一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（3分）a，b，c為非零有理數(shù)，它們的積一定為正數(shù)的是（ ）
A．a(chǎn)，b，c同號(hào)B．a(chǎn)＞0，b與c同號(hào)
C．b＜0，a與c同號(hào)D．a(chǎn)＞b＞0＞c
解答：解：a，b，c為非零有理數(shù)，b與c同號(hào)，
故選：B．
2．（3分）下列幾何體中三個(gè)視圖完全相同的是（ ）
A．B．C．D．
解答：解：A．三棱柱的主視圖和左視圖都是矩形，故不符合題意；
B．圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，故不符合題意；
C．圓柱的三視圖既有圓又有長(zhǎng)方形；
D．球的三視圖都是圓；
故選：D．
3．（3分）中國(guó)“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對(duì)稱圖形（ ）
A．B．
C．D．
解答：解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；
B．是軸對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)不合題意；
C．不是軸對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意；
D．既是軸對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)合題意；
故選：D．
4．（3分）下列等式一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)2+a3＝a5
B．a(chǎn)6÷a3＝a2
C．（2xy2）3＝6x3y6
D．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3
解答：解：A、不是同類項(xiàng)，原式計(jì)算錯(cuò)誤；
B、a6÷a3＝a5，原式計(jì)算錯(cuò)誤；
C、（2xy2）2＝8x3y5，原式計(jì)算錯(cuò)誤；
D、（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，原式計(jì)算正確．
故選：D．
5．（3分）下列一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0B．x2﹣2x＝0C．x2+x+5＝0D．x2﹣2x+1＝0
解答：解：A、Δ＝12﹣3×1×（﹣2）＝2＞0，則該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
B、Δ＝（﹣2）5﹣4×1×5＝4＞0，則該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
C、Δ＝22﹣4×8×5＝﹣19＜0，則該方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
D、Δ＝（﹣3）2﹣4×5×1＝0，則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
故選：C．
6．（3分）解分式方程，分以下四步，其中（ ）
A．方程兩邊分式的最簡(jiǎn)公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程兩邊都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解這個(gè)整式方程，得x＝1
D．原方程的解為x＝1
解答：解：分式方程的最簡(jiǎn)公分母為（x﹣1）（x+1），
方程兩邊乘以（x﹣7）（x+1），得整式方程2（x﹣3）+3（x+1）＝5，
解得：x＝1，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝1是增根，分式方程無(wú)解．
故選：D．
7．（3分）如圖是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．y隨x增大而增大B．圖象經(jīng)過(guò)第三象限
C．當(dāng)x≥0時(shí)，y≤bD．當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0
解答：解：由圖象得：圖象過(guò)一、二、四象限，b＞0，
當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小、B錯(cuò)誤，
由圖象得：與y軸的交點(diǎn)為（2，b），從圖象看，故C正確；
當(dāng)x＜0時(shí)，y＞b＞0．
故選：C．
8．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，又三家共一鹿，適盡，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，恰好取完，問(wèn)：城中有多少戶人家？在這個(gè)問(wèn)題中（ ）
A．25B．75C．81D．90
解答：解：設(shè)城中有x戶人家，
依題意得：x+x＝100，
解得：x＝75，
∴城中有75戶人家．
故選：B．
9．（3分）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．若水面和杯底互相平行，∠2＝122°，則∠3與∠4的度數(shù)分別為（ ）
A．43°與58°B．43°與45°C．45°與58°D．43°與32°
解答：解：如圖：
由題意得：AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝43°，
由題意得：BE∥DF，
∴∠BDF＝180°﹣∠5＝180°﹣122°＝58°，
由題意得：BD∥EF，
∴∠BDF＝∠4＝58°，
故選：A．
10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，以點(diǎn)B為圓心、BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)CCE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F，則CG的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．C．3D．
解答：解：如圖，連接EG，
根據(jù)作圖過(guò)程可知：BF是∠EBC的平分線，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在Rt△ABE中，AB＝6，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝5，
在Rt△DGE中，DE＝2，EG＝CG，
∴EG2﹣DE6＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）7，
解得CG＝．
故選：D．
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）計(jì)算：＝ ．
解答：解：原式＝
＝
＝
＝，
故答案為：．
12．（3分）如圖，A，B的坐標(biāo)為（1，0），（0，2），若將線段AB平移至A1B1，則a﹣b的值為 0 ．
解答：解：由B點(diǎn)平移前后的縱坐標(biāo)分別為2、4，可得B點(diǎn)向上平移了7個(gè)單位，
由A點(diǎn)平移前后的橫坐標(biāo)分別是為1、3，可得A點(diǎn)向右平移了4個(gè)單位，
由此得線段AB的平移的過(guò)程是：向上平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，
所以點(diǎn)A、B均按此規(guī)律平移，
由此可得a＝2+2＝2，b＝2+2＝2，
∴a﹣b＝3，
故答案為：0．
13．（3分）不透明的布袋中有紅、黃、藍(lán)3種只是顏色不同的鋼筆各1支，先從中摸出1支，記錄下它的顏色，再?gòu)闹须S機(jī)摸出1支，記錄下顏色 ．
解答：解：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：
共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的鋼筆為紅色，
∴兩次摸出的鋼筆為紅色、黃色各一支的概率為，
故答案為：．
14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，E為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，反比例函數(shù)，E．若點(diǎn)A（6，0），則k的值是 16 ．
解答：解：設(shè)C（m，），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
∴E（，），
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k＝?，
∴m＝3，
作CH⊥y軸于H，
∴CH＝2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OBA＝∠HCB，
∵∠AOB＝∠BHC，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝6，OB＝CH＝2，
∴C（2，8），
∴k＝16，
故答案為：16．
15．（3分）如圖，菱形ABCD中，AC，AC＝8cm，BD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)N從B出發(fā)沿BD方向以每秒1cm勻速直線運(yùn)動(dòng)到D．若M，N同時(shí)出發(fā) 1或4 s時(shí)△MON的面積為菱形ABCD面積的．
解答：解：設(shè)出發(fā)后x秒時(shí)，S△MON＝S菱形ABCD．
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝，
∴S△MON＝S菱形ABCD＝4．
（1）當(dāng)x＜2時(shí)，點(diǎn)M在線段AO上．
由（4﹣2x）（6﹣x）＝2；
解得x1＝8，x2＝4（舍去）
∵x＜2，
∴x＝1；
（2）當(dāng)2＜x＜6時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，
由（4x﹣4）（3﹣x）＝8化簡(jiǎn)為：x2﹣5x+2＝0，
此時(shí)方程Δ＜0，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解；
（3）當(dāng)x＞8時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，
由（7x﹣4）（x﹣3）＝5；
解得x1＝1，x6＝4．
∵x＞3，
∴x＝6符合題意，
綜上所述，出發(fā)后1s或4s時(shí)，S△MON＝S菱形ABCD．
故答案為：1或4．
三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）
16．（10分）計(jì)算：
（1）﹣2÷[（﹣2）3﹣（﹣5）]﹣24×0.5；
（2）．
解答：解：（1）原式＝﹣2÷（﹣8+5）﹣8＝﹣2÷（﹣8）﹣8＝﹣8＝﹣；
（2）原式＝÷＝÷＝÷＝×＝．
17．（8分）創(chuàng)建文明城市，構(gòu)建美好家園．為提高垃圾分類意識(shí)，幸福社區(qū)決定采購(gòu)A，購(gòu)買(mǎi)6個(gè)A型垃圾桶和5個(gè)B型垃圾桶共需要860元．
（1）求兩種型號(hào)垃圾桶的單價(jià)；
（2）若需購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)的垃圾桶共200個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)15000元
解答：解：（1）設(shè)A型垃圾桶單價(jià)為x元，B型垃圾桶單價(jià)為y元，
由題意可得：，
解得：，
答：A型垃圾桶單價(jià)為60元，B型垃圾桶單價(jià)為100元；
（2）設(shè)A型垃圾桶a個(gè)，
由題意可得：60a+100（200﹣a）≤15000，
a≥125，
答：至少需購(gòu)買(mǎi)A型垃圾桶125個(gè)．
18．（9分）某市為了解八年級(jí)學(xué)生視力健康狀況，在全市隨機(jī)抽查了400名八年級(jí)學(xué)生2023年初的視力數(shù)據(jù)，并調(diào)取該批學(xué)生2022年初的視力數(shù)據(jù)（不完整）．
青少年視力健康標(biāo)準(zhǔn)
根據(jù)以上信息，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求出被抽查的400名學(xué)生2023年初輕度視力不良（類別：B．）對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)，補(bǔ)全2022年初視力統(tǒng)計(jì)圖；
（2）若2023年初該市有八年級(jí)學(xué)生2萬(wàn)人，請(qǐng)估計(jì)這些學(xué)生2023年初視力正常的人數(shù)比2022年初增加的人數(shù)；
（3）國(guó)家衛(wèi)健委要求全國(guó)初中生視力不良率控制在69%以內(nèi)，請(qǐng)估計(jì)該市八年級(jí)學(xué)生2023年初視力不良率是否符合要求．
解答：解：（1）被抽查的400名學(xué)生2023年初輕度視力不良對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為：360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.6°，
2022年初視力正常的人數(shù)為：400﹣48﹣91﹣148＝113（人），補(bǔ)全的2022年初視力統(tǒng)計(jì)圖如下圖，
答：被抽查的400名學(xué)生2023年初輕度視力不良對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為44.1°．
（2）∵該市八年級(jí)學(xué)生2023 年初視力正常的人數(shù)約為：20000×31.25%＝6250（人），
這些學(xué)生2022年初視力正常的人數(shù)約為：20000×＝5650（人），
∴增加的人數(shù)為：6250﹣5650＝600（人），
答：2023年初視力正常的人數(shù)比2022年初多增加了600人．
（3）該市八年級(jí)學(xué)生2023年初視力不良率約為：1﹣31.25%＝68.75%，
∵68.75%＜69%，
∴該市八年級(jí)學(xué)生2023年初視力不良率符合要求，
答：該市八年級(jí)學(xué)生2023年初視力不良率符合要求．
19．（8分）“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地勻速步行前往乙地，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）（min）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小麗與小明出發(fā) 30 min相遇；
（2）在步行過(guò)程中，若小明先到達(dá)甲地．
①求小麗和小明步行的速度各是多少？
②計(jì)算出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并解釋點(diǎn)C的實(shí)際意義．
解答：解：（1）由圖象可得小麗與小明出發(fā)30min相遇，
故答案為：30；
（2）①設(shè)小麗步行的速度為V1m/min，小明步行的速度為V2m/min，且V6＞V1，
則，
解得：，
答：小麗步行的速度為80m/min，小明步行的速度為100m/min；
②解法一：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），
則可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，
解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，
解法二：5400÷100＝54，54×80＝4320，
∴點(diǎn)C（54，4320），
點(diǎn)C表示：兩人出發(fā)54min時(shí)，小明到達(dá)甲地．
20．（8分）“工欲善其事，必先利其器”，如圖為釣魚(yú)愛(ài)好者購(gòu)買(mǎi)的神器“晴雨傘”，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿AD，用繩子拉直AC后系在樹(shù)干PQ上的點(diǎn)E處，C，E在一條直線上，AB＝AC＝2m
（1）垂釣時(shí)打開(kāi)“晴雨傘”，若∠α＝60°，求遮蔽寬度BC（結(jié)果精確到0.01m）；
（2）若由（1）中的位置收合“晴雨傘”，使得∠BAC＝106°（結(jié)果精確到0.1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，）
解答：解：（1）∵AB＝AC＝2m，AO⊥BC，
∴BC＝2OC，
在Rt△AOC中，∠α＝60°，
∴OC＝AC?sin60°＝3×＝（m），
∴BC＝2OC＝2≈3.46（m），
∴遮蔽寬度BC約為3.46m；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F，
由題意得：EF＝DQ＝7m，
當(dāng)∠α＝60°時(shí)，
在Rt△AFE中，AF＝＝＝，
當(dāng)∠BAC＝106°時(shí)，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠EAF＝∠BAC＝53°，
在Rt△AFE中，AF＝≈，
∴點(diǎn)E下降的高度＝2.26﹣5.73≈0.5（m），
∴點(diǎn)E下降的高度約為4.5m．
21．（8分）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，D在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且 AD＝AC，CD交⊙O于點(diǎn)G，連接BG，點(diǎn)F在BE上，且∠BCF+2∠BCE＝180°．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若BG＝3，BD＝18，求⊙O的半徑．
解答：（1）證明：連接OF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥AB，
∴∠DBE＝90°，
∴∠D+∠E＝∠DCA+∠BCE＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∴∠BCE＝∠E，
∵∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∠BCF+2∠BCE＝180°，
∴∠BCF＝∠CBF，
∵OB＝OC，
∴∠BOC＝∠OCB，
∴∠OCF＝∠OBF＝90°，
∴CF是⊙O的切線；
（2）解：∵∠ABG＝∠ACD，∠D＝∠ACD，
∴∠ABG＝∠D，
∴BG＝DG，
∴BG＝EG，
∴DE＝2BG＝8，
∵BD＝18，
∴BE＝＝7，
由（1）知，BC＝BE＝6，
∵AB2＝AC7+BC2，
∴AB2＝（18﹣AB）2+62，
∴AB＝10，
∴⊙O的半徑為7．
22．（12分）問(wèn)題背景：“刻漏”是我國(guó)古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具．綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個(gè)透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱?jiǎn)易計(jì)時(shí)裝置．
實(shí)驗(yàn)操作：綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)：先在甲容器里加滿水，此時(shí)水面高度為30cm，開(kāi)始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度
任務(wù)1：分別計(jì)算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
建立模型：小組討論發(fā)現(xiàn)：“t＝0，h＝30”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻
任務(wù)2：利用t＝0時(shí)，h＝30；t＝10時(shí)；
反思優(yōu)化：經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差，減少偏差．通過(guò)查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)解析式求出所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，記為w；w越小
任務(wù)3：（1）計(jì)算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值；
（2）請(qǐng)確定經(jīng)過(guò)（0，30）的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小；
設(shè)計(jì)刻度：得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實(shí)踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計(jì)刻度，通過(guò)刻度直接讀取時(shí)間．
任務(wù)4：請(qǐng)你簡(jiǎn)要寫(xiě)出時(shí)間刻度的設(shè)計(jì)方案．
解答：解：任務(wù)1：
變化量分別為：29﹣30＝﹣1（cm）；28.7﹣29＝﹣0.9（cm）；25.5﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度觀察值的變化量為：﹣7，﹣0.9，﹣6.2．
任務(wù)2：
設(shè)水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式為h＝kt+b，
∵t＝4 時(shí)，h＝30，h＝29；
∴，
解得：，
∴水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式為h＝﹣6.1t+30；
任務(wù)3：
（1）w＝（30﹣30）6+（29﹣29）2+（28﹣28.1）4+（27﹣27）2+（26﹣25.8）5
＝0.05．
（2）設(shè)：h＝kt+30，
∴w＝（0?k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（20k+30﹣28.1）6+（30k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）5
＝3000（k+0.102）2+7.038，
∴當(dāng)k＝﹣0.102時(shí)，w的最小值為0.038．
任務(wù)4：
將零刻度放在水位最高處，在容器外壁每隔1.02cm標(biāo)記一次刻度，就代表時(shí)間經(jīng)過(guò)了10分鐘．
23．（12分）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，在Rt△ABC和Rt△DBE 中，AB＝BC，BD＝BE，連接DE．
①求的值；
②求∠EAD的度數(shù)．
類比探究：
（2）如圖2，在Rt△ABC和Rt△DBE 中，∠ABC＝∠DBE＝90°，點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE．請(qǐng)求出
拓展延伸：
（3）如圖3，在（2）的條件下，取線段DE的中點(diǎn)M，BM，若BC＝4，求線段AD的長(zhǎng)．
解答：解：（1）①∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
即∠CBE＝∠ABD，
∵AB＝BC，DB＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，
∴＝1；
②∠EAD＝45°+45°＝90°；
（2）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，
∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，
∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
在Rt△DBE中，tan∠BED＝，
∴＝，
又∵∠ABD＝∠EBC，
∴△ABD∽△∠CBE，
∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∴，∠EAD＝90°．
（3）如圖，由（2）知：＝＝，
∴AD＝CE，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AC＝8，AB＝3，
∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，
∴AM＝BM＝DE，
∵△ABM為直角三角形，
∴AM2+BM2＝AB3＝（4）5＝48，
∴AM＝BM＝2，
∴DE＝5，
設(shè)EC＝x，則AD＝x，
Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+（x）2＝（4）7，
解之得：x＝2+2（負(fù)值舍去）．
∴EC＝2+2．
∴AD＝CE＝2．
∴線段AD的長(zhǎng)為（2+4）．類別
視力
健康狀況
A
視力≥5.0
視力正常
B
視力＝4.9
輕度視力不良
C
4.6≤視力≤4.8
中度視力不良
D
視力≤4.5
重度視力不良
流水時(shí)間t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（觀察值）
30
29
28.1
27
25.8

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