A. 7B. 6C. 5D. 3
2.已知復(fù)數(shù)a?i1+2i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=( )
A. ?1B. 35C. 2D. ?2
3.已知cs2α=?12，則sin2α=( )
A. 14B. 12C. 34D. 32
4.在△ABC中，若A=30°,B=45°,BC=2 3，則AC=( )
A. 2B. 3C. 6D. 2 6
5.如圖，在矩形ABCD中，M是CD的中點(diǎn)，則( )
A. AC=32AM?12BM
B. AC=32AM?BM
C. AC=AM?32BM
D. AC=12AM+12BM
6.設(shè)△ABC的面積為S，若AB?AC=2S，則角A=( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.若tan2α=43，則4cs2α?3sin2α1?cs2α=( )
A. ?12B. 2C. ?2或12D. ?12或2
8.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c?b=2bcsA，則ca?b的取值范圍是( )
A. (?1,2)B. (32,2)C. (32,3)D. (2,3)
9.下列說法正確的是( )
A. z?z?=|z|2，z∈C
B. i2024=?1
C. 若|z|=1，z∈C，則|z?2|的最小值為1
D. 若?4+3i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，則p=8
10.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是( )
A. 若bcsC+ccsB=b，則△ABC是等腰三角形
B. 若a=2，b=3，A=30°，則符合條件的△ABC有兩個
C. 若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形
D. 若sin2B+sin2C=sin2A，則△ABC為直角三角形
11.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成θ(θ≠π2)角的兩條數(shù)軸，e1,e2分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為θ斜坐標(biāo)系，若OM=xe1+ye2，則把有序數(shù)對(x,y)叫做向量OM的斜坐標(biāo)，記為OM=(x,y)在θ=π3的斜坐標(biāo)系中，a=(?1,1),b=(1,1)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. a?b=(?2,0)B. |a|=2 2
C. a⊥bD. a?b與b的夾角為5π6
12.已知向量a=(0,?3)，b=(1,m)，若向量b在向量a上的投影向量為?12a，則m=______.
13.已知2sinβ?csβ+2=0，sinα=2sin(α+β)，則tan(α+β)=______.
14.已知△ABC的外接圓半徑為1，則AB?AC的最小值是______.
15.已知角α和β滿足csα+csβ=?49.
(1)若β=2α，求csα的值；
(2)若β=α+π2，求sin2α的值.
16.如圖，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60°，M，N分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，AM，BN相交于點(diǎn)P.
(1)求BC；
(2)求cs∠MPN的值.
17.已知函數(shù)f(x)= 3cs(π2?2x)?2cs2x+1.
(1)若α∈(0,π),f(α2)=1，求α的值；
(2)若β∈(π2,π),f(β)=?12，求cs(β+π6)的值.
18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bsinB+C2=asinB.
(1)求角A；
(2)若D為AB的中點(diǎn)，且4CD= 7AB，求cs∠ACB.
19.在凸四邊形ABCD中，DC=2AD.
(1)若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∠ADC=2π3,AC= 7,AB=BC+AD，求四邊形ABCD的面積；
(2)若DA⊥AB,∠ADC=∠BCD,∠BDC=π6，求BCAD的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了單位向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量長度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出(a?b)2=3，從而得出|a?b|= 3.
【解答】
解：∵|a|=|b|=1,=2π3，
∴(a?b)2=a2?2a?b+b2=1?2×1×1×(?12)+1=3，
∴|a?b|= 3.
故選：D.
2.【答案】C
【解析】解：∵a?i1+2i=(a?i)(1?2i)(1+2i)(1?2i)=a?2?(2a+1)i5是純虛數(shù)，
則a?2=0且2a+1≠0，
故實(shí)數(shù)a=2.
故選：C.
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可得出．
本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】C
【解析】解：因?yàn)閏s2α=?12=1?2sin2α，
所以sin2α=34.
故選：C.
利用二倍角公式即可求解．
本題主要考查了二倍角公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】D
【解析】解：因?yàn)樵凇鰽BC中，若A=30°,B=45°,BC=2 3，
所以由正弦定理BCsinA=ACsinB，可得2 312=AC 22，
解得AC=2 6.
故選：D.
由已知利用正弦定理即可求解．
本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】A
【解析】解：由圖可知：AC=AM+MC=AM+12AB=AM+12(AM+MB)=32AM?12BM.
故選：A.
平面向量的線性運(yùn)算，利用加減法運(yùn)算以及數(shù)乘運(yùn)算即可得到結(jié)果．
本題考查平面向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】B
【解析】解：由2S=AB?AC，得bcsinA=bccsA，
因?yàn)閏sA≠0，所以tanA=1，
因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=π4.
故選：B.
運(yùn)用三角形面積公式及向量的數(shù)量積，得到tanA=1，從而求出A.
本題考查了三角形的面積公式和平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】B
【解析】解：因?yàn)閠an2α=43=2tanα1?tan2α，整理可得2tan2α+3tanα?2=0，
解得tanα=?2或12，
則4cs2α?3sin2α1?cs2α=4cs2α?6sinαcsα2sin2α=4?6tanα2tan2α=2.
故選：B.
利用二倍角的正切公式化簡已知等式可得2tan2α+3tanα?2=0，解得tanα的值，進(jìn)而利用二倍角公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．
本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】D
【解析】解：因?yàn)閏?b=2bcsA，則由正弦定理得sinC?sinB=2sinBcsA，
又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
所以sinAcsB+csAsinB?sinB=2sinBcsA，
則sinB=sinAcsB?sinBcsA=sin(A?B)，
所以B=A?B，即A=2B，則C=π?A?B=π?3B，
所以0

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