試卷命題人：大連市第一中學 裴世杰 校對人：大連市第一中學 聶群
一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共計40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 函數(shù)的導數(shù)為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意結合導數(shù)的乘法運算法則和復合函數(shù)求導法則計算即可.
【詳解】.
故選：.
2. 函數(shù)的單調增區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通過求導，令導函數(shù)大于，即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
，
令，即，解得，
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.
故選：.
3. 已知是可導函數(shù)，且對于恒成立，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】構造函數(shù)，由導數(shù)及確定單調性，得出及，即可得出判斷．
【詳解】設，則，
因為，所以，即在上單調遞增，
所以，即，整理得，
，即，整理得，
故選：D．
4. 在正項等比數(shù)列中，為其前項和，若，，則的值為（ ）
A. 50B. 70C. 90D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的片段和性質列式計算即可.
【詳解】由等比數(shù)列的片段和性質得，，成等比數(shù)列
所以
所以，
解得.
故選：B.
5. 已知某種零件的尺寸（單位：）在內的為合格品．某企業(yè)生產的該種零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，則估計該企業(yè)生產的2000個該種零件中合格品的個數(shù)為（ ）
A. 1700B. 1600C. 1400D. 600
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用正態(tài)分布的對稱性求零件合格的概率，進而估算出結果．
【詳解】因為服從正態(tài)分布，且，
所以該企業(yè)生產的該種零件合格的概率，
所以估計該企業(yè)生產的2000個零件中合格品的個數(shù)為，
故選：C．
6. 一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，則第二次取到是黑球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，結合，即可求解.
【詳解】設事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，
事件：表示第2次取到黑球，可得，
則.
故選：B.
7. 在某次美術專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結果相互獨立，則測試結束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先設事件，再求出甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的概率，然后利用條件概率公式求解.
【詳解】設甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件、、，
則，且，，相互獨立，
設甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級為事件，
則，
設乙沒有達優(yōu)秀等級為事件，則，
所以.
故選：B.
8. 已知數(shù)列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得數(shù)列在上是遞減數(shù)列，數(shù)列在上是遞增數(shù)列，再根據(jù)二次函數(shù)的單調性即可得解.
【詳解】因為對任意都有，
所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，
因為對任意都有，
所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，
所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，錯選得0分.）
9. 下列結論正確的是（ ）
A. 標準差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小.
B. 在回歸直線方程中，當解釋變量每增加1個單位時，則預報變量減少0.8個單位
C. 在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合程度越好.
D. 對分類變量和來說，它們的隨機變量的觀測值越大，“與有關系”的把握程度越小
【答案】BC
【解析】
【分析】標準差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)離散程度越大，即可判斷；在回歸直線方程中，當解釋變量每增加1個單位時，根據(jù)斜率的意義即可判斷；根據(jù)殘差平方和的意義即可判斷；對分類變量和來說，它們的隨機變量的觀測值越大，“與有關系”的把握程度越大，即可判斷.
【詳解】對于，標準差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越大，故不正確；
對于，在回歸直線方程中，當解釋變量每增加1個單位時，則預報變量減少0.8個單位，故正確；
對于，在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合程度越好，故正確；
對于，對分類變量和來說，它們的隨機變量的觀測值越大，“與有關系”的把握程度越大，故不正確.
故選：.
10. 設為等差數(shù)列的前項和，若，，，則（ ）
A. 數(shù)列的公差小于0
B.
C. 的最小值是
D. 使成立的的最小值是4045
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結合等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列的性質，逐項計算判斷作答.
【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，即，
因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，公差大于0，A錯誤；
又，即，整理得，
因此，，的最小值是， B正確，C錯誤；
因為，
，所以使成立的n的最小值是4045，D正確.
故選：BD
11. 甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概率為，則（ ）
A.
B. 數(shù)列為等比數(shù)列
C.
D. 第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可得數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，即可判斷ABC，然后逐一列舉，即可判斷D.
【詳解】由題意可知，要使得n次傳球后球在甲手中，則第次球必定不在甲手中，
所以，，即，
因為，則，所以，，
則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故B正確；
則，即，故C錯誤；
且，故A正確；
若第4次傳球后球在甲手中，則第3次傳球后球必不在甲手中，
設甲，乙，丙對應，
則，
，
，
，
，
，
所以一共有六種情況，故D正確；
故選：ABD
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 數(shù)列，為其前項和，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用分組法求和即可.
【詳解】
.
故答案為：.
13. 已知，則曲線在點處切線方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求導函數(shù)，再求斜率和切點縱坐標，即可求切線方程.
【詳解】，
所以，且，
所以曲線在點處切線方程為，即.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，轉化為在上有解，利用二次函數(shù)的性質求實數(shù)的取值范圍．
【詳解】函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，
由，則在上有解．
令，因為，所以只需或，
即或，解得．
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15. 有甲，乙，丙三位同學進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負，本局比賽結束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽，設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立.
（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；
（2）用表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）借助獨立事件的概率乘法公式計算即可得；
（2）寫出的所有可能取值后計算相應概率即可得其分布列，借助分布列計算即可得期望.
【小問1詳解】
前3局甲都獲勝的概率為；
【小問2詳解】
所有可能取值為.
其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；
表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，
則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙輸，則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙贏，則；
所以的分布列為：
故的數(shù)學期望為.
16. 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn＝，若數(shù)列{bn}的前n項和是Tn，求證：Tn＜2.
【答案】（1）證明見解析；；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等比數(shù)列的通項公式，進行求解即可；
（2）由，進而利用，得到
，最后利用等比數(shù)列求和公式進行求證即可
【詳解】證明：（1）由題設得，又，
所以數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，
所以，
（2）由（1）知，
因為對任意，恒成立，
所以，
所以
故Tn＜2成立
【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的求和公式，難點在于利用不等式的放縮法得出，屬于中檔題
17. 已知函數(shù)f(x)＝x2＋aln x．
（1）當a＝－2時，求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋在[1,＋∞)上單調，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出導函數(shù)，解不等式得增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間．
（2）在上的函數(shù)值恒為非負或恒為非正，分類討論，分別分離參數(shù)，進而可得答案．
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域是，
時，，
當時，，的單調遞減區(qū)間是，
∴的單調遞減區(qū)間是；
【小問2詳解】
，，
由題意當時，恒成立，或恒成立．
若，
則恒成立，
當時，，
即的最大值為0，∴；
若，，
當時，無最小值，∴不可能恒成立；
綜上．
18. 清明小長假期間，大連市共接待客流322.11萬人次，游客接待量與收入達到同期歷史峰值，其中到東港旅游的人數(shù)達到百萬之多.現(xiàn)對到東港旅游的部分游客做問卷調查，其中的人只游覽東方水城，另外的人游覽東方水城和港東五街.若某位游客只游覽東方水城，記1分，若兩項都游覽，記2分.視頻率為概率，解答下列問題.
（1）從到東港旅游的游客中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為，求的分布列和數(shù)學期望；
（2）從到東港旅游的游客中隨機抽取人，記這人的合計得分恰為分的概率為，求；
（3）從到東港旅游的游客中隨機抽取10人，其中兩處景點都去的人數(shù)為.記兩處景點都去的人數(shù)為的概率為，寫出的表達式，并求出當為何值時，最大？
【答案】（1）分布列見解析，
（2）
（3），7
【解析】
【分析】（1）由題意確定X的可能取值，求出每個對應的概率，即可得分布列；由期望公式，即可求得數(shù)學期望.
（2）人中只有1人兩項都游覽可得，再利用錯位相減法求和即得答案.
（3）利用二項分布的概率求出，再借助最大概率問題列出不等式組求解即得.
【小問1詳解】
的可能取值為，則，
，
所以的分布列為：
數(shù)學期望.
【小問2詳解】
由人的合計得分為分，得其中只有1人兩項都游覽，則，
設，
則，
兩式相減得，
所以.
【小問3詳解】
依題意，，
設最大，則，即，
整理得，即，解得，而，因此，
所以當時，.
19. 已知函數(shù)．
（1）當時，求在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；
（3）求證：．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意，求出，即可得出切線方程；
（2）由函數(shù)在上單調遞增得，當時，分離參數(shù)得對于恒成立，由導數(shù)求出最值，即可求解；
（3）法一：由（2）可知，當時，在上單調遞增，令得，，根據(jù)累加法即可證明；法二：設數(shù)列的前項和，得出，證明即可，證法同法一；法三：用數(shù)學歸納法證明．
【小問1詳解】
當時，，
所以求在處的切線方程為：．
【小問2詳解】
，
若函數(shù)在上單調遞增，
則當，，即對于恒成立，
令，則，則函數(shù)在上單調遞增，
所以，故．
【小問3詳解】
法一：由（2）可知，當時，在上單調遞增，
所以當時，，即，即在上總成立，
令得，，
化簡得：，所以，，
累加得，即，命題成立．
法二：可設數(shù)列的前項和，
當時，，
當時，，時也成立，
所以，
本題即證，以下證明同法一．
法三：（i）當時，左式，右式顯然成立；
（ii）假設當不等式成立，即，
那么當時，左式，
證明，即需證，
設，則，
即只需證，即，
設，
所以在單調遞增，，可知不等式是也成立，
綜上可知，不等式對于任意正整數(shù)都成立．
注意：中，寫成或都可以．
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