本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設集合，，若，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知向量，，則在上的投影向量的模為（ ）
A.B.1C.0D.
3.設拋物線，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值為（ ）
A.1B.C.D.
4.已知一組數(shù)據(jù)，，，，的上四分位數(shù)是，則的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
5.若，則（ ）
A.180B.C.D.90
6.已知菱形，，將沿對角線折起，使以，，，四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A.B.C.D.
7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（ ）
A.當時，B.當時，事件與事件不獨立
C.當時，D.當時，事件與事件不獨立
8.在三角形中，角，，的對邊分別為，，且滿足，，則面積取最大值時，（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。
9.已知（，，）的部分圖像如圖所示，則（ ）
A.B.的最小正周期為
C.在內(nèi)有3個極值點D.在區(qū)間上的最大值為
10.在平面直角坐標系中，橢圓，圓，為圓上任意一點，為橢圓上任意一點.過作橢圓的兩條切線，，當，與坐標軸不垂直時，記兩切線斜率分別為，，則（ ）
A.橢圓的離心率為B.的最小值為1
C.的最大值為D.
11.對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
B.
C.若方程有6個不等實數(shù)根，則
D.對任意正實數(shù)，，且，若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復數(shù)滿足，則的最小值為______.
13.已知，則______.
14.已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為.______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）
已知.
（1）求并寫出的表達式；
（2）證明：.
16.（15分）
如圖，已知四棱錐中，平面，四邊形中，，，，，，點在平面內(nèi)的投影恰好是的重心.
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
17.（15分）
已知雙曲線，直線與雙曲線交于，兩點，直線與雙曲線交于，兩點.
（1）若直線經(jīng)過坐標原點，且直線，的斜率，均存在，求；
（2）設直線與直線的交點為，且，證明：直線與直線的斜率之和為0.
18.（17分）
某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標服從正態(tài)分布.
附：若，取，.
（1）求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；
（2）若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件能否正常工作相互獨立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.
①若控制系統(tǒng)原有4個元件，計算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠性是否提高？
②假設該系統(tǒng)配置有個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可靠性？請給出你的結(jié)論并證明.
19.（17分）
混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學模型中，比如天氣預測、種群數(shù)量變化和天體運動等等，其中一維線段上的拋物線映射是混沌動力學中最基礎應用最廣泛的模型之一，假設在一個混沌系統(tǒng)中，用來表示系統(tǒng)在第個時刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時刻的狀態(tài)滿足，，其中.
（1）當時，若滿足對，有，求的通項公式；
（2）證明：當時，中不存在連續(xù)的三項構(gòu)成等比數(shù)列；
（3）若，，記，證明：.
武漢市2024屆高三年級五月模擬訓練試題數(shù)學試卷參考答案
一、選擇題
二、選擇題
三、填空題
12.13.14.
四、解答題
15.解：（1）因為，令解得，所以.
（2）構(gòu)造，.
當時，，于是在單調(diào)遞增；
當時，，于是在單調(diào)遞減，
所以，于是，所以.
16.（1）證：平面，平面，，
又，，
與相交于點，平面，
又平面，平面平面.
（2）解：取中點，，四邊形是平行四邊形
，.
平面，平面，.
如圖所示，以為原點，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.
此時，，，，，.
連，為的重心，在線段內(nèi)且.
設，，，
平面，，.
由題意知，平面，
又平面，，，即，
解得，，.
由于是的重心，所以，
于是，，，.
設是平面的法向量，則
令，，.
設直線與平面所成角為，則
.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17.解：（1）當直線經(jīng)過坐標原點時，，兩點關于原點對稱.
設，，，
于是，.
因為，，三點都在雙曲線，
所以，
兩式作差，，所以
.
（2）已知，可設直線，直線，，，，.
，.
聯(lián)立直線方程與雙曲線的方程：.
整理得，，當時，.
，.
于是，
同理可得，.
因為，所以
整理得，，而，所以.
18.解：（1）技術(shù)改造前，易知，，則其優(yōu)品率為
；技術(shù)改造后，，，則其優(yōu)品率為；所以優(yōu)品率之差為.
（2）①記為原系統(tǒng)中正常工作元件個數(shù)，為增加一個元件后正常工作元件個數(shù).
由條件知，，.
，.
因為，所以可靠性提高.
②方法一：
根據(jù)上一問的假設，易知，.
當為奇數(shù)時，設，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，
.
所以，，這說明可靠性降低.
當為偶數(shù)時，設，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，
.
所以，，這說明可靠性提高.
綜上，若原系統(tǒng)中元件個數(shù)為奇數(shù)，增加一個元件后可靠性會降低；若原系統(tǒng)中元件個數(shù)為偶數(shù)，增加一個元件后可靠性會提高.
方法二：
當為奇數(shù)時，設，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，
于是，
，
這說明可靠性降低.
當為偶數(shù)時，設，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，
于是，
.
這說明可靠性提高.
綜上，若原系統(tǒng)中元件個數(shù)為奇數(shù)，增加一個元件后可靠性會降低；若原系統(tǒng)中元件個數(shù)為偶數(shù)，增加一個元件后可靠性會提高.
19.解：（1）當時，，由題意可得，
①
②
兩式作差，，所以或.
當時，代入①式解得，或，因為，所以.
當時，將代入①式解得，.
經(jīng)過上述討論可知，.下面考慮一般情況：由題意可知，
③
④
兩式作差，，所以或
如果，這說明是常數(shù)列，所以.
如果，將代入③式，解得，這說明依然是常數(shù)列.
綜上，的通項公式為.
（2）下面假設，，構(gòu)成等比數(shù)列，那么
，
于是，又因為，所以，解得，與假設矛盾，
所以中不存在連續(xù)的三項構(gòu)成等比數(shù)列.
（3）由題意知，，所以，易知單調(diào)遞減且，
.
記，于是
因為
所以
.
于是，.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
C
C
A
C
D
A
9
10
11
ABD
AC
BCD

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