一、填空題（本題共12小題，前6題每小題4分；后6題每小題5分，共54分．請(qǐng)?jiān)跈M線上方填寫最終的、最簡(jiǎn)的、完整的結(jié)果）
1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模為_(kāi)_______．
2．*已知集合，，則________．
3．不等式的解集為_(kāi)_______．
4．一組數(shù)據(jù)的方差是4，將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以5，所得到的新數(shù)據(jù)的方差是________．
5．已知，若，則________．
6．*已知向量，向量，則向量在向量上的數(shù)量投影為_(kāi)_______．
7．從寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任選2張，其上數(shù)字和為偶數(shù)的概率是________．
8．已知，若對(duì)任意，，則的取值范圍是________．
9．容量為的一組數(shù)據(jù)，它的第百分位數(shù)（為1到99之間的整數(shù)）各不相同，則的最小值為_(kāi)_______．
10．定義在上的函數(shù)，其圖像與水平直線的交點(diǎn)從左往右分別記為．若，則的取值范圍是_________．
11．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為和，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)點(diǎn)作的切線，與的兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)_______．
12．已知向量滿足，，則的取值范圍是________．
二、選擇題．（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)?zhí)顚懛弦蟮倪x項(xiàng)前的代號(hào)）
13．*已知兩個(gè)不同的平面和，為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件；B．必要非充分條件，
C．充要條件： D．既非充分也非必要條件．
14．中，以下與“”不等價(jià)的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
15．天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”…，以此類推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（ ）
A．丁酉年； B．丁戌年； C．戊酉年； D．戊戌年．
16．如圖，已知中為直角，是線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．； B．與的大小關(guān)系與點(diǎn)位置有關(guān)；
C．； D．與的大小關(guān)系與大小有關(guān)．
三、解答題．（本大題共5小題，滿分78分．請(qǐng)寫出必要的證明過(guò)程或演算步驟）
17．（本題滿分14分）第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．
已知函數(shù)的表達(dá)式．
（1）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)是奇函數(shù)？若存在，請(qǐng)寫出證明；
（2）當(dāng)吋，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（本題滿分14分）第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．
為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的和濃度（單位：），得下表：
（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：
并判斷，該市一天空氣中濃度與濃度是否有關(guān)？
附：．
19．（本題滿分14分）第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分5分．
在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求直線與平面所成角的正弦值．
20．（本題滿分18分）第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．
已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，，．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)．
（i）求證：點(diǎn)軌跡方程為；
（ii）為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)在定直線上．
21．（本題滿分18分）第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．
設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示，，…，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．
（1）若，，求，，的值；
（2）若為常數(shù)列，證明是等差數(shù)列；
（3）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得，，，，…是等差數(shù)列．
32
18
4
6
8
12
3
7
10
參考答案
一、填空題
1.； 2.； 3.； 4. ； 5. ； 6. ； 7.；
8. ； 9. ； 10. ； 11.； 12. ；
11．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為和，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)點(diǎn)作的切線，與的兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】不妨設(shè)直線與圓的切點(diǎn)為，此時(shí)，且.
又，所以.
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，此時(shí)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，，因?yàn)?，所以為銳角，
則，可得，
此時(shí)，所以.
易知，即，解得，則離心率
12．已知向量滿足，，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】.
∴，
∴的取值范圍是.
二、選擇題
13.B； 14.C； 15.A； 16.
15．天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”…，以此類推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（ ）
A．丁酉年； B．丁戌年； C．戊酉年； D．戊戌年．
【答案】A
【解析】天干以十年為一個(gè)周期，地支以十二年為一個(gè)周期. 1777年與2024年相隔247年，天干有24個(gè)周期，余7年；地支有20個(gè)周期，余7年。故甲往前數(shù)7年為丁，辰往前數(shù)7年為酉，故1777年為丁酉年，選A.
三、解答題
17.（1），證明略 （2）
18.（1）0.64
（2）表格補(bǔ)充如下：
假設(shè)該市一天空氣中濃度與濃度無(wú)關(guān).
經(jīng)計(jì)算得：，即原假設(shè)成立的可能性低于，故有的把握認(rèn)為原假設(shè)錯(cuò)誤，
19.（1）證明略；（2）；（3）.
20. 已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，，．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)．
（i）求證：點(diǎn)軌跡方程為；
（ii）為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)在定直線上．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解.
【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得.
因?yàn)椋?
在中，由余弦定理得，解得，
則，故橢圓的方程為；
（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得.
因在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交.
設(shè)，由韋達(dá)定理得，
所以.
因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，此時(shí)，則.
聯(lián)立得，則.
不妨設(shè)，所以.
不妨設(shè)，由得，
即.
因?yàn)椋?
∵，所以，即，則點(diǎn)在定直線上.
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，軸，此時(shí).
因?yàn)?，所以，則，故點(diǎn)在定直線上；
當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，此時(shí)直線方程為，易知軸，所以點(diǎn)在軸上，則.∵，所以，即，則點(diǎn)在定直線上.
綜上可得：點(diǎn)在定直線上.
21. 設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．
（1）若，，求，，的值；
（2）若為常數(shù)列，證明：是等差數(shù)列；
（3）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得，，，，…是等差數(shù)列．
【答案】（1），，；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）略.
【解析】（2）設(shè)（為常數(shù)），的通項(xiàng)公式為.
先考慮，
則，所以.
當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)為常數(shù)，所以是等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)是常數(shù)列，也是等差數(shù)列；
綜上所述：是等差數(shù)列；64
16
10
10

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