山東省聊城市臨清市2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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（時(shí)間：120分鐘 滿分：120分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．
1. 在，，，，，（相鄰兩個(gè)之間的個(gè)數(shù)逐次加），其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．根據(jù)定義回答即可找到答案．
【詳解】解：，，這三個(gè)無理數(shù)．
故選：A．
2. 已知，則下列各式中一定成立的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)依次判斷即可．
本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】A、∵，
∴，
故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、當(dāng)時(shí)，，
故B選項(xiàng)是錯(cuò)誤；
C、∵
，
∴，
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵，
∴，
故D選項(xiàng)正確；
故選：D．
3. 在中，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，若，，，的周長為（ ）
A. 13B. 16C. 18D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線互相平分，進(jìn)而得出，的長，即可得出的周長．
【詳解】解：∵的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，，，，
∴，，，
∴的周長為：．
故選：A．
4. 在中，，則不能作為判定是直角三角形的條件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查勾股定理逆定理和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角形內(nèi)角和及勾股定理可進(jìn)行求解．
【詳解】解：A、∵，能判定是直角三角形，故不符合題意；
B、∵，即，根據(jù)勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合題意；
C、由可設(shè)，則有，所以不能構(gòu)成三角形，更不能判定是直角三角形，故符合題意；
D、由可設(shè)，所以，解得，能判定是直角三角形，故不符合題意；
故選：C．
5. 如圖，在矩形中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)勾股定理求得，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得出．
【詳解】解：連接，
四邊形是矩形，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
，
，
故選：B．
6. 如圖，長方形中，，，將此長方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面積計(jì)算公式求解即可．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，
設(shè)，則，
由長方形的性質(zhì)可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故選：C．
7. 近幾年，臨清胡同游讓更多百姓了解了臨清運(yùn)河文化，也成為外地朋友了解臨清運(yùn)河文化的一扇窗口．五一期間胡同游計(jì)劃全程4000米，途經(jīng)多個(gè)景點(diǎn)．劉爺爺為熟悉活動(dòng)路線，沿活動(dòng)路線先以55米/分的平均速度行走了半小時(shí)，路過某景點(diǎn)后，加快了速度．若劉爺爺走完全程的時(shí)間少于60分鐘，則他后半程的平均速度x（米/分）滿足的不等式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列不等式，根據(jù)劉爺爺走完全程的時(shí)間少于60分鐘，得到60分鐘行走的路程大于，列出不等式即可．
【詳解】解：設(shè)劉爺爺后半程的平均速度為x（米/分），由題意，得：
；
故選D．
8. 如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊作等邊三角形CDE，BE與AC相交于點(diǎn)M，則∠AMD的度數(shù)是（ ）
A. 75°B. 60°C. 54°D. 67.5°
【答案】B
【解析】
【詳解】如圖，連接BD，
由已知條件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°，
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°，
∴∠AMB=180°-∠BMC=60°，
∵正方形ABCD是關(guān)于AC對(duì)稱的，M在AC上，
∴BM=DM，
∴∠AMD=∠AMB=60°，
故選B．
9. 定義：對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)．例如：如果，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由新定義得出3≤＜4，再進(jìn)一步求解即可．
【詳解】∵符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)，[]＝3，
∴3≤＜4，
解得：5≤x＜7，
∴x的取值范圍是5≤x＜7．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組，正確解不等式組是基礎(chǔ)，根據(jù)題意正確列出不等式組是解答此題的關(guān)鍵．
10. 如圖，中，，為的外角平分線，且于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，若，則的長為（ ）

A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】延長，交于點(diǎn)F，根據(jù)題目條件判斷，得出，，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：延長，交于點(diǎn)F ，
為的外角平分線，，
，
在和中，
，
，
，，
E為的中點(diǎn)，
，
，
，
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等，三角形中位線的判定及性質(zhì)，掌握三角形中位線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．
11. 若一個(gè)正數(shù)的平方根是和，則這個(gè)正數(shù)是________．
【答案】4
【解析】
【詳解】一個(gè)正數(shù)的平方根是a+1和a-3，
可得a+1+a-3=0，解得a=1，
所以a+1=2，即可得這個(gè)正數(shù)是4．
故答案為：4．
12. 已知關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，則k的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出關(guān)于k的不等式求出k的取值范圍是解題關(guān)鍵．
把k看作已知數(shù)表示出方程的解，根據(jù)解為非負(fù)數(shù)，確定出k的范圍，即可得出答案．
【詳解】解：
解得：，
由題意得：，
解得：，
∴k的最小值為．
故答案為：．
13. 如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，則正方形B的面積為__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．
【詳解】解：由題意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C，
∵正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，
∴S正方形B+4=18-6，
∴S正方形B=8．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
14. 如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為1，點(diǎn)B，C，D是的正方形網(wǎng)格上的格點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫圓交數(shù)軸于M，N兩點(diǎn)，則M點(diǎn)所表示的數(shù)為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．
直接利用勾股定理得出的長，再利用數(shù)軸得出答案．
【詳解】解：∵軸，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴M點(diǎn)所表示的數(shù)為：．
故答案為：．
15. 關(guān)于x的不等式組 有且只有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題關(guān)鍵．
解該不等式組可得，結(jié)合該不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，易知該不等式組的三個(gè)整數(shù)解為2，3，4，即可獲得答案．
【詳解】解：
由①得：，
所以，該不等式組的解集為，
若有且只有三個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)為2，3，4，
∴，
故答案為：．
16. 如圖，以的三邊為邊在上方分別作等邊，，，且點(diǎn)A在內(nèi)部．給出以下結(jié)論：①四邊形是平行四邊形；
②當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；
③當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形；
④當(dāng)，且時(shí)，四邊形是正方形．其中正確結(jié)論有______（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】證明和即可判斷；由得到即可判斷②；當(dāng)時(shí)，求出即可判斷③；綜合結(jié)論②③即可判斷；
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理由，
∴，
∴，
由，即可得出四邊形 是平行四邊形，故結(jié)論正確；
由知，四邊形 是平行四邊形，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴平行四邊形是菱形，故結(jié)論正確；
當(dāng)時(shí)，
，
由知四邊形是平行四邊形，
∴平行四邊形不是矩形，故結(jié)論錯(cuò)誤；
根據(jù)結(jié)論②可知，當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，當(dāng)時(shí)，四邊形不是矩形，
∴四邊形不是正方形，故結(jié)論錯(cuò)誤；
綜上分析可知，正確的結(jié)論為①②．
故答案為：①②．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形及矩形、菱形、正方形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊四邊形的判定方法．
三、解答題：本題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17 按要求解答：
（1）求下列各式中的x：
①；
②．
（2）計(jì)算：．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、立方根、算術(shù)平方根、絕對(duì)值等考點(diǎn)的計(jì)算．
（1）可用直接開平方和開立方進(jìn)行解答．
（2）根據(jù)絕對(duì)值、立方根、算術(shù)平方根、二次根式化簡(jiǎn)等考點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
【小問1詳解】
解：①∵，
∴，
∴．
故答案為：．
②∵，
∴．
故答案為：．
【小問2詳解】
原式
故答案為：．
18. 解不等式（組）：
（1）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
（2）解不等式組：．
【答案】（1）；圖見解析
（2）
【解析】
【分析】本題考查求不等式和不等式組的解集，并在數(shù)軸上表示出解集：
（1）去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化1，求出不等式的解集，進(jìn)而在數(shù)軸上表示出解集即可；
（2）先求出每一個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．
【小問1詳解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴；
數(shù)軸表示如圖：
【小問2詳解】
，
由①，得：，
由②，得：，
故不等式組的解集為：．
19. 為進(jìn)一步落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義接班人，某校開展勞動(dòng)教育課程，并取得了豐碩成果．如圖是該校開墾的一塊作為學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐基地的四邊形荒地．經(jīng)測(cè)量，且．該校計(jì)劃在此空地（陰影部分）上種植花卉，若每種植花卉需要花費(fèi)100元，則此塊空地全部種植花卉共需花費(fèi)多少元？
【答案】此塊空地全部種植花卉共需花費(fèi)3600元
【解析】
【分析】本題考查三線合一，勾股定理及其逆定理，過A作于點(diǎn)E，三線合一求出的長，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，利用等腰三角形的面積減去直角三角形的面積求出陰影部分的面積，再乘以單價(jià)即可．
【詳解】解：如圖，過A作于點(diǎn)E，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴（元）．
答：此塊空地全部種植花卉共需花費(fèi)3600元．
20. 材料1：因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不夠百分百準(zhǔn)確．
材料2：任何一個(gè)無理數(shù)，都夾在兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，如．是因?yàn)?，所以的整?shù)部分是2，小數(shù)部分是．
根據(jù)上述材料，回答下列問題：
（1）的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______；
（2）若整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，求的值．
【答案】（1）4；
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算：
（1）先估算出，據(jù)此仿照題意可得答案；
（2）先估算出，進(jìn)而求出，據(jù)此可得a、b的值，最后代值計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解；∵，
∴，
∴的整數(shù)部分是4，
∴小數(shù)部分是，
故答案為：4；；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∴的整數(shù)部分，
∴的小數(shù)部分，
∴．
21. 如圖，已知菱形中，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接．求證：四邊形是矩形．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查菱形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，根據(jù)先證明為等邊三角形，三線合一，得到，證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，即可得出結(jié)論。
【詳解】證明：∵四邊形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∴．
∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，
∴，．
∵四邊形是菱形，
∴且，
∴且，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形．
22. 某倉庫放置若干個(gè)A型部件和B型部件．已知1個(gè)A型部件和2個(gè)B型部件的總質(zhì)量為噸，2個(gè)A型部件和3個(gè)B型部件的質(zhì)量剛好相等．
（1）求1個(gè)A型部件和1個(gè)B型部件的質(zhì)量各是多少？
（2）來自工業(yè)和信息化部公布的數(shù)據(jù)，2023年我國汽車出口首次躍居全球第一．現(xiàn)有一種我國自產(chǎn)的卡車，最大額定載重質(zhì)量為15噸，要用一輛這種卡車運(yùn)輸16個(gè)兩種部件去往某地，由于其它方面都滿足運(yùn)輸要求，只需考慮所載部件的總質(zhì)量不能超過汽車的最大額定載重量．求這輛卡車最少要運(yùn)輸多少個(gè)B型部件？
【答案】（1）1個(gè)A型部件的質(zhì)量噸，1個(gè)B型部件的質(zhì)量是噸；
（2）這輛卡車最少要運(yùn)輸11個(gè)B型部件．
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一不等式的應(yīng)用，讀懂題意，找出數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)1個(gè)A型部件的質(zhì)量噸，1個(gè)B型部件的質(zhì)量是噸，根據(jù)題意列二元一次方程求解即可；
（2）設(shè)這輛卡車要運(yùn)輸個(gè)B型部件，則運(yùn)輸個(gè)A型部件，根據(jù)題意列不等式求解，取最小正整數(shù)解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)1個(gè)A型部件的質(zhì)量噸，1個(gè)B型部件的質(zhì)量是噸，
由題意得：，解得：，
答：1個(gè)A型部件的質(zhì)量噸，1個(gè)B型部件的質(zhì)量是噸；
【小問2詳解】
解：設(shè)這輛卡車要運(yùn)輸個(gè)B型部件，則運(yùn)輸個(gè)A型部件，
由題意得：，
解得：，
為正整數(shù)，
這輛卡車最少要運(yùn)輸11個(gè)B型部件．
23. 在中，，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F．
（1）證明四邊形是菱形；
（2）若，，求菱形的面積．
【答案】（1）證明過程見解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）證明，可得，再由D是的中點(diǎn)，即，根據(jù)可證四邊形是平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論；
（2）連接，證明四邊形是平行四邊形，可得，再利用菱形的面積公式即可計(jì)算出結(jié)果．
【小問1詳解】
證明：∵，
，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
在和中，
，
，
，
∵D是的中點(diǎn)，
，
，
又，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，D是的中點(diǎn)，
∴在中，，
∴平行四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：連接，∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
，
又∵四邊形是菱形，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)及菱形的面積計(jì)算，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
24. 綜合與實(shí)踐
【問題情境】
數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．
【探究實(shí)踐】
老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？
（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開成平面圖形，可得到長為20，寬為15的長方形，連接，經(jīng)過計(jì)算得到長度為______，就是最短路程．
【變式探究】
（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30 cm，高是8 cm，若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離為______．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9 cm，底面周長為16 cm，在杯內(nèi)壁離杯底4 cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1 cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是10 cm
【解析】
【分析】本題考查勾股定理最短路徑問題：
（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；
（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可；
（3）將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】解：（1）由勾股定理，得：；
故答案為：25；
（2）將圓柱體展開，如圖，由題意，得：
，，
由勾股定理得：；
故答案為：17 cm．
（3）如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作，交延長線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，
，
∵底面周長為，
，
，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，