（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】若，則，
可得，解得.
故選：D.
2. 某電動摩托車制造企業(yè)為了解其新研發(fā)的一款電動摩托車的續(xù)航里程（單位：公里）情況，隨機(jī)抽查得到了10000個(gè)樣本，根據(jù)統(tǒng)計(jì)這款新型電動摩托車的續(xù)航里程，若，則該樣本中續(xù)航里程不小于70公里的電動摩托車大約有（ ）
A. 10輛B. 100輛C. 180輛D. 900輛
【答案】B
【解析】
【分析】由，利用正態(tài)分布的對稱性可得，從而得到答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>故該樣本中續(xù)航里程不小于70公里的電動摩托車大約有輛；
故選：B
3. 已知事件和相互獨(dú)立，，，則（ ）
A. B. C. D. 試卷源自 每日更新，匯集全國各地小初高最新來這里 全站資源一元不到！試卷?！敬鸢浮緿
【解析】
【分析】利用相互獨(dú)立事件概率公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)槭录拖嗷オ?dú)立，事件為和事件，則，
所以，解得；
故選：D
4. 元末明初詩人高啟在他的《田園書事》中這樣描述谷雨時(shí)節(jié)：葉過谷雨花猶在，衣近梅天潤易生.谷雨時(shí)節(jié)，已知甲?乙兩地每天下雨的概率分別為和，且兩地同時(shí)下雨的概率為.則在甲地下雨的條件下，乙地也下雨的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】記“甲地下雨”為事件A，“乙地下雨”為事件B，可得，，，結(jié)合條件概率公式運(yùn)算求解.
【詳解】記“甲地下雨”為事件A，“乙地下雨”為事件B，
由題意可知：，，，
可得，
所以在甲地下雨的條件下，乙地也下雨的概率為.
故選：C.
5. 已知離散型隨機(jī)變量和滿足關(guān)系式，且隨機(jī)變量的概率分布表如下：
若，則（ ）0
1
3
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)和期望公式求出，再根據(jù)即可得解.
【詳解】由題意可得，解得，
所以.
故選：C.
6. 五一假期期間，一家6人（4名大人和2名小孩）在某風(fēng)景名勝區(qū)拍照留念.要求站成前后兩排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且兩名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，則不同的排法共有（ ）
A. 48種B. 72種C. 90種D. 108種
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)4名大人按身高由小到大依次為，可知前排大人不能為，分類討論前排大人，結(jié)合排列運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)4名大人按身高由小到大依次為，可知前排大人不能為，
若前排大人為，則任意排列均可，則不同的排法有種；
若前排大人為，則身后不能為，則不同的排法有種；
若前排大人為，則身后只能為，則不同的排法有種；
綜上所述：不同的排法共有種.
故選：B.
7. 在四棱錐中，底面是邊長為3的正方形，底面，點(diǎn)在側(cè)棱上，且滿足，則異面直線和的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則.
所以，
設(shè)為直線和的公垂線的方向向量，
則有，可取，
所以異面直線和的距離為.
故選：A.
8. 設(shè)為正整數(shù)，和均為整數(shù)，若和被除后余數(shù)相同，則稱和模同余，記為.已知，，則正整數(shù)的最小值為（ ）
A. 4B. 5C. 12D. 13
【答案】B
【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理可得，將利用二項(xiàng)式展開，將利用二項(xiàng)式展開，得到被17除后的余數(shù)，從而求得正整數(shù)的最小值.
【詳解】由于，
所以，
由于，
所以，
所以，
由于，
所以
因?yàn)?，所以?7除后余數(shù)為5，由，
則正整數(shù)的最小值5；
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分理解同余的定義，然后利用二項(xiàng)式定理對進(jìn)行變形求解.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知隨機(jī)變量，則下列說法一定正確的有（ ）
A.
B. 若，則
C.
D. 若，則
【答案】ABC
【解析】【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】因?yàn)?，可知?br>對于選項(xiàng)A：，故A正確；
對于選項(xiàng)B：若，因?yàn)椋?br>所以，故B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C正確；
對于選項(xiàng)D：若，因?yàn)?br>則，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
10. 某屆國際羽聯(lián)世界錦標(biāo)賽單打決賽在甲?乙兩人之間進(jìn)行，比賽采用五局三勝制.按以往比賽經(jīng)驗(yàn)，每一局甲獲勝的概率為，則下列說法一定正確的有（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，打四局結(jié)束比賽的概率大于打五局結(jié)束比賽的概率
B. 當(dāng)時(shí)，打三局結(jié)束比賽的概率最大
C. 當(dāng)時(shí)，打四局結(jié)束比賽的概率大于打五局結(jié)束比賽的概率
D. 當(dāng)時(shí)，打三局結(jié)束比賽的概率最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式計(jì)算即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則甲輸?shù)母怕蕿椋?br>打四局結(jié)束比賽的概率為，
打五局結(jié)束比賽概率為，打三局結(jié)束比賽的概率為，
所以打四局結(jié)束比賽的概率大于打五局結(jié)束比賽的概率，打四局結(jié)束比賽的概率最大，
故A正確，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，則甲輸?shù)母怕蕿椋?br>打四局結(jié)束比賽的概率為，
打五局結(jié)束比賽的概率為，
打三局結(jié)束比賽的概率為，
所以打四局結(jié)束比賽的概率大于打五局結(jié)束比賽的概率，打三局結(jié)束比賽的概率最大，
故CD正確.
故選：ACD.
11. 在棱長均為1的三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，則下列說法一定正確的有（ ）
A. 當(dāng)點(diǎn)為三角形的重心時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，的最小值為
C. 當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，的最大值為2
D. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】將用表示，再結(jié)合求出，即可判斷A；將平方，將代入，再結(jié)合基本不等式即可判斷B；當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)對使得，再根據(jù)，求出，再根據(jù)即可判斷C；求出在方向上的投影，再利用勾股定理結(jié)合基本不等式即可判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)點(diǎn)為三角形的重心時(shí)，，
所以，又因?yàn)椋?br>所以，所以，故A錯(cuò)誤；
對于B，
，
因?yàn)?，所以?br>則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以，
所以，所以的最小值為，故B正確；
對于C，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，
則存在唯一實(shí)數(shù)對使得，
則，又因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以的最大值?，故C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)知，
，
在方向上的投影為，所以點(diǎn)到的距離，
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，
所以點(diǎn)到的距離的最小值為，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)對使得，再根據(jù)，求出，是解決C選項(xiàng)的關(guān)鍵.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知隨機(jī)變量，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布得期望與方差公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得.
故答案為：.
13. 小明想邀請8位朋友中的5位參加自己的生日宴會，其中甲?乙不能同時(shí)邀請，甲?丙要么都邀請，要么都不邀請，則不同的邀請方法種數(shù)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】分邀請甲，邀請乙，甲乙都不邀請三種情況討論即可得解.
【詳解】若邀請甲，則乙不邀請，丙邀請，故不同的邀請方法種數(shù)為種，
若邀請乙，則甲丙不邀請，故不同的邀請方法種數(shù)為種，
若甲乙都不邀請，則丙不邀請，故不同的邀請方法種數(shù)為種，綜上所述，不同的邀請方法種數(shù)為種.
故答案為：.
14. 已知集合，記集合的元素個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，__________（用數(shù)字表示）；當(dāng)（且）時(shí)，__________.（用含有的式子表示）.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】，列舉出和相應(yīng)的，得到答案；分，，……，，依次得到每種情況下的的個(gè)數(shù)，相加，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)只有種情況，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)可在中按照大小順序選擇三個(gè)數(shù)，
且由于單調(diào)遞增，故不同的選法求出的不同，故有種情況，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)可中按照大小順序選擇三個(gè)數(shù)，
且由于單調(diào)遞增，故不同選法求出的不同，故有種情況，
……，
時(shí)，此時(shí)可在中按照大小順序選擇三個(gè)數(shù)，
此時(shí)有種情況，
綜上，.
故答案為：4，
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：組合數(shù)的一些重要性質(zhì)，，，，，
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并對其求解.
條件①：；條件②：.
問題：已知，若__________.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求的值.
【答案】（1）1 （2）2
【解析】
分析】（1）若選條件①：令即可得結(jié)果；若選條件②：令，可得，，可得，運(yùn)算求解即可；
（2）根據(jù)（1）可得，且，令即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>若選條件①：令，可得，解得；
若選條件②：令，可得，
令，可得，
則，解得.
【小問2詳解】
由（1）可知：，且，令，可得，
則，
所以.
16. 某校書法社共有社團(tuán)成員12人，其中男社團(tuán)成員7人，女社團(tuán)成員5人，現(xiàn)從中選舉產(chǎn)生1名社長和2名副社長.
（1）若至多有1名男社團(tuán)成員當(dāng)選，求不同的當(dāng)選方法總數(shù)；
（2）若至少有1名男社團(tuán)成員當(dāng)選，求不同的當(dāng)選方法總數(shù)；
（3）若既要有男社團(tuán)成員當(dāng)選，又要有女社團(tuán)成員當(dāng)選，求不同的當(dāng)選方法總數(shù).
注：最后結(jié)果請以具體數(shù)字做答.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分有1名男社團(tuán)成員當(dāng)選和沒有男社團(tuán)成員當(dāng)選兩種情況討論即可得解；
（2）分1名男社團(tuán)成員當(dāng)選，2名男社團(tuán)成員當(dāng)選，3名男社團(tuán)成員當(dāng)選三種情況討論即可；
（3）分1名男社團(tuán)成員當(dāng)選，2名男社團(tuán)成員當(dāng)選兩種情況討論即可得解.
【小問1詳解】
若有1名男社團(tuán)成員當(dāng)選，則不同的當(dāng)選方法有種，
若沒有男社團(tuán)成員當(dāng)選，則不同的當(dāng)選方法有種，
所以至多有1名男社團(tuán)成員當(dāng)選，不同的當(dāng)選方法總數(shù)為；
【小問2詳解】
若有1名男社團(tuán)成員當(dāng)選，則不同的當(dāng)選方法有種，
若有2名男社團(tuán)成員當(dāng)選，則不同的當(dāng)選方法有種，
若有3名男社團(tuán)成員當(dāng)選，則不同的當(dāng)選方法有種，
所以至少有1名男社團(tuán)成員當(dāng)選，不同的當(dāng)選方法總數(shù)為種；
【小問3詳解】
由（2）可知，不同的當(dāng)選方法總數(shù)為.17. 已知某?；@球隊(duì)共有9名隊(duì)員，其中5名主力隊(duì)員，4名替補(bǔ)隊(duì)員.在某次訓(xùn)練中，該?；@球隊(duì)教練從中隨機(jī)地挑選3名隊(duì)員進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每名隊(duì)員至多投籃5次，一旦連續(xù)命中2次或者投完5次，都停止投籃.
（1）記選出的3名隊(duì)員中主力隊(duì)員的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
（2）已知隊(duì)員甲被選中參加投籃訓(xùn)練，假定隊(duì)員甲每次投籃命中率均為，記隊(duì)員甲投籃次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選出名隊(duì)員中主力隊(duì)員，求解概率分布和數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)每名隊(duì)員至多投籃5次，一旦連續(xù)命中2次或投完5次，可得，求出期分布和期望.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可得，
則,,
,,
則的分布列為：
所以
【小問2詳解】
根據(jù)每名隊(duì)員至多投籃5次，一旦連續(xù)命中2次或投完5次，可得，則
則的分布列，
.
18. 如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱，點(diǎn)分別在側(cè)棱上，且，點(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn).

（1）求二面角的余弦值：
（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，利用向量夾角公式計(jì)算可得答案；
（2）設(shè)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式表示出直線與平面所成角的正弦值，結(jié)合二次函數(shù)的知識，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)樵谥彼睦庵校酌媸沁呴L為2的正方形，
所以以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則
所以，
因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值.
【小問2詳解】
由(1)知，，，，
因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn)，設(shè)，所以，則，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
則，
令，則，所以，
則，，
所以，則，
所以，則當(dāng)，
即時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大值，最大值為.
19. 有一個(gè)益智類的古堡探險(xiǎn)闖關(guān)游戲，玩家每局都有甲?乙兩座不同的古堡可供選擇.已知某玩家古堡甲闖關(guān)成功的概率為，古堡乙闖關(guān)成功的概率為.若該玩家第一局選擇古堡甲闖關(guān)的概率為，前一局選擇了古堡甲闖關(guān)，則繼續(xù)選擇古堡甲闖關(guān)的概率為；前一局選擇了古堡乙闖關(guān)，則繼續(xù)選擇古堡乙闖關(guān)的概率為.
（1）求該玩家第一局闖關(guān)成功的概率；
（2）記該玩家第局選擇古堡甲闖關(guān)的概率為，第局闖關(guān)成功的概率為.
（i）求和的表達(dá)式；
（ii）當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】（1）
（2）（i）；（ii）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式求解即可；
（2）（i）利用全概率公式求解即可；
（ii）由題意可得，利用待定系數(shù)法求出表達(dá)式，再結(jié)合（i）可求得的表達(dá)式，再分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意，該玩家第一局闖關(guān)成功的概率為；
【小問2詳解】
（i）由題意可得；
（ii）當(dāng)時(shí)，，
所以，
又，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，故，
所以，
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，，
令，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即，
所以當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于數(shù)列和概率相結(jié)合的題目，一般是先根據(jù)條件得到遞推公式，然后再根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)公式.

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