安徽省合肥市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡和試卷上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)全集，集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集和交集求出答案.
【詳解】或，
，故
故選：A
2. 已知，則（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模長(zhǎng)計(jì)算求出即可.
【詳解】，
所以，
所以，
故選：B.
3. 設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則的一個(gè)充分條件是（）
A. B.
C. D. 與相交
【答案】C
【解析】
【分析】通過(guò)舉反例可判定ABD，利用線面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C.
【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)滿足時(shí)，可能相交，如圖：用四邊形代表平面
，用四邊形代表平面，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：當(dāng)滿足時(shí)，可能相交，如圖：用四邊形代表平面
，用四邊形代表平面，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：因?yàn)?，又，所以?br>故是的一個(gè)充分條件，故C正確；
當(dāng)滿足與相交時(shí)，可能相交，如圖：用四邊形代表平面
，用四邊形代表平面，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
4. 甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束）．已知每局比賽甲獲勝的概率均為，則甲以4比2獲勝的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意只需前5場(chǎng)甲贏3場(chǎng)，再利用獨(dú)立事件的乘法公式求解．
【詳解】根據(jù)題意，甲運(yùn)動(dòng)員前5場(chǎng)內(nèi)需要贏3場(chǎng)，第6場(chǎng)甲勝，
則甲以4比2獲勝的概率為．
故選：C．
5. 常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來(lái)描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為．開始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則滿足的關(guān)系式為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)開始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出等式即可得答案．
【詳解】設(shè)開始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，
則512天后，甲的質(zhì)量為：，乙的質(zhì)量為：，
由題意可得，
所以．
故選：B．
6. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可得的圖象與至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而得，結(jié)合圖象可得，求解即可．
【詳解】因?yàn)椋?br>作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
由此可知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，
又因?yàn)殛P(guān)于的方程至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即的圖象與至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，可得；
當(dāng)時(shí)，，令，解得，
又因?yàn)?，所以，解得?br>故選:D．
7. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．則面積的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，進(jìn)而求出該三角形的面積的最大值．
【詳解】因?yàn)?，可得?br>即，
整理可得，
即，
在三角形中，，
即，,可得；
由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
而，
所以，
所以．
即該三角形的面積的最大值為．
故選：A．
8. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線左支上，線段交軸于點(diǎn)，且．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足：，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件得到，，再利用橢圓上，得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，設(shè)，，則直線的方程為，
令，得到，所以，
，因?yàn)椋?br>所以，得到，故，
又，所以，得到，
又，所以，得到①，
又因?yàn)樵陔p曲線上，所以②，又③，
由①②③得到，所以，
解得或，又，所以，得到，
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知圓，圓，則（）
A. 兩圓的圓心距的最小值為1
B. 若圓與圓相切，則
C. 若圓與圓恰有兩條公切線，則
D. 若圓與圓相交，則公共弦長(zhǎng)的最大值為2
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，算出兩圓的圓心距，從而判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)兩圓相切、相交的性質(zhì)，列式算出的取值范圍，判斷出B,C兩項(xiàng)的正誤；當(dāng)圓的圓心在兩圓的公共弦上時(shí)，公共弦長(zhǎng)有最大值，從而判斷出D項(xiàng)的正誤．
【詳解】根據(jù)題意，可得圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑．
對(duì)于A，因?yàn)閮蓤A的圓心距，所以A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距，即，解得．
兩圓外切時(shí)，圓心距，即，解得．
綜上所述，若兩圓相切，則或，故B項(xiàng)不正確；
對(duì)于C，若圓與圓恰有兩條公切線，則兩圓相交，，
即，可得，解得且，故C項(xiàng)不正確；
對(duì)于D，若圓與圓相交，則當(dāng)圓的圓心在公共弦上時(shí)，公共弦長(zhǎng)等于，達(dá)到最大值，
因此，兩圓相交時(shí)，公共弦長(zhǎng)的最大值為2，故D項(xiàng)正確．
故選：AD．
10. 已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則（）
A.
B. 對(duì)任意成等比數(shù)列
C. 對(duì)任意，都存在，使得成等差數(shù)列
D. 若，則數(shù)列遞增的充要條件是
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A：分，兩種情況計(jì)算可判斷A；對(duì)于B：可說(shuō)明不成立判斷B；，分，兩種情況計(jì)算可判斷C；根據(jù)，若是遞增數(shù)列，可求判斷D.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，，故成立，
當(dāng)時(shí)，，，所以成立，故A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，故不成等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，若存在，使成等差數(shù)列，
則，則，
整理得，所以，所以，
所以對(duì)任意，都存在，使得成等差數(shù)列，故C正確；
對(duì)于D：，若是遞增數(shù)列，
則可得，因?yàn)椋?，可解得?br>所以若，則數(shù)列遞增的充要條件是，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，則（）
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
B. 函數(shù)為奇函數(shù)
C. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)
D. 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性奇偶性判斷ABC，利用裂項(xiàng)相消及累加求和判斷D.
【詳解】易知，
同理，
對(duì)A, 先減后增，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B, 為奇函數(shù)，故B正確；
對(duì)C, ,則在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又，
，
故函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
對(duì)D,易知，令，則，
，
,
……………………..
,
則，
故，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列求和應(yīng)用，關(guān)鍵是利用利用裂項(xiàng)相消及累加求和判斷D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在的展開式中，的系數(shù)為_________．
【答案】15
【解析】
【分析】利用的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公為，
由，得到，所以的系數(shù)為，
故答案為：.
13. 拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】首先得到拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)及拋物線的定義可得為等邊三角形，即可求出，再在中利用余弦定理計(jì)算可得.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線：，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，
依題意、均在軸的左側(cè)，又，所以也在軸的左側(cè)且點(diǎn)在軸上方，
又為圓的直徑，所以，即，
由拋物線的定義可知，又，
所以為等邊三角形，所以，則，
所以，
所以，，
在中
.
故答案為：.

14. 已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，將所求轉(zhuǎn)化為距離和的最小值，利用幾何關(guān)系求得最值.
【詳解】如圖，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)為空間任意一點(diǎn)，因?yàn)?，則P在平面所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，
表示P與點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，
因?yàn)殛P(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為D，故，
當(dāng)且僅當(dāng)中點(diǎn)即為正方體中心時(shí)等號(hào)成立；
表示P與點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，則，
當(dāng)且僅當(dāng)在所在直線上時(shí)等號(hào)成立，
故
的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)為正方體中心時(shí)等號(hào)成立
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間中距離最值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用空間坐標(biāo)系將所求轉(zhuǎn)化為距離和，并注意等號(hào)成立條件.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是側(cè)棱的中點(diǎn)，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面．
（1）求三棱錐的體積；
（2）求與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，由中位線得到到平面的距離為，進(jìn)而由錐體體積公式求出答案；
（2）證明出，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而由法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值求出線面角的正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
如圖所示，取的中點(diǎn)，連接．
因?yàn)槭钦切?，所以?br>又因?yàn)槠矫娴酌嫫矫?，平面平面?br>所以平面，且．
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，到平面的距離為，
，
所以三棱錐的體積為．
【小問(wèn)2詳解】
連接，因?yàn)椋?br>所以為等邊三角形，所以，
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，解得，取，則，
所以．
設(shè)與平面所成角為，
則．
即與平面所成角的正弦值為．
16. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）與交于兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)分別為，記直線的斜率分別為，證明：為定值．
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由題意得，將點(diǎn)代入橢圓的方程可求得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)，，，，，聯(lián)立直線和橢圓的方程，可得，，直線的方程為，令，得，同理，由斜率公式計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以，再將點(diǎn)代入得，
解得，故橢圓的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
由題意可設(shè)，
由可得，
易知恒成立，所以，
又因?yàn)椋?br>所以直線的方程為，令，則，故，
同理，
從而，
故為定值．
17. 樹人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把第二層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．
（1）證明：；
（2）求該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；
（3）假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，以該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值．如果按照的比例將考試成績(jī)從高分到低分依次劃分為四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線（精確到1）．
附：．
【答案】（1）證明見解析；
（2）平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差為18分；
（3）將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)．
【解析】
【分析】（1）利用平均數(shù)及方差公式即可求解；
（2）利用平均數(shù)及方差公式，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式即可求解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
，
同理．
所以.
【小問(wèn)2詳解】
將該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)記為，方差記為，
則，
所以
又，所以．
即該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差約為18分．
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知，所以全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，
所以．
．
故可將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)．
18. 已知曲線在點(diǎn)處的切線為．
（1）求直線的方程；
（2）證明：除點(diǎn)外，曲線在直線的下方；
（3）設(shè)，求證：．
【答案】（1）；
（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程；
（2）令，二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，得到所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，得到證明；
（3）求導(dǎo)得到的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象得到，不妨令，結(jié)合曲線在點(diǎn)的切線方程為，得到，轉(zhuǎn)化為證明，又，只要證，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以直線的方程為：，即
小問(wèn)2詳解】
令，則，
令，則，
由，解得，由，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
所以除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方．
【小問(wèn)3詳解】
由，解得，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)?，則，不妨令．
因?yàn)榍€在點(diǎn)的切線方程為，
設(shè)點(diǎn)在切線上，有，故，

由（1）知時(shí)，，
則，即，
要證：，
只要證：，
只要證：，
又，
只要證：，
令，
則，
易證在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以成立，
所以原命題成立．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用函數(shù)在零點(diǎn)處的切線方程，得到，且，從而只需證明，再勾股函數(shù)進(jìn)行求解.
19. 在數(shù)學(xué)中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一．對(duì)平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)點(diǎn)和，記，稱為點(diǎn)與點(diǎn)之間的“距離”，其中表示中較大者．
（1）計(jì)算點(diǎn)和點(diǎn)之間的“距離”；
（2）設(shè)是平面中一定點(diǎn)，．我們把平面上到點(diǎn)的“距離”為的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合叫做以點(diǎn)為圓心，以為半徑的“圓”．求以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的“圓”的面積；
（3）證明：對(duì)任意點(diǎn)．
【答案】（1）；
（2）4；（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給定義直接計(jì)算即可；
（2）依題意可得，再分類討論，從而確定“圓”的圖形，即可求出其面積；
（3）首先利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合絕對(duì)值三角不等式證明即可.
【小問(wèn)1詳解】
由定義知，；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的-圓上任一點(diǎn)，則．
若，則；
若，則有．
由此可知，以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的“圓”的圖形如下所示：
則“圓”的面積為.
【小問(wèn)3詳解】
考慮函數(shù)．
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增．
又，
于是
，
同理，．
不妨設(shè)，
則
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解“距離”的定義，再結(jié)合不等式及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解答.
性別
參加考試人數(shù)
平均成績(jī)
標(biāo)準(zhǔn)差
男
30
100
16
女
20
90
19

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