一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合，若的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意是的子集，從而求解.
【詳解】，
因?yàn)榈某浞謼l件是，所以，
則，
故選：B.
2. 復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 的實(shí)部為12B. 的虛部為
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后結(jié)合選項(xiàng)分析即可求解.
【詳解】由于復(fù)數(shù)，
所以的實(shí)部為0，虛部為13，故錯(cuò)誤；
所以，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
3. 已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)直接得到答案即可.
【詳解】隨機(jī)變量，
所以，所以，故.
故選：C.
4. 已知，，，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出，然后對(duì)兩邊平方即可求出的值，然后即可求出的值，最后得出答案．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，，，解得，
，且，，
即向量與的夾角為．
故選：A．
5. 陀螺是中國(guó)民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成．如圖，已知一木制陀螺內(nèi)接于一表面積為的球，其中圓柱的兩個(gè)底面為球的兩個(gè)截面，圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為，則該陀螺的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意易得陀螺的外接球半徑，球心為圓柱的中心，再利用球的幾何性質(zhì)，分別求出圓柱與圓錐的高，最后根據(jù)體積公式，即可求解．
【詳解】如圖：做陀螺的軸截面，則陀螺的軸截面內(nèi)接于圓，設(shè)圓的半徑為，圓柱的底面半徑為.
由，球心為圓柱的中心，
又圓柱的底面半徑，所以球心到圓柱底面距離，
所以圓柱的高為，圓錐的高為，
所以該陀螺的體積為.
故選：B
6. 已知，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合，可得答案.
【詳解】令，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>且，
則，即.
故選：C.
7. 點(diǎn)將一條線段分為兩段和，若，則稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn).已知直線與函數(shù)的圖象相交，為相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)
B. 對(duì)于給定的常數(shù)，不存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)
C. 對(duì)于任意的，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)
D. 對(duì)于任意的，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)
【答案】D
【解析】
【分析】依題意，作出圖形，結(jié)合題意可分析計(jì)算得出答案.
【詳解】若，則，
即點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，不存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，故選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤；
如下圖，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，
則存在一個(gè)使得，故選項(xiàng)錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)D，若與相交于相鄰的三點(diǎn)，
其橫坐標(biāo)分別為，則，
將變換成后，點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，
且滿足，
故，即對(duì)比值無影響，故選項(xiàng)D正確.

故選：D.
8. 如圖1，與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長(zhǎng)線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心．如圖2，已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的一個(gè)旁心．直線與軸交于點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，即可求解．
【詳解】解：因?yàn)槭堑囊粋€(gè)旁心，所以平分，所以,
又平分，所以,所以，
即，所以,
所以，所以該雙曲線的漸近線方程為．
故選：D
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，若， ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 為遞增數(shù)列D. 為周期數(shù)列
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分別求得，，，得到數(shù)列構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列，逐項(xiàng)判定，即可求解．
【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足， ，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，；
若為奇數(shù)，則，為偶數(shù)，，為奇數(shù)，
則，，，；
若為偶數(shù)，則，為奇數(shù)，，為偶數(shù)，
則，，，.
所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列.
故，B正確：
又由，故遞增，C正確；
由上述討論可知，的項(xiàng)為1，，1，，故是周期數(shù)列，D正確．
故選：BCD．
10. 已知，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，結(jié)合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
對(duì)A選項(xiàng)，，所以，故A正確；
對(duì)B選項(xiàng)，，
所以，故B選項(xiàng)不正確；
對(duì)C選項(xiàng)，因?yàn)?，?br>所以，
而，故上述不等式等號(hào)不成立，則，故C不正確；
對(duì)D選項(xiàng)，
故D正確.
故選：AD
11. 設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，滿足與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. 面積的最大值為1
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合向量關(guān)系求選項(xiàng)；進(jìn)而根據(jù)四邊形為平行四邊形求選項(xiàng)；當(dāng)軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性求選項(xiàng)；最后設(shè)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)，則，則，求選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，則平分線段，又，則平分線段，
則四邊形為平行四邊形，故A對(duì)；
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危裕?br>對(duì)于拋物線可證其有性質(zhì)，證明如下：
若斜率存在，設(shè)：，，
與方程聯(lián)立，得：，
由直線過焦點(diǎn)，成立，
，，
，
若斜率不存在，則：，易求得，
，
故，故B對(duì)；
當(dāng)軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，在軸上，此時(shí)，故錯(cuò)；
對(duì)于拋物線可證其有性質(zhì)，證明如下：
設(shè)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)，
設(shè)：，
與方程聯(lián)立，得：
，
則，則
，
則，又，則，
即為等腰三角形，且軸為的垂直平分線，故必在軸上，
此外，，則，則，
當(dāng)與拋物線相切時(shí)，取得最大值1，即的最大值為1，故D對(duì)，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若線段是拋物線的一條過焦點(diǎn)F的弦，則 ，.
第II卷
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 一種春節(jié)吉祥物為分布均勻的正十二面體模型（如圖），某興趣小組在十二個(gè)面分別雕刻了十二生肖的圖案.若其中的2個(gè)成員將該模型各隨機(jī)拋出一次，則恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上（即龍的圖案在最上面）的概率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接計(jì)算可得答案.
【詳解】因?yàn)?個(gè)人拋出一次時(shí)龍的圖案在最上面的概率為，
所以2個(gè)成員各拋一次，恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為.
故答案為：
13. 在中，點(diǎn)分別在邊上，，若交于點(diǎn)，則__________；當(dāng)時(shí)，面積為__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平面向量的基本定理，可得，用待定系數(shù)法可得的值，再結(jié)合余弦定理和三角函數(shù)值計(jì)算出，利用三角形的面積公式可得答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因，所以，
令，所以，所以，
因?yàn)楣簿€，所以，①
因共線，
所以，
所以②，
聯(lián)立①②，，解出，
故，所以，解出，故；
在中，由余弦定理，，
因?yàn)?，所以?br>，
則.
故答案為：①1；②.
14. 正方體的棱長(zhǎng)為為該正方體側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空間向量的數(shù)量積與角度的關(guān)系，列出分別與直線所成角的正切值之和的表達(dá)式，從而得到點(diǎn)的軌跡為在平面中以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，可得點(diǎn)到平面的距離的取值范圍，最后利用棱錐的體積公式計(jì)算得到答案即可.
【詳解】在正方體中，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，
，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
整理可得點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，
所以點(diǎn)的軌跡為在平面中以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，
則點(diǎn)到平面的距離的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)在中點(diǎn)的正上方；
最小值為時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)或者點(diǎn)的正上方，
所以四棱錐的體積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用空間向量解決空間角問題，涉及三角函數(shù)的計(jì)算以及空間點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵是通過計(jì)算得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，即，
結(jié)合橢圓的性質(zhì)得出距離的取值范圍，再根據(jù)錐體的體積公式即可解決問題.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）
【解析】
【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；
（2）由已知不等式成立，先分離參數(shù)，結(jié)合成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）依題意，存在，使得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故，因此，
故的取值范圍為．
16. 定義兩組數(shù)據(jù)，的“斯皮爾曼系數(shù)”為變量在該組數(shù)據(jù)中的排名和變量在該組數(shù)據(jù)中的排名的樣本相關(guān)系數(shù)，記為，其中．
某校15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的排名與知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的排名如下表：
（1）試求這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼系數(shù)”；
（2）已知在這15名學(xué)生中有10人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，現(xiàn)從這15人中隨機(jī)抽取3人，抽到數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有人，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）0.8；
（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“斯皮爾曼系數(shù)”的計(jì)算公式即可求解.
（2）的值可能為0，1，2，3，計(jì)算出各自對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
依題意，，
所以這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼系數(shù)”是0.8.
【小問2詳解】
依題意，的值可能為0，1，2，3，
，
，
則的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望為．
17. 如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓的圓心，是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)在上，且，.
（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；
（2）若四棱錐的體積大于等于.
①求二面角的取值范圍；
②記異面直線與所成的角為，求的最大值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）結(jié)合余弦定理與勾股定理可證，再由，，可得平面，從而有，再由線面垂直的判定定理，即可得證；
（2）①設(shè)，則二面角的平面角即為，易得四邊形的面積，由，可得，即二面角的取值范圍；
②以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，用含的式子表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量法求異面直線夾角，即可求解.
【小問1詳解】
由題知，在中，，,,
求得，則，
又,,,,平面，
故平面，
又平面，所以，
又,平面，
平面
【小問2詳解】
①設(shè)，,,則二面角的平面角即為，
在上取點(diǎn)，使，連接,
，
四棱錐的體積，
其中表示四邊形的面積，
則
，
由，可得，
，則，
故，解得，
即二面角的取值范圍為；
②以方向軸正方向，在內(nèi)垂直于的方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，,,
，,
,
即的最大值為.
18. 已知橢圓的離心率為是上的不同兩點(diǎn)，且直線的斜率為，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，點(diǎn)都不在軸上，連接，分別交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題，利用弦長(zhǎng)公式列出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合橢圓的離心率，計(jì)算可得答案；
（2）聯(lián)立直線，求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)立方程，可知直線的圖象性質(zhì)，故分析可得結(jié)果.
【小問1詳解】
依題意，則，因此，
當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為：，
設(shè)，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合，得，
所以，解得，
故，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
設(shè)，
可知的斜率存在，設(shè)為，
則，直線的方程為，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，，
整理得
其中，得或，
，則，
又，故，
同理可得，易知的斜率不為0，設(shè)的方程為，
則，
，
又，則，
對(duì)比的方程可知，直線恒過定點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取到最大值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19. 固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：；②二倍角公式：；③平方關(guān)系：．定義雙曲正弦函數(shù)為．
（1）寫出，具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；
（2）任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）正項(xiàng)數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）答案見解析
（2），
（3）存在實(shí)數(shù)，使得成立．
【解析】
分析】（1）①求導(dǎo)數(shù)，②用二倍角公式，③利用平方關(guān)系；證明即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求的取值范圍即可；
（3）方法一、求出，，，猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．方法二、構(gòu)造數(shù)列，根據(jù)，利用遞推公式求解即可．
【小問1詳解】
①導(dǎo)數(shù)：，，證明如下：
，
②二倍角公式：，證明如下：
；
③平方關(guān)系：，證明如下：
；
【小問2詳解】
令，，，
①當(dāng)時(shí)，由，
又因?yàn)椋?，等?hào)不成立，
所以，即為增函數(shù)，
此時(shí)，對(duì)任意，恒成立，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，令，，則，可知是增函數(shù)，
由與可知，存在唯一，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，
所以對(duì)任意，，不合題意；
綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
【小問3詳解】
方法一、由，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)，存在不為0的實(shí)數(shù)，使得，
類比雙曲余弦函數(shù)的二倍角公式，
由，，，
猜想：，
由數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，成立；
②假設(shè)當(dāng)為正整數(shù)）時(shí)，猜想成立，即，則
，符合上式，
綜上知，；
若，
設(shè)，則，解得：或，
即，所以，即．
綜上知，存在實(shí)數(shù)，使得成立．
方法二、構(gòu)造數(shù)列，且，
因?yàn)?，所以?br>則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即是以2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，所以，
又因?yàn)?，解得或?br>所以，
綜上知，存在實(shí)數(shù)，使得成立．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識(shí)點(diǎn)的延伸，更考查對(duì)于新知識(shí)的獲取理解能力，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，解題不是事.
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2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三二?？荚嚁?shù)學(xué)文科試題（word版）：

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