注意事項：
1．本試題分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．第Ⅰ卷為選擇題，36分；第Ⅱ卷為非選擇題，84分；共120分．
2．答卷前務(wù)必將自己的姓名、座號和準(zhǔn)考證號按要求填寫在答題卡上的相應(yīng)位置．
3．第Ⅰ卷每題選出答案后，都必須用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號（ABCD）涂黑，如需改動，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案．
4．第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色簽字筆書寫到答題卡題號所指示的答題區(qū)域，不得超出預(yù)留范圍．
5．在草稿紙、試卷上答題均無效．
第Ⅰ卷（選擇題 36分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1. 的平方根是（ ）
A 4B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，再根據(jù)平方根的定義求解即可．
【詳解】解：∵，4平方根是，
∴的平方根是，
故選：C．
【點睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根，熟知一個正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)是解答的關(guān)鍵，此題容易錯解為B．
2. 一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的左視圖是（ ）
該試卷源自 每日更新，享更低價下載。A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)簡單幾何體的三視圖的畫法，看得見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示可得答案．
【詳解】解：從左面看該幾何體，選項C中的圖形符合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提，掌握看得見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示是得出正確答案的關(guān)鍵．
3. 是指大氣中直徑米的顆粒物，將用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示為，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
4. 如圖是嬰兒車的平面示意圖,其中AB∥CD,∠1=120°,∠3=40°,那么∠2的度數(shù)為（ ）
A 80°B. 90°C. 100°D. 102°
【答案】A
【解析】
【詳解】分析：根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠A，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠2=180°∠1?∠A，代入求出即可．
詳解：∵AB∥CD.
∴∠A=∠3=40°，
∵∠1=60°，
∴∠2=180°∠1?∠A=80°，
故選：A.
點睛：本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°.
5. 若圓錐的側(cè)面積等于其底面積的3倍，則該圓錐側(cè)面展開圖所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為（ ）
A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°
【答案】C
【解析】
【詳解】解:設(shè)母線長為R，底面半徑為r，可得底面周長=2πr，底面面積=πr2，側(cè)面面積=lr=πrR，
根據(jù)圓錐側(cè)面積恰好等于底面積的3倍可得3πr2=πrR，即R=3r.
根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長，設(shè)圓心角為n，有，
即.
可得圓錐側(cè)面展開圖所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)n=120°．
故選C．
考點：有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算
6. 已知a、b是一元二次方程的兩根，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，再通分和進(jìn)行同分母的加法運算得到原式，然后利用整體代入的方法計算．
【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以．
故選：A．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．
7. 以下說法：①與是同類二次根式；②長度等于半徑的弦所對的圓周角為；③若式子有意義，則實數(shù)m的取值范圍是；④若直線不經(jīng)過第三象限．則．其中正確的結(jié)論有（ ）
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義、圓周角定理、二次根式和分式有意義的條件、一次函數(shù)的性質(zhì)分別對每一項進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：①，，因此與是同類二次根式，故①正確；
②長度等于半徑的弦與兩條半徑組成等邊三角形，所以該弦所對的圓心角為，所對的圓周角為或，故②錯誤；
③若式子有意義，則且，所以且，故③錯誤；
④若直線不經(jīng)過第三象限，則且，所以，故④錯誤．
故選D．
【點睛】本題考查了同類二次根式的定義、圓周角定理、二次根式和分式有意義的條件、一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理、一次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
8. 如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為，坡頂D到BC的垂直距離米（點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點D處測得建筑物頂A點的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：；；）
A. 69.2米B. 73.1米C. 80.0米D. 85.7米
【答案】D
【解析】
【分析】作DF⊥AB于F點，得到四邊形DEBF為矩形，首先根據(jù)坡度的定義以及DE的長度，求出CE，BE的長度，從而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函數(shù)求解即可得出結(jié)論．
【詳解】如圖所示，作DF⊥AB于F點，則四邊形DEBF為矩形，
∴,
∵斜坡CD的坡度（或坡比）為，
∴在Rt△CED中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，
∴，
將代入解得：，
∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，
故選：D．
【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，理解坡度的定義，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形，熟練運用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．
9. 已知關(guān)于的不等式組有且只有4個整數(shù)解，且關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則所有滿足條件的整數(shù)的和為（ ）
A. 3B. 5C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式組得出每個不等式的解集，根據(jù)不等式組整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于的范圍，由方程有實數(shù)根知且，解得且，繼而可得符合條件的整數(shù)和．
【詳解】解：解不等式得：，
∵不等式組有且只有4個整數(shù)解，
∴整數(shù)解為，，，0，
∴，
解得：，
關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，
且，
解得且，
在且中，符合條件的整數(shù)和為，
故選：A．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
10. 如圖，已知正方形的邊長為2，點F是正方形內(nèi)一點，連接，且，點E是邊上一動點，連接，則長度的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，推出，得到點F在以為直徑的半圓上移動，如圖，設(shè)的中點為O，正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點的對應(yīng)點是B，連接交于E，交半圓O于F，線段的長即為的長度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點F在以為直徑的半圓上移動，
如圖，設(shè)的中點為O，正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點的對應(yīng)點是B，
連接交于E，交半圓O于F，線段的長即為的長度最小值，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的長度最小值為，
故選：A．
【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)，點的運動軌跡，勾股定理，最小值問題，正確理解點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．
11. 拋物線的圖象如圖所示，對稱軸為直線，下列說法：①；②（為全體實數(shù)）；③若圖象上存在點和，當(dāng)時，滿足，則m的取值范圍為；④若直線與拋物線兩交點橫坐標(biāo)為分別為，．則不等式的解集為．其中正確個數(shù)有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)字母系數(shù)與圖象的關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識，由拋物線的對稱軸得出，由圖象可得，當(dāng)時，，即可判斷①；用與的數(shù)量關(guān)系，可將原式化簡得到關(guān)于的不等式，即可判斷②；利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系即可判斷③；利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題即可判斷④．
【詳解】解：拋物線開口向下，
，
對稱軸為直線，
，
，代入原解析式得：，
由圖象可得，當(dāng)時，，即，
，故①正確；
設(shè)，則，
，
左側(cè)為時的函數(shù)值，右側(cè)為時的函數(shù)值，顯然不成立，故②錯誤；
由題意得，、是一元二次方程的兩個根，
從圖象上看，由于二次函數(shù)具有對稱性，、關(guān)于直線對稱，
當(dāng)且僅當(dāng)時，存在點和，當(dāng)時，滿足，即m的取值范圍為，故③正確；
直線與拋物線兩交點橫坐標(biāo)為分別為，．則不等式，即的解集為或，故④錯誤；
綜上所述，正確的有①③，共個，
故選：B．
12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長為1的正方形，邊，分別在x軸、y軸上，如果以對角線為邊作第二個正方形，再以對角線為邊作第三個正方形，照此規(guī)律作下去，則點的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是由坐標(biāo)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過8次作圖后，點的坐標(biāo)符號與第一次坐標(biāo)符號相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?br>首先求出、、、、、、、、的坐標(biāo)，找出這些坐標(biāo)之間的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計算出的坐標(biāo)．
【詳解】正方形的邊長為1，
，
正方形的邊是正方形的對角線，
，
的坐標(biāo)為，
同理可知，
的坐標(biāo)為，
同理可知，的坐標(biāo)為，
的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，
，，，，
由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過8次作圖后，點的坐標(biāo)符號與第一次坐標(biāo)符號相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?br>，
的橫坐標(biāo)符號與相同，橫縱坐標(biāo)相同，且都在第一象限，
的坐標(biāo)為．
故選：C．
第Ⅱ卷（非選擇題 84分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分．不需寫出解答過程，請將答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上．）
13. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
14. 關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本題考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟練掌握解分式方程及不等式的方法是解題的關(guān)鍵．利用去分母將原方程化為整式方程，根據(jù)題意列得關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式并結(jié)合方程的增根即可求得m的取值范圍．
【詳解】解：
去分母得：，
解得：，
∵原方程的解是非負(fù)數(shù)，
∴且，
解得：且．
故答案為：且．
15. 如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，的半徑為，連接交于點E，則圖中陰影部分面積是______．
【答案】
【解析】
【分析】過點作于點，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和已知條件可求出，，進(jìn)而求出，，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出，利用解直角三角形求出，再由圖形中面積之間的關(guān)系即可得出答案．
【詳解】解：過點作于點，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
，
，
，解得，
，
，
，
的半徑為，
，
，，
，解得，
，
，
陰影部分面積，
故答案為：．
【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，解直角三角形、圓周角定理以及扇形面積的計算方法，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理以及扇形面積的計算方法是正確解答的前提，求出和是解決問題的關(guān)鍵．
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，將如圖放置，直角頂點與原點重合，頂點，恰好分別落在函數(shù) ， 的圖象上，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】過點A、B分別作軸于點D，軸于點E，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可以得到，，再根據(jù)，得到AO與OB的值，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果．
【詳解】過點A、B分別作軸于點D，軸于點E，
∵A、B正好落在， 的圖象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)OA=2m，OB=3m，
∴，
在Rt△AOB中，
．
故答案為．
【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，反比例函數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確抓住直角三角形這一個特點是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共6小題，滿分68分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. （1）計算：．
（2）先化簡，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算、分式的化簡求值，熟練掌握運算法則以及運算順序是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)乘方、指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行化簡，再計算加減即可；
（2）括號內(nèi)先通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分即可化簡，求出的值，代入計算即可．
【詳解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
，
當(dāng)時，原式．
18. 中華文化源遠(yuǎn)流長，文學(xué)方面，《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”．某中學(xué)為了解學(xué)生對四大名著的閱讀情況，就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖尚不完整的統(tǒng)計圖．
請根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______部，中位數(shù)是______部；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為______度；
（3）該校共有1560名學(xué)生．估計該校沒有讀過四大名著的學(xué)生有多少人？
（4）沒有讀過四大古典名著的兩名學(xué)生準(zhǔn)備從中各自隨機選擇一部來閱讀，請用列表或畫樹狀圖的方法求他們恰好選中同一名著的概率．
【答案】（1）圖見解析，1，；
（2）；
（3）78人； （4）．
【解析】
【分析】（1）用“3部”人數(shù)除以對應(yīng)的百分比即可求得本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)，利用本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)減去其余各部人數(shù)，即可得到“2部”人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖，再根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)概念求解即可；
（2）根據(jù)條形統(tǒng)計圖得到“4部”人數(shù)所占比例，用乘以“4部”人數(shù)所占比例即可；
（3）根據(jù)調(diào)查人數(shù)中沒有讀過四大名著的學(xué)生所占比乘以總?cè)藬?shù)1560即可解題；
（4）利用列表法或樹狀圖法得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：由題知，（人），
（人），
補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示：
本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1部，中位數(shù)是（部）；
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為：；
故答案為：；
【小問3詳解】
解：（人），
答：估計該校沒有讀過四大名著學(xué)生有人。
【小問4詳解】
解：《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》分別用字母A、B、C、D表示，樹狀圖如下圖所示：
由圖知，一共有16種可能性，其中他們恰好選中同一名著的可能性有4種，
∴他們恰好選中同一名著的概率．
【點睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖以及條形統(tǒng)計圖的運用、中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計總體、利用樹狀圖求概率等知識點，讀懂統(tǒng)計圖、從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解題的關(guān)鍵．
19. 6月1日是兒童節(jié)，為了迎接兒童節(jié)的到來，蘭州某商場計劃購進(jìn)一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進(jìn)價與一件乙種玩具的進(jìn)價的和為40元，用90元購進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同．
（1）求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價分別是多少元？
（2）商場計劃購進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于24件，并且商場決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進(jìn)貨方案？
（3）在（2）條件下，若每件甲種玩具售價30元，每件乙種玩具售價45元，請求出賣完這批玩具獲利W（元）與甲種玩具進(jìn)貨量m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最大利潤為多少？
【答案】（1）甲、乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；（2）故商場共有四種進(jìn)貨方案：方案一：購進(jìn)甲種玩具20件，乙種玩具28件；方案二：購進(jìn)甲種玩具21件，乙種玩具27件；方案三：購進(jìn)甲種玩具22件，乙種玩具26件；方案四：購進(jìn)甲種玩具23件，乙種玩具25件；（3）W＝﹣5m+960，最大利潤860元.
【解析】
【分析】(1)設(shè)甲種玩具進(jìn)價為x元/件，則乙種玩具進(jìn)價為(40﹣x)元/件，根據(jù)用90元購進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同可列方程求解；
(2)設(shè)購進(jìn)甲種玩具m件，則購進(jìn)乙種玩具(48﹣m)件，根據(jù)甲種玩具的件數(shù)少于24件，并且商場決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元，可列出不等式組求解；
(3)先列出有關(guān)總利潤和進(jìn)貨量的一次函數(shù)關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍求最大值即可．
【詳解】(1)設(shè)甲種玩具進(jìn)價x元/件，則乙種玩具進(jìn)價為(40﹣x)元/件，
根據(jù)題意，得，
解得x＝15，
經(jīng)檢驗x＝15是原方程的解，
則40﹣x＝25，
答：甲、乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；
(2)設(shè)購進(jìn)甲種玩具m件，則購進(jìn)乙種玩具(48﹣m)件，
由題意，得，
解得20≤m＜24，
∵m是整數(shù)，
∴m取20，21，22，23，
故商場共有四種進(jìn)貨方案：
方案一：購進(jìn)甲種玩具20件，乙種玩具28件；
方案二：購進(jìn)甲種玩具21件，乙種玩具27件；
方案三：購進(jìn)甲種玩具22件，乙種玩具26件；
方案四：購進(jìn)甲種玩具23件，乙種玩具25件；
(3)設(shè)購進(jìn)甲種玩具m件，賣完這批玩具獲利W元，則購進(jìn)乙種玩具(48﹣m)件，
根據(jù)題意得：W＝(30﹣15)m+(45﹣25)(48﹣m)＝﹣5m+960，
∵比例系數(shù)k＝﹣5＜0，
∴W隨著m的增大而減小，
∴當(dāng)m＝20時，有最大利潤W＝﹣5×20+960＝860元．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，列分式方程解實際問題的應(yīng)用，一元一次不等式解方案設(shè)計問題的應(yīng)用，找出題中的等量關(guān)系與不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，菱形的邊長為，點，分別是邊， ．上的動點，， 連接，交于點．
（1）求證：；
（2）求周長的最小值；
（3）若，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，，可得是等邊三角形，證明，即可得出結(jié)論；
（2）當(dāng)最短時，周長有最小值，當(dāng)與垂直時，最短，此時，根據(jù)三角形周長公式即可求解；
（3）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．
【小問1詳解】
，
，
又四邊形是菱形，
，
是等邊三角形，
，，
又，
，
，
，
；
【小問2詳解】
，
，
，
的周長為，
當(dāng)最短時，周長有最小值．
，，
是等邊三角形，
當(dāng)與垂直時，最短，此時，
周長的最小值；
【小問3詳解】
過點作于點，如圖所示，
，，
，
又，
，
，
當(dāng)時，，又，
，，
，解得，
．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連接AC，過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連接AE交CD于點F，且EG=FG．
（1）求證：EG是⊙O的切線；
（2）延長AB交GE的延長線于點M，若AH=2，，求OM的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）連接OE，如圖，通過證明∠GEA+∠OEA=90°得到OE⊥GE，然后根據(jù)切線的判定定理得到EG是⊙O的切線；
（2）連接OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OH=r-2，利用勾股定理得到，解得r=3，然后證明Rt△OEM∽Rt△CHA，再利用相似比計算OM的長．
【詳解】（1）證明：連接OE，如圖，
∵GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE，
而∠GFE=∠AFH，
∴∠GEF=∠AFH，
∵AB⊥CD，
∴∠OAF+∠AFH=90°，
∴∠GEA+∠OAF=90°，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAF，
∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，
∴OE⊥GE，
∴EG是⊙O的切線；
（2）解：連接OC，如圖，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OH=r-2，
在Rt△OCH中，，
解得r=3，
在Rt△ACH中，AC= ，
∵AC∥GE，
∴∠M=∠CAH，
∴Rt△OEM∽Rt△CHA，
∴ ，
即，
解得：OM=．
【點睛】本題考查了切線的判斷與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑．也考查了勾股定理．
22. 如圖1，拋物線交x軸于A，B兩點，其中點A的坐標(biāo)為與y軸交于點C，．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點P為直線下方拋物線上一點，，軸，求周長的最大值；
（3）如圖2，連接，點P在拋物線上，且滿足，求點P的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）求出點C的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）表示出周長，求出直線解析式為，設(shè)，，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；
（3）在上截取，連接，過點E作，證明得到，再由三角形面積公式得出，從而得出，分兩種情況：當(dāng)點P在的下方時，設(shè)與y軸交于點N；當(dāng)點P在的上方時；分別求出直線的解析式，聯(lián)立方程組求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，點A的坐標(biāo)為，
∴點C的坐標(biāo)為，
將點A和點C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
【小問2詳解】
解：在中，令，則，
解得：，，
，而，
∴，
軸，
∴，
，
，
周長，
設(shè)直線的解析式為，
將點C的坐標(biāo)為，代入解析式得：，
解得：，
∴直線解析式為，
設(shè)，，
，
當(dāng)時，最大，
∴周長最大；
【小問3詳解】
解：如圖2，在上截取，連接，過點E作，
∵點，點，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如圖2，當(dāng)點P在的下方時，設(shè)與y軸交于點N，
∵，
∴，
∴，
∴點，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入解析式得：，
解得：，
∴直線解析式為：，
聯(lián)立方程組得：，
解得或，
∴點P坐標(biāo)為：，
當(dāng)點P在的上方時，同理可求直線解析式為：，
聯(lián)立方程組得：，
解得：或，
∴點P坐標(biāo)為：，
綜上所述：點P的坐標(biāo)為，．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)綜合—周長問題、解直角三角形的應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．

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