江西師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 等差數(shù)列中，，，則（）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件求出即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以可解得，所以，
故選：C
2. 在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為（）
A. 50B. 70C. 90D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列片段和性質(zhì)列式計(jì)算即可.
【詳解】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列
所以
所以，
解得.
故選：B.
3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，左端增加的項(xiàng)為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別求出當(dāng)和時(shí)，不等式左邊，二者比較即可得到答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊為，
當(dāng)時(shí)，左邊為
所以增加的項(xiàng)為：
故選：D
4. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，若，則使得的的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】推導(dǎo)出，則，利用等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可求得使得的的最大值.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，且，則，
所以，、異號(hào)，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，則，則數(shù)列單調(diào)遞減，
所以，，則，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以，使得的的最大值為.
故選：C.
5. 已知數(shù)列為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，，，則該等比數(shù)列的公比（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出，進(jìn)而可求出公比.
【詳解】由題意，
由，，
得，所以（舍去），
所以，
整理得，解得（舍去），
所以.
故選：A.
6. 近幾年，我國在電動(dòng)汽車領(lǐng)域有了長足的發(fā)展，電動(dòng)汽車的核心技術(shù)是動(dòng)力總成，而動(dòng)力總成的核心技術(shù)是電機(jī)和控制器，我國永磁電機(jī)的技術(shù)已處于國際領(lǐng)先水平.某公司計(jì)劃今年年初用196萬元引進(jìn)一條永磁電機(jī)生產(chǎn)線，第一年需要安裝?人工等費(fèi)用24萬元，從第二年起，包括人工?維修等費(fèi)用每年所需費(fèi)用比上一年增加8萬元，該生產(chǎn)線每年年產(chǎn)值保持在100萬元.則引進(jìn)該生產(chǎn)線后總盈利的最大值為（）
A. 204萬元B. 220萬元C. 304萬元D. 320萬元
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)引進(jìn)設(shè)備n年后總盈利為萬元，設(shè)除去設(shè)備引進(jìn)費(fèi)用，第n年的成本為，構(gòu)成一等差數(shù)列，由等差數(shù)列前公式求得第年總成本，這樣可得總盈利，由二次函數(shù)性質(zhì)可得最大值；
【詳解】設(shè)引進(jìn)設(shè)備年后總盈利為萬元，設(shè)除去設(shè)備引進(jìn)費(fèi)用，第年的成本為萬元，
則由題意，知為等差數(shù)列，前年成本之和為萬元，
故，，
所以當(dāng)時(shí)，，
即總盈利的最大值為204萬元.
故選：A.
7. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（）
A. 0B. C. lD.
【答案】C
【解析】
【分析】由求解即可.
【詳解】解：
．
故選:C．
8. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則使得恒成立的實(shí)數(shù)的最小值為（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出即可得解.
【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
即，整理得，而，
因此數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，，不滿足上式，
則，當(dāng)時(shí)，，，
而，依題意，，所以實(shí)數(shù)的最小值為.
故選：C
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與n之間的關(guān)系，再求.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 在等比數(shù)列中，，，則（）
A. 的公比為B. 的前項(xiàng)和為
C. 前項(xiàng)積為D.
【答案】AB
【解析】
【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列的基本量關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷即可；對B，由A可得，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解即可；對C，根據(jù)求解即可；對D，代入求解即可.
【詳解】對A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，
所以，所以，
所以，
所以數(shù)列的公比為，故A正確
對B，因?yàn)椋缘那绊?xiàng)和為
，故B正確；
對C，的前項(xiàng)積為，故C錯(cuò)誤
對D，因?yàn)椋?br>所以的前項(xiàng)和為，故D錯(cuò)誤．
故選：AB
10. 下列命題中正確的是（）
A. 已知隨機(jī)變量，則
B. 若隨機(jī)事件，滿足：，，，則事件與相互獨(dú)立
C. 若事件與相互獨(dú)立，且，則
D. 若殘差平方和越大，則回歸模型對一組數(shù)據(jù)，，…，的擬合效果越好
【答案】ABC
【解析】
【分析】由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得，從而可求出可判斷A；由獨(dú)立事件的定義和條件概率公式可判斷B，C；利用殘差的意義可判斷D.
【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，故A正確；
對于選項(xiàng)B：，
解得：，所以事件與相互獨(dú)立，故B正確；
對于選項(xiàng)C：若事件與相互獨(dú)立，且，
，，所以C正確；
對于選項(xiàng)D：殘差平方和越小，則回歸模型對一組數(shù)據(jù)，，…，的擬合效果越好，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 已知數(shù)列：0，2，0，2，0，現(xiàn)在對該數(shù)列進(jìn)行一種變換，規(guī)則：每個(gè)0都變?yōu)椤?，0，2”，每個(gè)2都變?yōu)椤?，2，0”，得到一個(gè)新數(shù)列，記數(shù)列，，且的所有項(xiàng)的和為，則以下判斷正確的是（）
A. 的項(xiàng)數(shù)為B.
C. 中0的個(gè)數(shù)為203D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，分析出數(shù)列的項(xiàng)數(shù)成等比數(shù)列判斷A，根據(jù)變換規(guī)則，得出數(shù)列中與個(gè)數(shù)的規(guī)律，結(jié)合數(shù)列項(xiàng)數(shù)，即可判斷B、C、D三個(gè)選項(xiàng).
【詳解】設(shè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為一個(gè)數(shù)列，因?yàn)橹杏许?xiàng)，即，
根據(jù)題意：在作用下，每個(gè)0都變?yōu)椤啊?，每個(gè)2都變?yōu)椤啊保?br>所以有，
由此可知數(shù)列為首相，公比的等比數(shù)列，
所以的項(xiàng)數(shù)為，故A正確；
根據(jù)變換規(guī)則，若數(shù)列的各項(xiàng)中，與的個(gè)數(shù)相同，
則與之相鄰的下一個(gè)數(shù)列中與的個(gè)數(shù)也相同；
若比多個(gè)，則與之相鄰的下一個(gè)數(shù)列中比的個(gè)數(shù)少個(gè)，
若比少個(gè)，則與之相鄰的下一個(gè)數(shù)列中比的個(gè)數(shù)多個(gè)，
因?yàn)橹杏许?xiàng)，其中個(gè)，個(gè)，比少個(gè)，
所以的項(xiàng)中，比的個(gè)數(shù)多個(gè)，
以此類推，若為奇數(shù)，則數(shù)列各項(xiàng)中比少個(gè)，
若為偶數(shù)，則數(shù)列的各項(xiàng)中比多個(gè)，
中，項(xiàng)數(shù)為個(gè)，為偶數(shù)，所以2的個(gè)數(shù)為，
所以，所以B正確；
中共有項(xiàng)，其中為奇數(shù)，
所以數(shù)列中有個(gè)，所以C正確；
D選項(xiàng)，的值與的奇偶有關(guān)，所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則 (公式)之后，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是數(shù)列求通項(xiàng)或求和.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知等差數(shù)列中，，，若在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第項(xiàng)為___．
【答案】
【解析】
【分析】先計(jì)算出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而得到新的等差數(shù)列的公差，從而求出的通項(xiàng)公式，求出新數(shù)列的第項(xiàng).
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，則新的等差數(shù)列的公差為，
故新數(shù)列的首項(xiàng)為，故通項(xiàng)公式為，
故.
故答案為：31
13. 箱子中裝有個(gè)大小相同的小球，其中個(gè)紅球、個(gè)白球.從中隨機(jī)抽出個(gè)球，在已知抽到紅球的條件下，個(gè)球都是紅球的概率為___________.
【答案】
【解析】
【分析】記事件隨機(jī)抽到個(gè)球中有紅球，記事件隨機(jī)抽到的個(gè)球都是紅球，利用條件概率公式可求得的值.
【詳解】記事件隨機(jī)抽到個(gè)球中有紅球，記事件隨機(jī)抽到的個(gè)球都是紅球，
則，，
所以，.
故答案為：.
14. 已知是各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意首先得，，進(jìn)一步將原問題轉(zhuǎn)換為恒成立，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>又因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正實(shí)數(shù)的數(shù)列，
所以，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
而，所以，
即恒成立，
又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是首先得，，由此即可順利得解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列.且，，，.
（1）求、的通項(xiàng)公式；
（2）記，為前項(xiàng)和，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件可得得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法可求得.
【小問1詳解】
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，
因?yàn)?，，?br>則，
，
所以，，解得，
所以，，.
【小問2詳解】
解：由（1）可知，，
所以，，①
可得，②
①②可得
，
因此，.
16. 已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求曲線過點(diǎn)的切線方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由已知條件求出的值，求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的值，即可得出所求切線的方程.
【小問1詳解】
解：因?yàn)楹瘮?shù)，點(diǎn)在曲線，則，所以，，
所以，，則，
因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，所求切線方程為；
當(dāng)時(shí)，所求切線方程為.
綜上所述，曲線過點(diǎn)的切線方程為或.
17. 已知數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)都有，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出的表達(dá)式，結(jié)合并項(xiàng)求和法可求得.
【小問1詳解】
因數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)都有，，
則，
所以，，，，，，
上述個(gè)等式全加得，
所以，，
故當(dāng)時(shí)，，也滿足，
故對任意的，.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>對任意的，，
所以，
.
18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由；
（3）已知數(shù)列，，其前項(xiàng)和為，求使得對所有都成立的自然數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）存在，且
（3）
【解析】
【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，兩式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，由數(shù)列為等差數(shù)列，則，求出的值，然后利用等差數(shù)列的定義驗(yàn)證數(shù)列為等差數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（3）利用裂項(xiàng)相消法求出的表達(dá)式，求出的取值范圍，可得出關(guān)于的不等式，即可得出符合條件的自然數(shù)的值.
【小問1詳解】
解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，，，
當(dāng)時(shí)，有，解得，
當(dāng)時(shí)，由可得，
上述兩個(gè)等式作差可得，可得，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.
【小問2詳解】
解：由已知條件可得，則，
記，
若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，，
則，即，解得，
此時(shí)，，所以，，
故當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.
【小問3詳解】
解：因?yàn)?br>，
所以，
，
因?yàn)?，且，故?shù)列單調(diào)遞增，
所以，，且，故對任意的，，
因?yàn)椴坏仁綄λ泻愠闪ⅲ?br>所以，，解得，
因?yàn)?，則的值為.
19. 已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.
（1）求的方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記的面積為，過線段的中點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為.
①求的取值范圍；
②求證：為定值.
【答案】（1）
（2）①；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率以及面積的最大值，構(gòu)造方程解方程可得的方程為；
（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出的面積的表達(dá)式，利用對勾函數(shù)單調(diào)性即可求得的取值范圍為；
②利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，得出斜率表達(dá)式即可得，可得為定值.
【小問1詳解】
由題意知，解得，
所以的方程為；
【小問2詳解】
①易知，
設(shè)直線方程為，如下圖所示：
聯(lián)立，消去可得，
所以，
且，
可得，
令，
可得，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在時(shí)單調(diào)遞增；
所以可得；
即的取值范圍為.
②易知，
可得；
所以
；
因此為定值.

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