhì)可知：，
∵，
，
∵，
∴設(shè)，則，
，
，
，
，
故答案為：．
三、解答題（17、18、19題各6分， 20、21題各8分，22、23題各9分， 24、25題各10分 ）
17. 計算∶
答案：
解析：解：原式
18. 解方程：
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
小問1解析：
解：
∴，
解得：
小問2解析：
解：
得：
得：
把代入①得：
∴二元一次方程組的解為
19. 若x， y是實數(shù)，且
（1）求x， y的值；
（2）求 的值．
答案：（1），
（2）5
小問1解析：
解：∵
∴，，
∴，
∴，則
小問2解析：
∵，
∴
20. 解方程組時，小盧由于看錯了系數(shù)a，結(jié)果得到的解為，小龍由于看錯了系數(shù)b，結(jié)果得到的解為，求的值．
答案：4
解析：解：∵小盧由于看錯了系數(shù)a，
∴把代入得：，
解得：，
∵小龍由于看錯了系數(shù)b，
∴把代入得：，
解得：，
∴．
21. 如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系．三角形的頂點A的坐標為， 頂點 B的坐標為頂點C的坐標為
（1）把 向右平移4個單位，再向下平移3個單位得到三角形 ，畫出三角形
（2）求 的面積．
答案：（1）見解析 （2）的面積為
小問1解析：
解：三角形 如圖所示，
小問2解析：
解：．
22. 春節(jié)前某商場從廠家購進了甲、乙兩種商品，甲種商品每件的進價比乙種商品每件的進價多20元，購進甲種商品4件與購進乙種商品5件的進價相同．
（1）求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元？
（2）該商場從廠家購進了甲、乙兩種商品共100件，所用資金恰好為9200元，出售時，甲種商品在進價的基礎(chǔ)上加價進行標價；乙商品按標價出售，則每件可獲利30元，若按標價出售甲、乙兩種商品，則全部售出后共可獲利多少元？
答案：（1）甲種商品每件的進價是100元，乙種商品每件的進價是80元；
（2）甲、乙兩種商品全部售出后共可獲利3600元．
小問1解析：
解：設(shè)甲種商品每件的進價是x元，乙種商品每件的進價是y元，
依題意得：，
解得：，
答：甲種商品每件的進價是100元，乙種商品每件的進價是80元；
小問2解析：
解：設(shè)該商場從廠家購進了甲種商品m件，則購進乙種商品件，
依題意得：，
解得：，
則，
∴（元），
答：甲、乙兩種商品全部售出后共可獲利3600元．
23. 平行直線與被直線所截．

（1）如圖1，點E在 之間的直線上，P、Q分別在直線上，連接，若 求 的值；
（2）如圖2，點E在之間的直線上， P、Q分別在直線上，連接， 平分 ，平分 則 和 之間有什么數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由．
答案：（1）
（2）
小問1解析：
解：過點E作

∵，
∴，
∵
∴
∴；
小問2解析：
解：過點E作

∵，
∴，
∴，
∴
∵，，平分 ，平分
∴，
∴
∴
24. 定義：已知三個互不相等的實數(shù)a、b、c，若滿足任意兩數(shù)之差的絕對值中有兩個相等，則稱a、b、c為“幸福三數(shù)組”；
（1）以下三組數(shù)中為“幸福三數(shù)組”的有 ；
①、1、2；②3、、 5；③5、 2、 ；
（2）實數(shù)a與二元一次方程組 的解構(gòu)成“幸福三數(shù)組”，求a的值；
（3）已知數(shù)軸上三點A、B、C所對應(yīng)的數(shù)分別為x、m、n為“幸福三數(shù)組”，且 （為正整數(shù)），若關(guān)于x的一元一次方程 的解為整數(shù)，求m的所有可能的值．
答案：（1）5、 2、
（2）或或；
（3）m的所有可能的值為，，，1，3，0，6，2，12，21；
小問1解析：
解：由題意得：
∴不是幸福三數(shù)組；
∴3、、 5不是幸福三數(shù)組；
∴5、 2、 是幸福三數(shù)組；
小問2解析：
解：
得：，解得：
把代入①得：
∵a與二元一次方程組 的解構(gòu)成“幸福三數(shù)組”，
∴或或，
解得：或3；或1；
∴三個數(shù)分別為或或或或
∵幸福三數(shù)組互不相同，
∴或或；
小問3解析：
解：解得：
由題意得：，
∵數(shù)軸上三點A、B、C所對應(yīng)的數(shù)分別為x、m、n為“幸福三數(shù)組”，
∴或，
∴有或或或或，
∵幸福三數(shù)組互不相同，
∴當時，，此時三個數(shù)分別為，
同理可得：也不符合題意
∴有，，三種情況符合題意，
當時，，∵x為整數(shù)，∴或3；
時，，，∴或3，
時，，，∴或6
當時，，，∴
時，，，∴或
當時，，，∵x為整數(shù)，∴或3或7；
時，，，，或6
時，，，，或0
時，，，，或21
綜上：m的所有可能的值為，，，1，3，0，6，2，12，21；
25. 點A、B、C三點坐標分別為，且a、b、c滿足∶
（1）則 ， ， .
（2）如圖1，過點C作直線交x軸于點D，交y軸于點E，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，點F 為線段上一點， 設(shè) ，射線分別平分 ，且相交于點P，試用含α、β的式子表示
答案：（1）
（2）
（3）
小問1解析：
解：∵
∴，解得：
小問2解析：
解：由（1）得：，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得
∴直線的解析式為，
∵
∴設(shè)直線的解析式為
把代入得：，解得：
∴直線的解析式為，
∵直線交y軸于點E，
令，則，
∴；
小問3解析：
解：過點P作，如圖，
∵，
∴
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∵平分 ，
∴
∴
∴

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