本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知，則（ ）
A.3 B.-2 C.2 D.-3
3.在正三棱錐中，頂點在底面的射影為點，則（ ）
A. B. C. D.
4.已知，且，則（ ）
A. B. C. D.
5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，則正整數(shù)的最小值為（ ）（參考數(shù)據(jù)：?。?br>A.8 B.9 C.10 D.11
7.已知，則（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在中滿足，則下列情況中，能唯一確定該三角形形狀的是（ ）
A.角取最大值 B.角取最大值
C.取最小值 D.取最小值
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是（ ）
A.復(fù)數(shù)的虛部為
B.若為純虛數(shù)，則為實數(shù)
C.若為實數(shù)，則
D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限
10.已知圓錐的頂點為，底面圓心為為底面直徑，，點在底面圓周上，且二面角為，則（ ）
A.該圓錐的體積為
B.該圓錐的側(cè)面積為
C.
D.的面積為4
11.設(shè)平面內(nèi)共起點的向量的終點分別為，且滿足，記與的夾角為，則（ ）
A.
B.最大值為
C.若，則三點共線
D.若，當(dāng)取得最大值時，
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，則__________.
13.科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，則根據(jù)以上信息可得里氏9.0級地震釋放的能量是8.0級地震所釋放能量的__________倍.
14.已知函數(shù)，如圖是直線與曲線的兩個交點，若，則__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知在中，.
（1）求；
（2）設(shè)，求的長.
16.（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是棱的中點，.
（1）證明：平面；
（2）若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.
17.（本小題滿分15分）
已知復(fù)數(shù)的實部分別為，虛部分別為，其中.
（1）求的取值范圍；
（2）能否為純虛數(shù)，若能，求；若不能，請說明理由.
18.（本小題滿分17分）
閱讀材料：材料一：我國南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜?中斜和大斜，記小斜為，中斜為，大斜為，則三角形的面積為.這個公式稱之為秦九韶公式；材料二：古希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所著的《度量論》或稱《測地術(shù)》中給出了用三角形的三條邊長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為，則它的面積為，其中，這個公式稱之為海倫公式；請你結(jié)合閱讀材料解答下面的問題：
（1）證明秦九韶公式與海倫公式的等價性；
（2）已知的面積為24，其內(nèi)切圓半徑為，求.
19.（本小題滿分17分）
已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2），將的圖象向右平移個單位后得到函數(shù).若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.
2023—2024學(xué)年度高一年級5月聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案及解析
一?選擇題
1.B 【解析】由題意可得.故選B.
2.D 【解析】因為，則.故選D.
3.D 【解析】正三棱錐中，點在平面的射影是點，即為的重心，已知，可得，則高.故選D.
4.D 【解析】由，即，又，所以，故，故選D.
5.D 【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選.
6.A 【解析】由，則，
因為，
即，又，所以的最小值為8.故選A.
7.B 【解析】由題意可得
，所以.故選B.
8.A 【解析】由得，考慮在上單調(diào)遞減，故當(dāng)角取最大值時，取最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，此時即，故此時三角形為等邊三角形，形狀唯一確定；同理，，設(shè)單調(diào)遞減，故不存在最小值與最大值，故B不正確，D不正確；由于，故，則取最小值時，取最大值，，無法取得最大值.故選A.
二?選擇題
9.BD 【解析】對于，復(fù)數(shù)的虛部為1，故錯誤；對于B，設(shè)，則，故B正確；對于C，當(dāng)為負(fù)數(shù)時，，故C錯誤；對于，因為，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第二象限，故D正確.故選BD.
10.AC 【解析】依題意，，所以選項，圓錐的體積為選項正確；選項，圓錐的側(cè)面積為，B選項錯誤；C選項，設(shè)是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選AC.
11.BC 【解析】由題意，故在以為圓心，1為半徑的圓上，在以為圓心，1為半徑的圓上，故點覆蓋的范圍為以為圓心，2為半徑的整個圓面.對于選項，設(shè)在的投影為（為共起點），則，故A錯誤；對于B選項，如圖1當(dāng)位于時有與圓相切，此時夾角最大為，由題意，，故最大值為正確；
對于C選項，如圖2，由向量的平行四邊形法則可知，，則為中點，故三點共線，C正確；對于D選項，若，則，故均在以為圓心，1為半徑的圓上，且為等邊三角形，如圖2，當(dāng)運動至于與圓相切時，取得最大值，記作切點為，不妨取進行計算，則，此時畫出的兩種位置，，不妨取進行計算，此時，設(shè)為在上的投影向量，所以錯誤.故選BC.
三?填空題
12. 【解析】因為是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，設(shè)，則，所以
，解得.故答案為.
13.100 【解析】由題意得，所以，即里氏9.0級地震釋放的能量是8.0級地震所釋放能量的100倍.故答案為100.
14. 【解析】設(shè)，，由可得，由可知，或，由圖可知，又，即，所以.因為，又在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，即.所以，所以.故答案為.
四?解答題
15.解：（1）由題意得，，
，
，
即.
（2）由（1）知，.
由
，
由正弦定理，，可得.
16.解：（1）因為底面為矩形，所以，
又因為側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，
所以平面.
又平面，所以.
又側(cè)面是正三角形，是的中點，所以.
又平面，所以平面.
（2）如圖
過點作，垂足為，易得為的四等分點，.
由于側(cè)面底面，交線為，
所以底面，過作，垂足為，連接，
則即為二面角的平面角，其大小為.
在Rt中，，所以，所以.
因為，所以四邊形為平行四邊形，從而.
因為，所以（或其補角）為異面直線與所成角.由（1）知平面，所以為直角三角形，所以.
17.解：（1）
，
因此的取值范圍是.
（2）因為
所以，因此，且，化簡得，即，，
此時，故不能為純虛數(shù).
18.解：（1）證明：
設(shè)，
所以
，
上述每一步均為等價變形，所以秦九韶公式與海倫
公式是等價的.
（2）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
因為，
代入，可得，
又由，
由海倫公式，
可得，
化簡得，即
，
由，得.
19.解：（1）因為，
所以，
解得：，
所以，
所以不等式的解集為.
（2）由題意可得，
因為，所以，
所以.
又因為對任意的，都有成立，
所以，
+1，
因為，所以，
設(shè)，可設(shè)，
則的圖象為開口向下，對稱軸為的拋物線，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，解得，所以
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，解
得，故；
當(dāng)時，，
故，解得，所以，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.

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