遼寧省鐵嶺市鐵嶺縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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考試時(shí)間120分鐘，試卷滿分120分.
考生注意：請?jiān)诖痤}卡各題目規(guī)定答題區(qū)內(nèi)作答，答在本試卷上無效.
第一部分 選擇題（共30分）
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長,其中能構(gòu)成直角三角形的是( )
A. B. 1,
C. 6,7,8D. 2,3,4
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B．12+（）2=（）2,故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C．62+72≠82，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D．22+32≠42，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，會(huì)判斷是否為直角三角形是解答關(guān)鍵.
2. 下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
【詳解】解：A、被開方數(shù)含分母，故A錯(cuò)誤；
B、被開方數(shù)含分母，故B錯(cuò)誤；
C、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D、被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查最簡二次根式的定義，被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
3. 下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：如圖：
A、∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；故A選項(xiàng)不符合題意；
B、∵，，
∴四邊形是平行四邊形；故B選項(xiàng)不符合題意；
C、，無法判斷四邊形是平行四邊形；故C選項(xiàng)符合題意；
D、∵，，
∴四邊形是平行四邊形；故D選項(xiàng)不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．
4. 下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)二次根式的加減乘除法運(yùn)算法則計(jì)算出各選項(xiàng)的結(jié)果，再進(jìn)行判斷即可得到正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：A.與不是同類二次根式，不能合并，故A錯(cuò)誤；
B. ，故B正確；
C. ，故C錯(cuò)誤；
D. 2與，不是同類二次根式，不能合并，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減乘除運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
5. 下列圖象中，表示y是x的函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的意義即可求出答案．函數(shù)的意義反映在圖象上簡單的判斷方法是：作垂直x軸的直線在左右平移的過程中與函數(shù)圖象只會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)．
【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的意義可知：對(duì)于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)，所以只有選項(xiàng)A滿足條件．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義，函數(shù)的定義：在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x，y，對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)，x叫自變量．
6. 下列測量方案中，能確定四邊形門框?yàn)榫匦蔚氖牵? ）
A. 測量對(duì)角線是否互相平分B. 測量兩組對(duì)邊是否分別相等
C. 測量對(duì)角線是否相等D. 測量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、∵對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，
∴對(duì)角線互相平分且相等的四邊形才是矩形，
∴選項(xiàng)A不符合題意；
B、∵兩組對(duì)邊分別相等平行四邊形，
∴選項(xiàng)B不符合題意；
C、∵對(duì)角線互相平分且相等的四邊形才是矩形，
∴對(duì)角線相等的四邊形不是矩形，
∴選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，
∴對(duì)角線互相平分且相等，
∵對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，
∴選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟記矩形的判定定理．
7. 如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn).若，的周長是，則的長為（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)，解答本題需要用到：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，三角形中位線的判定定理及性質(zhì)．根據(jù)厘米，可得出，繼而求出，判斷是的中位線，即可得出的長度．
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵，
∴，
∵的周長是，
∴，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴．
故選：C
8. 三角形的三邊長a、b、c滿足，則此三角形是（ ）
A. 直角三角形B. 銳角三角形C. 鈍角三角形D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】
【詳解】∵(a+b)2-c2=2ab，
∴a2+2ab+b2-c2=2ab.
∴a2+b2=c2.
∴此三角形是直角三角形.
故選A.
點(diǎn)睛: 解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a 2＋b 2＝c 2，則三角形ABC是直角三角形．
9. 已知菱形的兩條對(duì)角線長為8和6，那么這個(gè)菱形的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出，利用等積法即可求出答案．
【詳解】解：如圖，四邊形是菱形，，，，，
作于E，
∴，
∴，
∴菱形的面積=
∴，
∴，
即菱形的高為．
故選：C．
10. 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊AB、BC、AD上的中點(diǎn)，連接AF、DE交于點(diǎn)M，連接GM、CG，CG與DE交于點(diǎn)N，則結(jié)論①GM⊥CM；②CD＝DM；③四邊形AGCF是平行四邊形；④∠CMD＝∠AGM中正確的有（ ）個(gè)．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)判斷③正確，再根據(jù)SAS證出△ADE≌△BAF，得出∠AME＝90°，從而證出∠GND＝90°再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出DG=MG,，利用等腰三角形的三線合一，得出DN=MN，從而得出CG垂直平分DM，從而得出①②正確，再利用等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和證明④不成立即可．
【詳解】解：正方形ABCD中，AD=BC
∵點(diǎn)E、F、分別為邊AB、BC上的中點(diǎn)，
∴AG∥FC且AG＝FC，
∴四邊形AGCF為平行四邊形，故③正確；
∴AF//CG
∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND
在△ADE和△BAF中，
∵，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AEM＝90°
∴∠EAM+∠AEM＝90°
∴∠AME＝90°
∴∠GND＝90°
∴DE⊥CG．
∵∠AMD＝90°,G點(diǎn)AD中點(diǎn)，
∴DG=MG, DE⊥CG．
∴CG垂直平分DM，
∴CD＝CM，
但是∠MDC不等于60°，所以
CD不等于DM故②錯(cuò)誤；
在△GDC和△GMC中，
∵ ，
∴△GDC≌△GMC（SSS），
∴∠CDG＝∠CMG＝90°，∠MGC＝∠DGC，
∴GM⊥CM，故①正確；
∵∠CDG＝∠CMG＝90°，
∴∠MGD+∠DCM=360°-∠CDG-∠CMG=180°
∵∠AGM+∠MGD=180°，
∴∠AGM＝∠DCM，
∵CD＝CM，
∴∠CMD＝∠CDM，
在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，
∴DM＜AD，
∴DM＜CD，
∴∠DMC≠∠DCM，
∴∠CMD≠∠AGM，故④錯(cuò)誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用．在解答中靈活運(yùn)用正方形的中點(diǎn)問題解決問題，靈活運(yùn)用了幾何圖形知識(shí)解決問題．
第二部分 非選擇題（共90分）
二、填空題：（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 函數(shù)中，自變量的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)被開方式是非負(fù)數(shù)列式求解即可.
【詳解】解：依題意，得，
解得：，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)有意義時(shí)字母的取值范圍一般從幾個(gè)方面考慮：①當(dāng)函數(shù)解析式是整式時(shí)，字母可取全體實(shí)數(shù)；②當(dāng)函數(shù)解析式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)函數(shù)解析式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．④對(duì)于實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際問題有意義．
12. 如圖，在平行四邊形中，平分，點(diǎn)E在上，，，則平行四邊形的周長等于______.
【答案】20
【解析】
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到證明，則，根據(jù)，得到，即可求出平行四邊形的周長.
【詳解】∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴周長．
故答案為：20
13. 如圖，有兩棵樹，一棵高11米，另一棵高6米，兩樹相距12米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行________________米．
【答案】13
【解析】
【詳解】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．
【分析】解：如圖，大樹高為，小樹高為，
，
過點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，連接，
，，，
在中，，
故小鳥至少飛行．
故答案為：13．
14. 我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b，那么的值是______．
【答案】25
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式，完全平方式的運(yùn)用：先根據(jù)三角形與大小正方形的面積關(guān)系進(jìn)行列式，再代數(shù)化簡，即可作答．
【詳解】解：根據(jù)題意，∵大正方形的面積是13，
∴大正方形的邊長為
則結(jié)合勾股定理，得，
∵小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b，
∴四個(gè)三角形的面積
∴，
則．
故答案為：25．
15. 如圖，折疊長方形的一邊，使點(diǎn)D落在邊上F處，已知，，則的長為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)折疊變換的性質(zhì)可知，再由矩形的性質(zhì)得到，再根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而求出，設(shè) ，則，根據(jù)勾股定理，設(shè)，則在中，根據(jù)勾股定理即可求出．
【詳解】∵是沿折疊得到的，
∴
∵四邊形是矩形
∴
∴
在中，，
根據(jù)勾股定理可知，
∴
∴
設(shè)，則，
在中，，
即
∴，即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握勾股定理解出的長，是本題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）
16. 計(jì)算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】此題考查了二次根式的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，熟練掌握法則準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（1）化簡每個(gè)二次根式，再合并同類二次根式即可；
（2）化簡二次根式并把除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先計(jì)算乘除法，再進(jìn)行加減法即可；
（4）利用平方差公式和二次根式的性質(zhì)即可得到答案．
【小問1詳解】
【小問2詳解】
【小問3詳解】
【小問4詳解】
17. 如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求證：∠A+∠C=180°.
【答案】見解析
【解析】
【分析】連接AC．首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠D=90°，進(jìn)而求出∠A+∠C=180°
【詳解】證明：連接AC.
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理,得AC2=202+152=625
又CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2
∴∠D=90°，
∴∠A+∠C=360°?180°=180°
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多邊形內(nèi)角與外角，借助輔助線方法是解決本題的關(guān)鍵
18. 如圖，中，，，E、F分別是，上的點(diǎn)，且，連接交于O．
（1）求證：；
（2）若，延長交的延長線于G，當(dāng)時(shí)，求的長．
【答案】（1）見詳解 （2）
【解析】
【分析】（1）通過證明和全等即可．
（2）由為等腰直角三角形得出，由得，所以與都是等腰直角三角形，從而求得、長，然后由（1）中和全等得出，進(jìn)而求得的長，的長即可求得．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形平行四邊形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1），
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解決本題的關(guān)鍵．
19. 問題背景：在中，三邊的長分別為、、，求這個(gè)三角形的面積，小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示.這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．
（1）的面積=______；邊上的高=______．
（2）在圖2中畫，三邊的長分別為、、
①判斷三角形的形狀，說明理由．
②求這個(gè)三角形的面積．
【答案】（1），
（2）①是直角三角形；②
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用和勾股定理逆定理．熟練掌握勾股定理和逆定理是解題的關(guān)鍵．
（1）利用正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積即可得到的面積，根據(jù)等積法即可求得邊上的高；
（2）①根據(jù)勾股定理的逆定理得到三角形為直角三角形；②利用長方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：；
設(shè)邊上的高為h，
則，
∵
∴
故答案為：，
【小問2詳解】
解：①畫圖如下：即為所求；

由圖可知：，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
②．
20. 在“看圖說故事”活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合下面圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境．

已知張強(qiáng)家、蔬菜種植基地和農(nóng)貿(mào)市場依次在同一直線上，張強(qiáng)家距蔬菜種植基地公里，張強(qiáng)家距農(nóng)貿(mào)市場公里．某天早晨張強(qiáng)從家出發(fā)，勻速行駛分鐘到達(dá)蔬菜種植基地；在基地停留分鐘裝載蔬菜；然后勻速行駛了分鐘到達(dá)農(nóng)貿(mào)市場；在農(nóng)貿(mào)市場停留分鐘后，勻速行駛分鐘返回家中，給出的圖象反映了這個(gè)過程中張強(qiáng)離開家的距離與離開家的時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（1）填表：
（2）填空：
①蔬菜種植基地與農(nóng)貿(mào)市場的距離是____________；
②從蔬菜種植基地到農(nóng)貿(mào)市場的速度是_____________；
③當(dāng)張強(qiáng)離家的距離為10km時(shí)，他離開家的時(shí)間是______________；
（3）當(dāng)時(shí)，請直接寫出y與x的函數(shù)解析式．
【答案】（1）見解析 （2）①；②1；③15或230
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合路程時(shí)間速度進(jìn)行求解即可；
（2）①根據(jù)函數(shù)圖象進(jìn)行求解即可；②根據(jù)路程時(shí)間速度進(jìn)行求解即可；③分當(dāng)張強(qiáng)是從家到蔬菜基地的途中離家的距離為10km時(shí)， 當(dāng)張強(qiáng)是從農(nóng)貿(mào)市場回家的途中離家的距離為10km時(shí)，兩種情況討論求解即可；
（3）根據(jù)路程時(shí)間速度列出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可．
【小問1詳解】
解：由題意得，張強(qiáng)離家時(shí)間為時(shí)，此時(shí)張強(qiáng)在蔬菜基地，即此時(shí)張強(qiáng)離家的距離為；
張強(qiáng)從蔬菜基地到農(nóng)貿(mào)市場的速度為，
∴張強(qiáng)離家時(shí)間為時(shí)，此時(shí)張強(qiáng)離家的距離為；
張強(qiáng)農(nóng)貿(mào)市場回家的速度為，
∴張強(qiáng)離家時(shí)間為時(shí)，此時(shí)張強(qiáng)離家的距離為；
填表如下所示：
【小問2詳解】解：①蔬菜種植基地與農(nóng)貿(mào)市場的距離是，
故答案為：；
②由（1）得從蔬菜種植基地到農(nóng)貿(mào)市場的速度是，
故答案為：1；
③當(dāng)張強(qiáng)是從家到蔬菜基地的途中離家的距離為10km時(shí)，他離開家的時(shí)間是；
當(dāng)張強(qiáng)是從農(nóng)貿(mào)市場回家的途中離家的距離為10km時(shí)，他離開家的時(shí)間是，
故答案為：15或230；
【小問3詳解】
解：由題意得，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，求函數(shù)關(guān)系式，正確讀懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
21. 已知如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，.
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直可得，然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明；
（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，判斷出是等邊三角形，然后求出、，再根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解．
【小問1詳解】
證明：∵，，
四邊形是平行四邊形，
在菱形中，，
，
四邊形是矩形；
【小問2詳解】
解：∵四邊形是菱形，
∴，，
，
，
是等邊三角形，
∴
，，
四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定，勾股定理和含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，主要利用了有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，熟練掌握矩形，菱形與平行四邊形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，正方形中，，點(diǎn)E是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，以、為鄰邊作矩形，連接，．

（1）求證：①；
②矩形是正方形；
（2）求的值．
【答案】（1）①見解析；②見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①過E作于M，于N利用正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，再證明四邊形是矩形，又四邊形是矩形和全等三角形的判定證明，得到，利用等腰三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；②根據(jù)正方形的判定可得結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明得到，進(jìn)而得到即可求解．
【小問1詳解】
證明：過E作于M，于N，則，

∵四邊形是正方形，
∴，，又，
∴，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，又四邊形是矩形，
∴，
∴，又，，
∴，則，
∴，則；
②∵四邊形是矩形，，
∴四邊形是正方形；
【小問2詳解】
解 ：∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
23. 如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、．
（1）請用含有的式子填空： ， ， ；
（2）是否存在某一時(shí)刻使四邊形為菱形？如果存在，求出相應(yīng)的值；如果不存在，說明理由；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？請說明理由．
【答案】（1），，
（2）存在，
（3）5或8，理由見解析
【解析】
【分析】（1）在直角三角形中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出的長，由則可得出答案；
（2）證明四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，平行四邊形是菱形，可得出，求出的值即可；
（3）分三種不同的情況，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【小問1詳解】
解：∵點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，
∴，
∵點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：，，．
【小問2詳解】
存在，理由如下：
由（1）知：，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
當(dāng)時(shí)，平行四邊形是菱形，
即，解得，
則存在，使得平行四邊形成為菱形．
【小問3詳解】
當(dāng)為直角三角形時(shí)，有三種可能：
①當(dāng)時(shí)，
∵，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，即是直角三角形，
在中，，
∴，
∴，即，解得：；
②當(dāng)時(shí)，由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得：；
③當(dāng)時(shí)，表示點(diǎn)與點(diǎn)重合，根據(jù)題意此種情況不存在．
綜上所述：當(dāng)為或時(shí)，為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．離開家的時(shí)間/
離開家的距離/
離開家的時(shí)間/
20
40
80
110
200
離開家的距離/
20
30
60
35